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Das '''huygenssche Prinzip''' bzw. '''Huygens-Prinzip''', auch '''huygens-fresnelsches Prinzip''' genannt (nach [[Christiaan Huygens]] und [[Augustin Jean Fresnel]]), besagt, dass jeder Punkt einer [[Wellenfront]] als Ausgangspunkt einer neuen [[Welle]], der so genannten ''Elementarwelle'', betrachtet werden kann. Die neue Lage der Wellenfront ergibt sich durch Überlagerung ([[Superposition (Physik)|Superposition]]) sämtlicher Elementarwellen. Da die Elementarwelle eine Kugelform bzw. Kreisform hat, bildet sich auch eine rücklaufende Welle. Aus dem | Das '''huygenssche Prinzip''' bzw. '''Huygens-Prinzip''', auch '''huygens-fresnelsches Prinzip''' genannt (nach [[Christiaan Huygens]] und [[Augustin Jean Fresnel]]), besagt, dass jeder Punkt einer [[Wellenfront]] als Ausgangspunkt einer neuen [[Welle]], der so genannten ''Elementarwelle'', betrachtet werden kann. Die neue Lage der Wellenfront ergibt sich durch Überlagerung ([[Superposition (Physik)|Superposition]]) sämtlicher Elementarwellen. Da die Elementarwelle eine Kugelform bzw. Kreisform hat, bildet sich auch eine rücklaufende Welle. Aus dem huygensschen Prinzip folgen viele Spezialfälle, wie Beugungserscheinungen im Fernfeld ([[Beugung (Physik)#Beugung an Blenden|Fraunhoferbeugung]]) oder Nahfeldbeugung ([[Fresnelbeugung]]).<ref name="SmithKing2007">{{cite book|author=F. Graham Smith, Terry A. King, Dan Wilkins|title=Optics and Photonics: An Introduction|url=https://books.google.de/books?id=6hRfQ3AZlJcC&pg=PA240&hl=de|accessdate=2013-09-08|date= 2007-06-05|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-01783-8|pages=240f.}}</ref> | ||
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[[Datei:Refraction - Huygens-Fresnel principle.svg|miniatur|[[Brechung (Physik)|Brechung]] einer ebenen [[Wellenfront]] an der Grenze zweier Medien nach dem huygensschen Prinzip]] | [[Datei:Refraction - Huygens-Fresnel principle.svg|miniatur|[[Brechung (Physik)|Brechung]] einer ebenen [[Wellenfront]] an der Grenze zweier Medien nach dem huygensschen Prinzip]] | ||
Das Konzept wurde 1678 von Christiaan Huygens<ref>{{Literatur|Autor=Christiaan Huygens|Titel=Traité de la lumière | Das Konzept wurde 1678 von Christiaan Huygens<ref>{{Literatur |Autor=Christiaan Huygens |Titel=Traité de la lumière |Verlag=chez Pierre vander Aa |Jahr=1690 |Kommentar= |Online=[https://www.gutenberg.org/ebooks/14725 Project Gutenberg]}}</ref> vorgeschlagen, um die Ausbreitung von [[Licht]] zu erklären. Demnach ist jeder Punkt, der von einer [[Wellenfront]] erreicht wird, Ausgangspunkt für eine [[Kugelwelle|kugel-]] bzw. kreisförmige Elementarwelle, welche sich im selben [[Ausbreitungsmedium]] mit gleicher [[Phasengeschwindigkeit|Geschwindigkeit]] ausbreitet wie die ursprüngliche Welle. Die sich weiter ausbreitende Wellenfront ergibt sich als äußere [[Einhüllende]] der Elementarwellen. Huygens nahm an, dass die Elementarwellen nicht rückwärts, sondern nur in [[Ausbreitungsrichtung]] wirken, konnte jedoch keine qualitative Erklärung dafür geben. | ||
An der Grenze zweier Medien, in denen die Wellen eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeit besitzen, ändert eine Wellenfront, die nicht senkrecht auftrifft, ihre Richtung. Die Theorie von Huygens bot damit eine einfachere Erklärung für die [[Reflexion (Physik)|Reflexion]] und [[Brechung (Physik)|Brechung]] von Licht, als dies mit der [[Korpuskeltheorie]] von Newton möglich war. | An der Grenze zweier Medien, in denen die Wellen eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeit besitzen, ändert eine Wellenfront, die nicht senkrecht auftrifft, ihre Richtung. Die Theorie von Huygens bot damit eine einfachere Erklärung für die [[Reflexion (Physik)|Reflexion]] und [[Brechung (Physik)|Brechung]] von Licht, als dies mit der [[Korpuskeltheorie]] von Newton möglich war. | ||
[[Datei:Reflexion im Wellenmodell.png|miniatur|500px|zentriert|Eine auftreffende Wellenfront erzeugt kreisförmige Elementarwellen um den jeweiligen Auftreffpunkt, deren Radius sich proportional zur Zeit vergrößert. In den folgenden Bildern sieht man, wie die ersten Kreise angewachsen sind, während der aktuelle Auftreffpunkt nach rechts wandert. Die Tangenten an den Kreisen stellen eine neue Wellenfront dar, welche die reflektierende Ebene nach rechts oben verlässt. Die Winkel zwischen Wellenfront und Ebene sind gleich.]] | [[Datei:Reflexion im Wellenmodell.png|miniatur|500px|zentriert|Eine auftreffende Wellenfront erzeugt kreisförmige Elementarwellen um den jeweiligen Auftreffpunkt, deren Radius sich proportional zur Zeit vergrößert. In den folgenden Bildern sieht man, wie die ersten Kreise angewachsen sind, während der aktuelle Auftreffpunkt nach rechts wandert. Die Tangenten an den Kreisen stellen eine neue Wellenfront dar, welche die reflektierende Ebene nach rechts oben verlässt. Die Winkel zwischen Wellenfront und Ebene sind gleich.]] | ||
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Im Jahr 1816 konnte Augustin Fresnel dieses Prinzip erweitern und damit die [[Beugung (Physik)|Beugung]] von Licht an Hindernissen erklären. Er zeigte, dass sich nach dem Prinzip der [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] die resultierende Welle durch Superposition aller Elementarwellen berechnen lässt. Unter anderem sagte [[Siméon Denis Poisson|Poisson]] voraus, dass bei Beugung von Licht an einem runden Objekt ein [[Poisson-Fleck]] entsteht. Die experimentelle Bestätigung dieses Phänomens war ein Sieg der [[Wellenoptik]] gegenüber der damals verbreiteten Korpuskeltheorie. [[Gustav Robert Kirchhoff|Gustav Kirchhoff]] zeigte dann, wie sich das huygenssche Prinzip aus den [[Maxwell-Gleichung]]en herleiten lässt, und präsentierte die präzisere Lösung in Form der [[Beugungsintegral|kirchhoffschen Beugungsintegrale]].<ref>{{Literatur|Autor=Eugene Hecht|Seiten=392ff|Titel=Optics|Verlag=Addison-Wesley|Auflage=2|Jahr=1987}}</ref> | Im Jahr 1816 konnte Augustin Fresnel dieses Prinzip erweitern und damit die [[Beugung (Physik)|Beugung]] von Licht an Hindernissen erklären. Er zeigte, dass sich nach dem Prinzip der [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] die resultierende Welle durch Superposition aller Elementarwellen berechnen lässt. Unter anderem sagte [[Siméon Denis Poisson|Poisson]] voraus, dass bei Beugung von Licht an einem runden Objekt ein [[Poisson-Fleck]] entsteht. Die experimentelle Bestätigung dieses Phänomens war ein Sieg der [[Wellenoptik]] gegenüber der damals verbreiteten Korpuskeltheorie. [[Gustav Robert Kirchhoff|Gustav Kirchhoff]] zeigte dann, wie sich das huygenssche Prinzip aus den [[Maxwell-Gleichung]]en herleiten lässt, und präsentierte die präzisere Lösung in Form der [[Beugungsintegral|kirchhoffschen Beugungsintegrale]].<ref>{{Literatur|Autor=Eugene Hecht|Seiten=392ff|Titel=Optics|Verlag=Addison-Wesley|Auflage=2|Jahr=1987}}</ref> | ||
Als Ausbreitungsmedium der Lichtwellen postulierte Huygens den [[Äther (Physik)|Äther]]. Dieser wird seit der allgemeinen Akzeptanz der 1905 publizierten [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] [[Albert Einstein]]s nicht mehr als physikalisches Konzept benötigt. Der scheinbare Widerspruch zwischen dem [[Welle-Teilchen-Dualismus|Teilchen- und Wellencharakter]] von Licht wird in der [[Quantenmechanik]] aufgelöst. In diesem Zusammenhang wird das | Als Ausbreitungsmedium der Lichtwellen postulierte Huygens den [[Äther (Physik)|Äther]]. Dieser wird seit der allgemeinen Akzeptanz der 1905 publizierten [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] [[Albert Einstein]]s nicht mehr als physikalisches Konzept benötigt. Der scheinbare Widerspruch zwischen dem [[Welle-Teilchen-Dualismus|Teilchen- und Wellencharakter]] von Licht wird in der [[Quantenmechanik]] aufgelöst. In diesem Zusammenhang wird das huygenssche Prinzip in Form des [[Zeigermodell]]s zur anschaulichen Erklärung der Ausbreitung von Wahrscheinlichkeitswellen benutzt. | ||
== Huygenssches Prinzip in der Mathematik == | == Huygenssches Prinzip in der Mathematik == | ||
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Man spricht von der Existenz einer hinteren Wellenfront, wenn sich eine Störung der Ausgangsdaten in einer Umgebung eines Punktes nicht auf die Lösung der Wellengleichung für hinreichend große Zeiten t auswirkt. | Man spricht von der Existenz einer hinteren Wellenfront, wenn sich eine Störung der Ausgangsdaten in einer Umgebung eines Punktes nicht auf die Lösung der Wellengleichung für hinreichend große Zeiten t auswirkt. | ||
Erklärung des huygensschen Prinzips an der einfachen Wellengleichung <math> | Erklärung des huygensschen Prinzips an der einfachen Wellengleichung <math>\partial_t^2u - \Delta u = 0</math> | ||
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* [[Snelliussches Brechungsgesetz]] | |||
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Das huygenssche Prinzip bzw. Huygens-Prinzip, auch huygens-fresnelsches Prinzip genannt (nach Christiaan Huygens und Augustin Jean Fresnel), besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuen Welle, der so genannten Elementarwelle, betrachtet werden kann. Die neue Lage der Wellenfront ergibt sich durch Überlagerung (Superposition) sämtlicher Elementarwellen. Da die Elementarwelle eine Kugelform bzw. Kreisform hat, bildet sich auch eine rücklaufende Welle. Aus dem huygensschen Prinzip folgen viele Spezialfälle, wie Beugungserscheinungen im Fernfeld (Fraunhoferbeugung) oder Nahfeldbeugung (Fresnelbeugung).[1]
Das Konzept wurde 1678 von Christiaan Huygens[2] vorgeschlagen, um die Ausbreitung von Licht zu erklären. Demnach ist jeder Punkt, der von einer Wellenfront erreicht wird, Ausgangspunkt für eine kugel- bzw. kreisförmige Elementarwelle, welche sich im selben Ausbreitungsmedium mit gleicher Geschwindigkeit ausbreitet wie die ursprüngliche Welle. Die sich weiter ausbreitende Wellenfront ergibt sich als äußere Einhüllende der Elementarwellen. Huygens nahm an, dass die Elementarwellen nicht rückwärts, sondern nur in Ausbreitungsrichtung wirken, konnte jedoch keine qualitative Erklärung dafür geben.
An der Grenze zweier Medien, in denen die Wellen eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeit besitzen, ändert eine Wellenfront, die nicht senkrecht auftrifft, ihre Richtung. Die Theorie von Huygens bot damit eine einfachere Erklärung für die Reflexion und Brechung von Licht, als dies mit der Korpuskeltheorie von Newton möglich war.
Im Jahr 1816 konnte Augustin Fresnel dieses Prinzip erweitern und damit die Beugung von Licht an Hindernissen erklären. Er zeigte, dass sich nach dem Prinzip der Interferenz die resultierende Welle durch Superposition aller Elementarwellen berechnen lässt. Unter anderem sagte Poisson voraus, dass bei Beugung von Licht an einem runden Objekt ein Poisson-Fleck entsteht. Die experimentelle Bestätigung dieses Phänomens war ein Sieg der Wellenoptik gegenüber der damals verbreiteten Korpuskeltheorie. Gustav Kirchhoff zeigte dann, wie sich das huygenssche Prinzip aus den Maxwell-Gleichungen herleiten lässt, und präsentierte die präzisere Lösung in Form der kirchhoffschen Beugungsintegrale.[3]
Als Ausbreitungsmedium der Lichtwellen postulierte Huygens den Äther. Dieser wird seit der allgemeinen Akzeptanz der 1905 publizierten speziellen Relativitätstheorie Albert Einsteins nicht mehr als physikalisches Konzept benötigt. Der scheinbare Widerspruch zwischen dem Teilchen- und Wellencharakter von Licht wird in der Quantenmechanik aufgelöst. In diesem Zusammenhang wird das huygenssche Prinzip in Form des Zeigermodells zur anschaulichen Erklärung der Ausbreitung von Wahrscheinlichkeitswellen benutzt.
In der Mathematik findet das huygenssche Prinzip in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen Anwendung. Es besagt, dass Wellengleichungen eine hintere Wellenfront in den Räumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb R^n für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n \geq 3 besitzen. Man spricht von der Existenz einer hinteren Wellenfront, wenn sich eine Störung der Ausgangsdaten in einer Umgebung eines Punktes nicht auf die Lösung der Wellengleichung für hinreichend große Zeiten t auswirkt.
Erklärung des huygensschen Prinzips an der einfachen Wellengleichung $ \partial _{t}^{2}u-\Delta u=0 $
Als Anfangsdaten (für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t = 0 ) gilt:
mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t \in \mathbb R als Zeitvariable und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x \in \mathbb R^n als Ortsvariable.
Nach der d'Alembertschen Lösungsformel gilt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u = u(x,t) :
Stören wir das Anfangsdatum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi im Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [a,b] , dann erkennt man anhand der obigen Formel, dass für den Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_0 \in [a,b] die Störung zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t=T > \max (x_0 - a, b - x_0) keinen Einfluss mehr hat, denn die Anfangsdaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi (x-T) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi (x+T) wurden nicht gestört. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi gilt das huygenssches Prinzip.
Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi \neq 0 und man störe das Anfangsdatum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [a,b] . Dann wird man feststellen, dass für jeden Zeitpunkt T die Störung noch Auswirkungen auf die Lösungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u(x,T) hat, denn man integriert über das "Störintervall":
Fazit: Im Eindimensionalen gilt das huygenssches Prinzip im Allgemeinen nicht, sondern es gilt nur für das Anfangsdatum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi .
Die allgemeine Lösungsformel für den zweidimensionalen Fall (nach der Abstiegsmethode) lautet:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B(x,t) bezeichnet die (ausgefüllte) Kreisscheibe mit Mittelpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x und Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t .
Anhand dieser Formel sieht man sofort, dass das huygenssches Prinzip nicht gilt. Denn stört man die Anfangsdaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi in einem Rechteck $ R=[a,b]\times [c,d] $ dann wirkt sich die Störung auch noch zu jeden Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t=T für alle Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_0 \in R aus, denn die Kreisscheibe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B(x,t) beinhaltet für diese Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_0 das Rechteck R. Also wird wieder über gestörten Daten integriert.
Nach der Kirchhoffschen Formel lautet die Lösung für die Wellengleichung:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(x,t) bezeichnet die Kugeloberfläche der Kugel mit Zentrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x und Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t . Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d\sigma_t(y) bezeichnet das Oberflächenelement der Kugel.
Mithilfe dieser Formel erkennt man sofort, dass im 3D-Fall das huygenssche Prinzip gilt. Werden die Anfangsdaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi auf einem Quader Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q = [a,b]\times[c,d]\times[e,f] gestört, dann wirkt sich diese Störung nicht auf die Lösung für die Punkte x0∈Q für große Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t\ge T aus. Man muss nur $ t $ so groß wählen, dass die Kugeloberfläche den Quader komplett umschließt und somit nicht mehr über die gestörten Daten Q integriert wird. Offensichtlich muss
gelten.
