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Das '''XY-Modell''' ist eine Verallgemeinerung des [[Ising-Modell]]s der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]], mit dem der [[Magnetismus]] und andere physikalischen Erscheinungen beschrieben werden können. Das XY-Modell ist der Spezialfall | Das '''XY-Modell''' ist eine Verallgemeinerung des [[Ising-Modell]]s der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]], mit dem der [[Magnetismus]] und andere physikalischen Erscheinungen beschrieben werden können. Das XY-Modell ist der Spezialfall <math>n=2</math> des allgemeineren [[n-Vektor-Modell]]s (die anderen Spezialfälle dieses Modells sind das Ising-Modell mit <math>n=1</math> und das [[Heisenberg-Modell]] mit <math>n=3</math>). | ||
Das XY-Modell besteht aus N | Es wurde schon 1950 von [[Yōichirō Nambu]]<ref>Daniel Mattis, The many-body problem, World Scientific 1993, S. 683</ref> in Zusammenhang mit dem zweidimensionalen Ising-Modell betrachtet. [[Elliott Lieb]], [[Daniel Mattis]] und T. Schultz gaben 1961 eine exakte Lösung des XY-Modell von Spin 1/2-Teilchen in einer Dimension.<ref>Lieb, Schultz, Mattis, Annals of Physics, Band 16, 1961, S. 407</ref> Dabei verwendeten sie die [[Jordan-Wigner-Transformation]]. | ||
Das XY-Modell besteht aus <math>N</math> [[Spin]]s <math>\vec{s_i}</math>, die durch [[Einheitsvektor]]en dargestellt werden. Sie sind auf den Punkten eines [[Gitter (Mathematik)|Gitters]] beliebiger Dimension angeordnet, können aber nur in einer Ebene ausgerichtet sein; daher die Bezeichnung ''XY'' und der Spezialfall <math>n=2</math>. | |||
Der [[Hamiltonoperator|Hamiltonian]] für das XY-Modell ist gegeben durch: | Der [[Hamiltonoperator|Hamiltonian]] für das XY-Modell ist gegeben durch: | ||
:<math>H = -J \sum _{ | :<math>H = -J \sum _{\langle i,j\rangle} \vec s_i \cdot \vec s_j - \vec{H} \sum_{i=1}^N \vec s_i</math> | ||
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== Weblinks == | == Weblinks == | ||
* [ | * [https://itp.tugraz.at/MML/isingxy/isingxyapplet/isingxymedium.html Java-Applet zur Visualisierung des Ising- und XY-Modells] | ||
== Einzelnachweise == | |||
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[[Kategorie:Statistische Physik]] | [[Kategorie:Statistische Physik]] | ||
[[Kategorie:Magnetismus]] | [[Kategorie:Magnetismus]] | ||
Das XY-Modell ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells der statistischen Mechanik, mit dem der Magnetismus und andere physikalischen Erscheinungen beschrieben werden können. Das XY-Modell ist der Spezialfall $ n=2 $ des allgemeineren n-Vektor-Modells (die anderen Spezialfälle dieses Modells sind das Ising-Modell mit $ n=1 $ und das Heisenberg-Modell mit $ n=3 $).
Es wurde schon 1950 von Yōichirō Nambu[1] in Zusammenhang mit dem zweidimensionalen Ising-Modell betrachtet. Elliott Lieb, Daniel Mattis und T. Schultz gaben 1961 eine exakte Lösung des XY-Modell von Spin 1/2-Teilchen in einer Dimension.[2] Dabei verwendeten sie die Jordan-Wigner-Transformation.
Das XY-Modell besteht aus $ N $ Spins $ {\vec {s_{i}}} $, die durch Einheitsvektoren dargestellt werden. Sie sind auf den Punkten eines Gitters beliebiger Dimension angeordnet, können aber nur in einer Ebene ausgerichtet sein; daher die Bezeichnung XY und der Spezialfall $ n=2 $.
Der Hamiltonian für das XY-Modell ist gegeben durch:
wobei
Der Ordnungsparameter des XY-Modells ist die Magnetisierung $ {\vec {M}}=(M_{x},M_{y}) $ und somit ein Vektor in der XY-Ebene. Ein Phasenübergang kann für zwei- und höherdimensionale Gitter auftreten. In zwei Dimensionen ist dies kein normaler kontinuierlicher Phasenübergang oder Phasenübergang erster Ordnung, sondern der durch keinen herkömmlichen lokalen Ordnungsparameter beschreibbare Kosterlitz-Thouless-Übergang. Dieser ist der Hauptgrund, warum das XY-Modell für die theoretische Physik interessant ist.