Hamilton-Funktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Die '''Hamilton-Funktion''' <math>\mathcal H(\ | Die '''Hamilton-Funktion''' <math>\mathcal H(\vec q_1, \vec q_2, \ldots,\vec p_1, \vec p_2, \ldots, t)</math> (auch '''Hamiltonian,''' nach [[William Rowan Hamilton]]) eines Systems von [[Teilchen]] ist, wenn keine rheonomen (d. h. zeitabhängigen) [[Zwangsbedingung]]en vorliegen, die Gesamt[[energie]] als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen und gegebenenfalls der Zeit. Sie ist eine [[Legendre-Transformation|Legendre-Transformierte]] der [[Lagrange-Funktion]] des Systems. Statt durch die Orts- und Impulskoordinaten kann der funktionale Zusammenhang auch durch die [[Generalisierte Koordinate|verallgemeinerten Ortskoordinaten]] <math>q=(q_1, q_2, \dotsc, q_n)</math> und [[Generalisierter Impuls|verallgemeinerten Impulskoordinaten]] <math>p=(p_1, p_2, \dotsc, p_n)</math> ausgedrückt werden. | ||
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Bei einem Teilchen der Masse <math>m</math>, das sich nichtrelativistisch in einem Potential <math>V</math> bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen: | Bei einem Teilchen der Masse <math>m</math>, das sich nichtrelativistisch in einem Potential <math>V</math> bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen: | ||
:<math>\mathcal H(t, \ | :<math>\mathcal H(t, \vec q, \vec p)=\frac{\vec p^2}{2\,m}+V(\vec q)</math> | ||
Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der [[Energie-Impuls-Relation|Energie-Impuls-Beziehung]] | Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der [[Energie-Impuls-Relation|Energie-Impuls-Beziehung]] | ||
:<math>E^2-\ | :<math>E^2-\vec p^2\,c^2=m^2\,c^4</math> | ||
gilt für die Hamilton-Funktion | gilt für die Hamilton-Funktion | ||
:<math>\mathcal H(t, \ | :<math>\mathcal H(t, \vec q, \vec p)=\sqrt{m^2\,c^4+\vec p^2\,c^2}.</math> | ||
Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion | Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion | ||
:<math>\mathcal L= -m\,c^2 \sqrt{1-\dot{\ | :<math>\mathcal L= -m\,c^2 \sqrt{1-\dot{\vec q}^2/c^2}</math> | ||
hängt der generalisierte Impuls <math>p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}</math> gemäß | hängt der generalisierte Impuls <math>p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}</math> gemäß | ||
:<math>\ | :<math>\vec p=\frac{m \dot{\vec q}}{\sqrt{1-\dot{\vec q}^2/c^2}}</math> | ||
von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion | von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion | ||
:<math>\dot{\ | :<math>\dot{\vec q}=\frac{\vec p\,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4+\vec p^2\,c^2}}</math> | ||
des Impulses. | des Impulses. | ||
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:<math>\mathcal H(x, p) = \dot{x} p - \mathcal L(x, \dot{x}) = \frac{p^2}{2m} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 = T + V = E</math> | :<math>\mathcal H(x, p) = \dot{x} p - \mathcal L(x, \dot{x}) = \frac{p^2}{2m} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 = T + V = E</math> | ||
=== Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld === | |||
In kartesischen Koordinaten (<math>\vec q = \vec x</math>) lautet die [[Lagrange-Funktion]] eines Teilchens der Ladung <math>q</math>, das sich durch ein elektromagnetisches Feld bewegt, | |||
:<math>\mathcal L = \frac 12 m \dot{\vec{x}}^2 + q \left( \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A} \right) - q \phi</math> | |||
Dabei ist <math>\phi</math> das [[Elektrisches Potential|elektrische Potential]] und <math>\vec A</math> das [[Vektorpotential]] des magnetischen Feldes. Der [[Generalisierter Impuls|kanonische Impuls]] ist | |||
:<math>\vec p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \vec x} = m\dot \vec x + q \vec A </math> | |||
Diese Gleichung kann so umgestellt werden, dass die Geschwindigkeit durch den Impuls ausgedrückt wird: | |||
:<math>\dot \vec x = \frac 1m \left( \vec p - q \vec A \right) </math> | |||
Wird der Ausdruck für <math>\dot \vec x </math> und <math>\vec p</math> in die Definition der Hamilton-Funktion eingesetzt, ergibt sich diese zu: | |||
:<math>\mathcal H = \dot \vec x \cdot \vec p - \mathcal L = \frac{1}{2m} \left( \vec p - q \vec A \right)^2 + q \phi</math> | |||
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| Autor=Wolfgang Nolting | | Autor=Wolfgang Nolting | ||
Aktuelle Version vom 17. März 2020, 11:14 Uhr
Die Hamilton-Funktion $ {\mathcal {H}}({\vec {q}}_{1},{\vec {q}}_{2},\ldots ,{\vec {p}}_{1},{\vec {p}}_{2},\ldots ,t) $ (auch Hamiltonian, nach William Rowan Hamilton) eines Systems von Teilchen ist, wenn keine rheonomen (d. h. zeitabhängigen) Zwangsbedingungen vorliegen, die Gesamtenergie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen und gegebenenfalls der Zeit. Sie ist eine Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion des Systems. Statt durch die Orts- und Impulskoordinaten kann der funktionale Zusammenhang auch durch die verallgemeinerten Ortskoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q=(q_1, q_2, \dotsc, q_n) und verallgemeinerten Impulskoordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p=(p_1, p_2, \dotsc, p_n) ausgedrückt werden.
Definition
Die Hamilton-Funktion ist definiert durch
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H(q,p, t) := \left\{\sum_{i=1}^n \dot{q}_i p_i\right\} - \mathcal L(q, \dot{q}, t), \text{ mit } \dot{q} = \dot{q}(q, p, t)
und hängt ab von
- der Zeit $ t $,
- den generalisierten Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q=(q_1, q_2, \dotsc, q_n) und
- den generalisierten Impulsen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p=(p_1, p_2, \dotsc, p_n) .
Sie geht hervor aus einer Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal L(t, q, \dot q) bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten, die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot q=(\dot q_1, \dot q_2, \dotsc, \dot q_n) abhängt:
- $ {\mathcal {H}}(t,q,p)=\left\{\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}(t,q,{\dot {q}}) $
Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot q diejenigen Funktionen
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot q(t, q, p)
gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der generalisierten Impulse
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_i := \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}
nach den Geschwindigkeiten auflöst.
Eigenschaften
Ableitung
Das totale Differential der Hamilton-Funktion lautet:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \mathrm dq_i + \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \mathrm dp_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} \mathrm dt
Aufgrund der Produktregel erhält man
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left( p_i \mathrm d\dot{q}_i + \dot{q}_i \mathrm dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} \mathrm dq_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} \mathrm d\dot{q}_i \right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} \mathrm dt,
wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} = p_i die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben, sodass gilt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left(\dot{q}_i \mathrm dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} \mathrm dq_i\right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} \mathrm dt
Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion:
- $ {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i} $
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} = -\dot{p}_i
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial t}
Erhaltungsgröße
Die totale Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \frac{\mathrm d\mathcal H}{\mathrm dt} & = \sum_{i=1}^f \left(\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \dot{p}_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\\ & = \sum_{i=1}^f \left(\dot{q}_i \dot{p}_i - \dot{p}_i \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\\ & = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} \end{align}
Wenn die Hamilton-Funktion also nicht explizit von der Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t abhängt, ist ihr Wert eine Erhaltungsgröße:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H \neq \mathcal H(t) \Rightarrow \frac{\mathrm d\mathcal H}{\mathrm dt} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = 0 \Rightarrow \mathcal H = konst.
Implikationen
Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und -impulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot q_k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k}
Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H(t, q, p) als Funktion von Operatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.
Beispiele
Massenpunkt
Bei einem Teilchen der Masse $ m $, das sich nichtrelativistisch in einem Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H(t, \vec q, \vec p)=\frac{\vec p^2}{2\,m}+V(\vec q)
Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E^2-\vec p^2\,c^2=m^2\,c^4
gilt für die Hamilton-Funktion
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H(t, \vec q, \vec p)=\sqrt{m^2\,c^4+\vec p^2\,c^2}.
Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal L= -m\,c^2 \sqrt{1-\dot{\vec q}^2/c^2}
hängt der generalisierte Impuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} gemäß
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec p=\frac{m \dot{\vec q}}{\sqrt{1-\dot{\vec q}^2/c^2}}
von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion
- $ {\dot {\vec {q}}}={\frac {{\vec {p}}\,c^{2}}{\sqrt {m^{2}\,c^{4}+{\vec {p}}^{2}\,c^{2}}}} $
des Impulses.
Harmonischer Oszillator
Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H(x, p) = \dot{x} p - \mathcal L(x, \dot{x}) = \frac{p^2}{2m} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 = T + V = E
Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld
In kartesischen Koordinaten (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec q = \vec x ) lautet die Lagrange-Funktion eines Teilchens der Ladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): q , das sich durch ein elektromagnetisches Feld bewegt,
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal L = \frac 12 m \dot{\vec{x}}^2 + q \left( \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A} \right) - q \phi
Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi das elektrische Potential und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec A das Vektorpotential des magnetischen Feldes. Der kanonische Impuls ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \vec x} = m\dot \vec x + q \vec A
Diese Gleichung kann so umgestellt werden, dass die Geschwindigkeit durch den Impuls ausgedrückt wird:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot \vec x = \frac 1m \left( \vec p - q \vec A \right)
Wird der Ausdruck für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \dot \vec x und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec p in die Definition der Hamilton-Funktion eingesetzt, ergibt sich diese zu:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H = \dot \vec x \cdot \vec p - \mathcal L = \frac{1}{2m} \left( \vec p - q \vec A \right)^2 + q \phi
Literatur
- Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
- Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2. Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.