Admittanz: Unterschied zwischen den Versionen
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Die '''Admittanz''' <math>\underline Y</math> vom lateinischen {{lang|la|''admittere''}}, zu Deutsch „annehmen“ | Die '''Admittanz''' <math>\underline Y</math> (vom lateinischen {{lang|la|''admittere''}}, zu Deutsch „annehmen“) ist ein Begriff aus der [[Elektrotechnik]], gleichwertig mit '''komplexer Leitwert'''. Sie bezeichnet das Verhältnis von [[sinus]]förmigem [[Wechselstrom]], der durch einen [[Linearer Widerstand|linearen]] [[Elektrischer Verbraucher|Verbraucher]] (Bauelement, Leitung usw.) fließt, zur daran anliegenden [[Wechselspannung]]. In bestimmten Zusammenhängen wird der Begriff auch wesentlich weiter gefasst. | ||
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und aus dem Imaginärteil, der als Blindleitwert oder als ''Suszeptanz'' bezeichnet wird: | |||
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Der Betrag der Admittanz wird als ''Scheinleitwert'' <math>Y</math> bezeichnet. Alle diese Begriffe sind auch so genormt.<ref name="d110"/><ref name="IEV">IEC 60050-131, siehe [https://www2.dke.de/de/Online-Service/DKE-IEV/Seiten/IEV-Woerterbuch.aspx DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE: ''Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch'']</ref> | |||
:<math>\underline Y = G + \mathrm jB</math> | :<math>\underline Y = G + \mathrm jB</math> | ||
:<math>Y=|\,\underline Y| =\sqrt{G^2 +B^2}</math> | :<math>Y=|\,\underline Y| =\sqrt{G^2 +B^2}</math> | ||
Mit der komplexwertigen Impedanz <math>\underline Z = R + \mathrm jX</math> aus [[Wirkwiderstand]] (Resistanz) <math>R</math> und [[Blindwiderstand]] (Reaktanz) <math>X</math> ergibt sich <math>\underline Y </math> zu | Mit der komplexwertigen Impedanz <math>\underline Z = R + \mathrm jX</math> aus [[Wirkwiderstand]] (Resistanz) <math>R</math> und [[Blindwiderstand]] (Reaktanz) <math>X</math> ergibt sich <math>\underline Y </math> zu | ||
:<math>\underline Y = \frac1{R + \mathrm jX} = \frac R{R^2+X^2} | :<math>\underline Y = \frac1{R + \mathrm jX} = \frac R{R^2+X^2} - \mathrm j \frac{X}{R^2+X^2}</math> | ||
und somit | und somit | ||
:<math>G =\frac R{R^2+X^2}\quad \text{und}\quad B =\frac{-X}{R^2+X^2}</math> | :<math>G =\frac R{R^2+X^2}\quad \text{und}\quad B =\frac{-X}{R^2+X^2}</math> | ||
Daraus ist ersichtlich, dass der Wirkleitwert <math>G</math> im Allgemeinen etwas anderes ist als der reziproke Wirkwiderstand <math>1/R</math> und der Blindleitwert <math>B</math> etwas anderes als der reziproke Blindwiderstand <math>1/X</math>. Der Begriff Konduktanz wird auch mit [[Leitwert]] übersetzt,<ref name="IEV" /> wenn es sich um einen [[Ohmscher | Daraus ist ersichtlich, dass der Wirkleitwert <math>G</math> im Allgemeinen etwas anderes ist als der reziproke Wirkwiderstand <math>1/R</math> und der Blindleitwert <math>B</math> etwas anderes als der reziproke Blindwiderstand <math>1/X</math>. Der Begriff Konduktanz wird auch mit [[Leitwert]] übersetzt,<ref name="IEV" /> wenn es sich um einen [[Ohmscher Verbraucher|ohmschen Verbraucher]] handelt. Da <math>X</math> von der Frequenz der Wechselgrößen abhängig ist, sind auch <math>Y,\ G\text{ und }B</math> von der Frequenz abhängig. | ||
In Exponentialform kann man mit dem [[Phasenverschiebung]]swinkel <math>\varphi_{ui}</math> zwischen Spannung und Stromstärke bzw. deren [[Nullphasenwinkel]]n <math>\varphi_u</math> und <math>\varphi_i</math> schreiben: | In Exponentialform kann man mit dem [[Phasenverschiebung]]swinkel <math>\varphi_{ui}</math> zwischen Spannung und Stromstärke bzw. deren [[Nullphasenwinkel]]n <math>\varphi_u</math> und <math>\varphi_i</math> schreiben: | ||
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:<math>\underline Z =\frac1{\mathrm j\omega C}\ ;\quad R=0\ ;\quad X=-\frac1{\omega C}</math> | :<math>\underline Z =\frac1{\mathrm j\omega C}\ ;\quad R=0\ ;\quad X=-\frac1{\omega C}</math> | ||
Damit gelten zu den Leitwerten | Damit gelten zu den Leitwerten | ||
:<math>G=0\ ;\quad B=-\frac1X=\omega C\ ; | :<math>\underline Y=\mathrm j\omega C; \quad G=0\ ; \quad B=-\frac1X=\omega C\ ;</math> | ||
Isolationswiderstände und dielektrische Verluste des Kondensators erfasst man als Wirkleitwert mit <math>G>0</math>. In den meisten praktischen Fällen bleibt <math>\omega C</math> mindestens hundertmal größer als <math>G</math>;<ref> Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: ''Elemente der angewandten Elektronik.'' Vieweg+Teubner, 16. Aufl. 2010, S. 42</ref> dann bleiben im Rahmen dieser Näherung <math>X</math> und <math>\underline Y</math> unverändert und <math>R\ll \frac1{\omega C}</math>. | Isolationswiderstände und dielektrische Verluste des Kondensators erfasst man als Wirkleitwert mit <math>G>0</math>. In den meisten praktischen Fällen bleibt <math>\omega C</math> mindestens hundertmal größer als <math>G</math>;<ref> Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: ''Elemente der angewandten Elektronik.'' Vieweg+Teubner, 16. Aufl. 2010, S. 42</ref> dann bleiben im Rahmen dieser Näherung <math>X</math> und <math>\underline Y</math> unverändert und <math>R\ll \frac1{\omega C}</math>. | ||
Aktuelle Version vom 1. Juli 2021, 14:05 Uhr
Die Admittanz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline Y (vom lateinischen {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:149: attempt to index field 'data' (a nil value), zu Deutsch „annehmen“) ist ein Begriff aus der Elektrotechnik, gleichwertig mit komplexer Leitwert. Sie bezeichnet das Verhältnis von sinusförmigem Wechselstrom, der durch einen linearen Verbraucher (Bauelement, Leitung usw.) fließt, zur daran anliegenden Wechselspannung. In bestimmten Zusammenhängen wird der Begriff auch wesentlich weiter gefasst.
Bedeutung in der Wechselstromlehre
Für sinusförmige Vorgänge ist die mathematische Darstellung durch komplexwertige Größen von Vorteil. Diese werden hier in den Gleichungen durch einen Unterstrich gekennzeichnet, die imaginäre Einheit durch den Buchstaben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm j .[1][2][3]
Die Admittanz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline Y ist der Kehrwert der Impedanz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline Z :
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline Y = {\underline Z^{-1}} = \frac1{\underline Z}
Sie setzt sich zusammen aus dem Realteil, der als Wirkleitwert oder als Konduktanz bezeichnet wird:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G = \operatorname{Re}\,{\underline Y} = \operatorname{Re}\,{\frac{1}{\underline Z}}
und aus dem Imaginärteil, der als Blindleitwert oder als Suszeptanz bezeichnet wird:
- $ B=\operatorname {Im} \,{\underline {Y}}=\operatorname {Im} \,{\frac {1}{\underline {Z}}} $
Der Betrag der Admittanz wird als Scheinleitwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Y bezeichnet. Alle diese Begriffe sind auch so genormt.[3][4]
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline Y = G + \mathrm jB
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Y=|\,\underline Y| =\sqrt{G^2 +B^2}
Mit der komplexwertigen Impedanz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline Z = R + \mathrm jX aus Wirkwiderstand (Resistanz) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R und Blindwiderstand (Reaktanz) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X ergibt sich $ {\underline {Y}} $ zu
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline Y = \frac1{R + \mathrm jX} = \frac R{R^2+X^2} - \mathrm j \frac{X}{R^2+X^2}
und somit
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G =\frac R{R^2+X^2}\quad \text{und}\quad B =\frac{-X}{R^2+X^2}
Daraus ist ersichtlich, dass der Wirkleitwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G im Allgemeinen etwas anderes ist als der reziproke Wirkwiderstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1/R und der Blindleitwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B etwas anderes als der reziproke Blindwiderstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1/X . Der Begriff Konduktanz wird auch mit Leitwert übersetzt,[4] wenn es sich um einen ohmschen Verbraucher handelt. Da $ X $ von der Frequenz der Wechselgrößen abhängig ist, sind auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Y,\ G\text{ und }B von der Frequenz abhängig.
In Exponentialform kann man mit dem Phasenverschiebungswinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi_{ui} zwischen Spannung und Stromstärke bzw. deren Nullphasenwinkeln Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi_u und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi_i schreiben:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline Z = Z \ \mathrm e^{\mathrm j\varphi_{ui}} =Z \ \mathrm e^{\mathrm j(\varphi_u -\varphi_i)}
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline Y = \frac 1Z \ \mathrm e^{-\mathrm j\varphi_{ui}} = Y\ \mathrm e^{\mathrm j(\varphi_i-\varphi_u)}
und, wenn man die eulersche Formel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm e^{\mathrm jx} =\cos x+ \mathrm j\sin x anwendet,
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B = Y \sin (-\varphi_{ui}) = Y \sin (\varphi_i -\varphi_u)
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G = Y \cos \varphi_{ui}
Die Maßeinheit im SI-Einheitensystem für alle angegebenen Arten von Leitwerten ist das Siemens mit dem S als Einheitenzeichen.[5]
Spezialfall
Für einen verlustlosen idealen Kondensator mit der Kapazität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C gelten bei sinusförmiger Wechselspannung mit der Kreisfrequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega die Angaben zu den Widerständen
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline Z =\frac1{\mathrm j\omega C}\ ;\quad R=0\ ;\quad X=-\frac1{\omega C}
Damit gelten zu den Leitwerten
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline Y=\mathrm j\omega C; \quad G=0\ ; \quad B=-\frac1X=\omega C\ ;
Isolationswiderstände und dielektrische Verluste des Kondensators erfasst man als Wirkleitwert mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G>0 . In den meisten praktischen Fällen bleibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega C mindestens hundertmal größer als $ G $;[6] dann bleiben im Rahmen dieser Näherung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \underline Y unverändert und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R\ll \frac1{\omega C} .
Erweiterte Bedeutung
In der Theorie der linearen elektrischen Netzwerke bezeichnet man auch ein Verhältnis eines Stroms zu einer Spannung als Admittanz, wenn sie nicht am gleichen Bauelement gemessen werden. Typische Beispiele sind die Kurzschluss-Kernadmittanz und die Übertragungsadmittanz in der Vierpoltheorie. Schließlich führt man dort auch die Admittanz-Matrix ein.[7]
Andererseits bezeichnet man auch das Verhältnis eines nichtsinusförmigen Stroms zu einer nichtsinusförmigen Spannung als Admittanz, wenn man Strom und Spannung mit Hilfe einer Operatorenrechnung, z. B. der Laplace-Transformation, im sogenannten Bildbereich darstellt und auf diese Weise deren Verhältnis als „Admittanz-Operator“ bildet. Eine solche Admittanz hat dann nicht die imaginäre Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm j\omega als Variable, sondern die komplexe Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s . Die äußere Form einer solchen gebrochen rationalen Funktion bezeichnet man im Rahmen der Netzwerk-Synthese als Admittanz-Funktion.[8]
Literatur
- Karl Küpfmüller, Wolfgang Mathis und Albrecht Reibiger: Theoretische Elektrotechnik: Eine Einführung. 18. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-78589-7.
- Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 2. 8. Auflage. Vieweg+Teubner, 2013, ISBN 978-3-8348-1031-1.
Einzelnachweise
- ↑ DIN 1304-1, Formelzeichen, 1994
- ↑ DIN 5483-3 Zeitabhängige Größen, Komplexe Darstellung sinusförmig zeitabhängiger Größen, 1994
- ↑ 3,0 3,1 DIN 40110-1, Wechselstromgrößen; Zweileiter-Stromkreise, 1994
- ↑ 4,0 4,1 IEC 60050-131, siehe DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE: Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch
- ↑ EN ISO 80000-1, Größen und Einheiten − Teil 1: Allgemeines, 2013
- ↑ Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: Elemente der angewandten Elektronik. Vieweg+Teubner, 16. Aufl. 2010, S. 42
- ↑ Klaus Lunze: Theorie der Wechselstromschaltungen. 8. Auflage. Verlag Technik, Berlin 1991, ISBN 3-341-00984-1.
- ↑ Gerhard Wunsch: Elemente der Netzwerksynthese. Verlag Technik, Berlin 1969, DNB 458706396.
