Grenzschichtgleichungen

Die Grenzschichtgleichungen treten in der Grenzschichttheorie als Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen auf. Für eine zweidimensionale stationäre Strömung mit konstanter Dichte $ \rho $ lauten sie:

$ {\begin{aligned}u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\\{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}&=0\\0&={\frac {\partial p}{\partial y}}\end{aligned}} $

mit

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x : Koordinate in Strömungsrichtung
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y : Koordinate senkrecht zur Strömungsrichtung (Wandabstand)
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u = \frac{dx}{dt} : Geschwindigkeitskomponente in Strömungsrichtung (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_x in der Abb.)
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v = \frac{dy}{dt} : Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Strömungsrichtung
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p der Druck
• $ \nu $ die kinematische Viskosität
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial}{\partial} die partielle Ableitung.

Die zweite Gleichung ist die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Strömungen.

Die dritte Gleichung besagt, dass sich der Druck über die betrachtete Höhe nicht ändert, d. h. der Druck an der Körperoberfläche entspricht dem Druck in der reibungsfreien Außenströmung.

Druckgradient und Außenströmung

In der Außenströmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left( \tfrac{\partial u}{\partial y} = 0 \right) gilt die Eulergleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow u_{\delta} \frac{\partial u_{\delta}}{\partial x} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}

mit

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u_{\delta} : Geschwindigkeit der Außenströmung.

Sie besagt: der Druckgradient, d. h. der Verlauf des Druckes in Strömungsrichtung, ist

• negativ bei beschleunigter Strömung $ \left({\frac {\partial p}{\partial x}}<0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial u_{\delta }}{\partial x}}>0\right) $
• Null bei einer Plattenströmung
• positiv bei verzögerter Strömung.

Anfangs- und Randbedingungen

Zur Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung sind folgende Anfangs- und Randbedingungen erforderlich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} u(x, y = 0) & = 0\\ v(x, y = 0) & = 0\\ u(x, y \rightarrow \infty) & = u_\infty(x) \end{align}

Die ersten beiden Gleichungen beschreiben die Haftbedingung an der Körperoberfläche, als dritte Bedingung ist die Geschwindigkeit der Außenströmung vorgegeben (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta ist die Dicke der Grenzschicht).

Aus der Haftbedingung lässt sich folgende Gleichung ableiten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \eta \left( \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right)_{y = 0} = \frac{\mathrm{d} \, p(x)}{\mathrm{d} \, x},

welche die Krümmung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand mit dem durch die Außenströmung aufgeprägten Druckgradienten in Beziehung setzt (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta = \rho \cdot \nu ist die dynamische Viskosität).

Eine Grenzschichtablösung kann nur bei verzögerter Außenströmung, d. h. bei positivem Druckgradienten, auftreten. Die Grenzschicht löst von der Körperkontur ab, wenn die Wandschubspannung verschwindet:

$ \tau _{\text{wand}}=\eta \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}=0. $

Lösung

Im Gegensatz zu den elliptischen Navier-Stokes-Gleichungen bilden die Grenzschichtgleichungen ein parabolisches Gleichungssystem. Dadurch gibt es keinen stromaufwärts gerichteten Informationsfluss, so dass eine numerische Lösung mit einem Upstream-Verfahren möglich ist.

Eine analytische Lösung der Grenzschichtgleichungen ist nur in einigen Sonderfällen möglich. Die einfachste Lösung ist die Grenzschichtströmung entlang einer unendlich dünnen, ebenen Platte (Blasius-Lösung). In diesem Fall sind die Lösungen an verschiedenen Stellen entlang der Platte ähnlich und können durch eine geeignete Skalierung der Koordinate normal zur Wand ineinander überführt werden. Dies liefert einen Ausdruck für die Grenzschichtdicke:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\delta(x)}{x} = \frac{5}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}},

mit der Reynoldszahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Re}_x = \frac{u_\infty \cdot x}{\nu}.

Als Dicke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta(x) der Grenzschicht wird die Dicke festgelegt, bei der die Geschwindigkeit 99 % der Geschwindigkeit der freien Außenströmung erreicht hat:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u_{\delta} = u(y = \delta) := 0{,}99 \cdot u_\infty \approx u_\infty

Neben dieser Definition der Grenzschichtdicke wird als physikalisch sinnvolleres Maß oft die Verdrängungsdicke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_1 oder die Impulsverlustdicke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_2 verwendet.

Quellen

• Hermann Schlichting (et al.): Grenzschicht-Theorie. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-23004-1

Literatur

• Spurk, Aksel: Strömungslehre, Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-38439-7