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Die '''Grenzschichtgleichungen''' treten in der [[Grenzschichttheorie]] als Vereinfachungen der [[Gleichungen von Navier-Stokes|Navier-Stokes-Gleichungen]] auf. Für eine zweidimensionale [[stationäre Strömung]] mit konstanter [[Dichte]] <math>\rho</math> lauten sie: | Die '''Grenzschichtgleichungen''' treten in der [[Grenzschichttheorie]] als Vereinfachungen der [[Gleichungen von Navier-Stokes|Navier-Stokes-Gleichungen]] auf. Für eine zweidimensionale [[stationäre Strömung]] mit konstanter [[Dichte]] <math>\rho</math> lauten sie: | ||
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Die zweite Gleichung ist die [[Kontinuitätsgleichung #Hydrodynamik|Kontinuitätsgleichung]] für [[inkompressibel|inkompressible]] Strömungen. | Die zweite Gleichung ist die [[Kontinuitätsgleichung #Hydrodynamik|Kontinuitätsgleichung]] für [[inkompressibel|inkompressible]] Strömungen. | ||
Die dritte Gleichung besagt, dass sich der Druck über die betrachtete Höhe nicht ändert, d. h. der Druck an der Körperoberfläche entspricht dem Druck in der [[ | Die dritte Gleichung besagt, dass sich der Druck über die betrachtete Höhe nicht ändert, d. h. der Druck an der Körperoberfläche entspricht dem Druck in der [[reibung]]sfreien Außenströmung. | ||
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welche die [[Krümmung]] des Geschwindigkeitsprofils an der Wand mit dem durch die Außenströmung aufgeprägten Druck[[Gradient (Mathematik)|gradienten]] in Beziehung setzt (<math>\eta = \rho \cdot \nu</math> ist die [[dynamische Viskosität]]). | welche die [[Krümmung]] des Geschwindigkeitsprofils an der Wand mit dem durch die Außenströmung aufgeprägten Druck[[Gradient (Mathematik)|gradienten]] in Beziehung setzt (<math>\eta = \rho \cdot \nu</math> ist die [[dynamische Viskosität]]). | ||
Eine [[Grenzschichtablösung]] kann nur bei verzögerter Außenströmung, d.h. bei positivem Druckgradienten, auftreten. Die Grenzschicht löst von der Körperkontur ab, wenn die [[Wandschubspannung]] verschwindet: | Eine [[Grenzschichtablösung]] kann nur bei verzögerter Außenströmung, d. h. bei positivem Druckgradienten, auftreten. Die Grenzschicht löst von der Körperkontur ab, wenn die [[Wandschubspannung]] verschwindet: | ||
:<math>\tau_\text{wand} = \eta \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)_{y=0} = 0.</math> | :<math>\tau_\text{wand} = \eta \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)_{y=0} = 0.</math> | ||
== Lösung == | == Lösung == | ||
Im Gegensatz zu den [[ | Im Gegensatz zu den [[Elliptische partielle Differentialgleichung|elliptischen]] Navier-Stokes-Gleichungen bilden die Grenzschichtgleichungen ein [[Parabolische partielle Differentialgleichung|parabolisches]] Gleichungssystem. Dadurch gibt es keinen stromaufwärts gerichteten Informationsfluss, so dass eine [[Gleichung #Numerische Lösung|numerische Lösung]] mit einem Upstream-Verfahren möglich ist. | ||
Eine [[Gleichung # | Eine [[Gleichung #Analytische Lösung|analytische Lösung]] der Grenzschichtgleichungen ist nur in einigen Sonderfällen möglich. Die einfachste Lösung ist die Grenzschichtströmung entlang einer unendlich dünnen, ebenen Platte (Blasius-Lösung). In diesem Fall sind die Lösungen an verschiedenen Stellen entlang der Platte [[Ähnlichkeitstheorie|ähnlich]] und können durch eine geeignete [[Skalarmultiplikation|Skalierung]] der Koordinate normal zur Wand ineinander überführt werden. Dies liefert einen Ausdruck für die Grenzschichtdicke: | ||
:<math>\frac{\delta(x)}{x} = \frac{5}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}},</math> | :<math>\frac{\delta(x)}{x} = \frac{5}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}},</math> | ||
mit der [[Reynoldszahl]] <math>\mathrm{Re}_x = \frac{u_\infty \cdot x}{\nu}.</math> | mit der [[Reynoldszahl]] <math>\mathrm{Re}_x = \frac{u_\infty \cdot x}{\nu}.</math> | ||
Als Dicke <math>\delta(x)</math> der Grenzschicht wird die Dicke festgelegt, bei der die Geschwindigkeit 99 | Als Dicke <math>\delta(x)</math> der Grenzschicht wird die Dicke festgelegt, bei der die Geschwindigkeit 99 % der Geschwindigkeit der freien Außenströmung erreicht hat: | ||
:<math>u_{\delta} = u(y = \delta) := 0{,}99 \cdot u_\infty \approx u_\infty</math> | :<math>u_{\delta} = u(y = \delta) := 0{,}99 \cdot u_\infty \approx u_\infty</math> | ||
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* Spurk, Aksel: Strömungslehre, Springer, Berlin 2007, ISBN 978- | * Spurk, Aksel: Strömungslehre, Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-38439-7 | ||
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Die Grenzschichtgleichungen treten in der Grenzschichttheorie als Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen auf. Für eine zweidimensionale stationäre Strömung mit konstanter Dichte $ \rho $ lauten sie:
mit
Die zweite Gleichung ist die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Strömungen.
Die dritte Gleichung besagt, dass sich der Druck über die betrachtete Höhe nicht ändert, d. h. der Druck an der Körperoberfläche entspricht dem Druck in der reibungsfreien Außenströmung.
In der Außenströmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left( \tfrac{\partial u}{\partial y} = 0 \right) gilt die Eulergleichung:
mit
Sie besagt: der Druckgradient, d. h. der Verlauf des Druckes in Strömungsrichtung, ist
Zur Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung sind folgende Anfangs- und Randbedingungen erforderlich:
Die ersten beiden Gleichungen beschreiben die Haftbedingung an der Körperoberfläche, als dritte Bedingung ist die Geschwindigkeit der Außenströmung vorgegeben (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta ist die Dicke der Grenzschicht).
Aus der Haftbedingung lässt sich folgende Gleichung ableiten:
welche die Krümmung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand mit dem durch die Außenströmung aufgeprägten Druckgradienten in Beziehung setzt (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta = \rho \cdot \nu ist die dynamische Viskosität).
Eine Grenzschichtablösung kann nur bei verzögerter Außenströmung, d. h. bei positivem Druckgradienten, auftreten. Die Grenzschicht löst von der Körperkontur ab, wenn die Wandschubspannung verschwindet:
Im Gegensatz zu den elliptischen Navier-Stokes-Gleichungen bilden die Grenzschichtgleichungen ein parabolisches Gleichungssystem. Dadurch gibt es keinen stromaufwärts gerichteten Informationsfluss, so dass eine numerische Lösung mit einem Upstream-Verfahren möglich ist.
Eine analytische Lösung der Grenzschichtgleichungen ist nur in einigen Sonderfällen möglich. Die einfachste Lösung ist die Grenzschichtströmung entlang einer unendlich dünnen, ebenen Platte (Blasius-Lösung). In diesem Fall sind die Lösungen an verschiedenen Stellen entlang der Platte ähnlich und können durch eine geeignete Skalierung der Koordinate normal zur Wand ineinander überführt werden. Dies liefert einen Ausdruck für die Grenzschichtdicke:
mit der Reynoldszahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{Re}_x = \frac{u_\infty \cdot x}{\nu}.
Als Dicke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta(x) der Grenzschicht wird die Dicke festgelegt, bei der die Geschwindigkeit 99 % der Geschwindigkeit der freien Außenströmung erreicht hat:
Neben dieser Definition der Grenzschichtdicke wird als physikalisch sinnvolleres Maß oft die Verdrängungsdicke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_1 oder die Impulsverlustdicke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta_2 verwendet.
