Zugeordnete Legendrepolynome: Unterschied zwischen den Versionen
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Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendregleichung: | Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendregleichung: | ||
:<math>(1-x^2) \, \frac{\mathrm{d}^2\,y}{\mathrm{d}x^2} - 2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \left(\ell ( \ell + 1 )- \frac{m^2}{1-x^2}\right) \, y = 0</math> | : <math>(1-x^2) \, \frac{\mathrm{d}^2\,y}{\mathrm{d}x^2} - 2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \left(\ell ( \ell + 1 )- \frac{m^2}{1-x^2}\right) \, y = 0</math> | ||
Diese gewöhnliche [[Differentialgleichung]] hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall <math>[-1, 1]</math> nur dann, wenn <math>\ell\,</math> und <math>m\,</math> ganzzahlig sind mit <math>0 \le m \le \ell</math>. | Diese gewöhnliche [[Differentialgleichung]] hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall <math>[-1, 1]</math> nur dann, wenn <math>\ell\,</math> und <math>m\,</math> ganzzahlig sind mit <math>0 \le m \le \ell</math>. | ||
Man begegnet der allgemeinen Legendregleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische [[Symmetrie (Physik)|Symmetrie]] vorliegt, wie beispielsweise im [[Zentralpotential]]. Hier lassen sich die [[Laplacegleichung]] | Man begegnet der allgemeinen Legendregleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische [[Symmetrie (Physik)|Symmetrie]] vorliegt, wie beispielsweise im [[Zentralpotential]]. Hier lassen sich die [[Laplacegleichung]] sowie verwandte [[partielle Differentialgleichung]]en oft auf die allgemeine Legendregleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die [[Quantenmechanik|quantenmechanische]] Lösung der [[Wasserstoffatom#Lösung der Schrödinger-Gleichung (Wasserstoffproblem)|Energiezustände des Wasserstoffatoms]]. | ||
== Definition == | == Definition == | ||
[[Datei:Mplwp legendreP04a0.svg|mini|320px|Die zugeordneten Legendrepolynome für ''m''=0 sind die gewöhnlichen Legendrepolynome.]] | |||
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[[Datei:Mplwp legendreP26a2.svg|mini|320px|Zugeordnete Legendrepolynome für ''m''=2]] | |||
[[Datei:Mplwp legendreP37a3.svg|mini|320px|Zugeordnete Legendrepolynome für ''m''=3]] | |||
Die zugeordneten Legendrepolynome werden als <math>P_\ell^{(m)}(x)</math> bezeichnet. | Die zugeordneten Legendrepolynome werden als <math>P_\ell^{(m)}(x)</math> bezeichnet. | ||
Am einfachsten lassen sie sich als Ableitungen von gewöhnlichen [[Legendrepolynom]]en definieren: | Am einfachsten lassen sie sich als Ableitungen von gewöhnlichen [[Legendrepolynom]]en definieren: | ||
:<math>P_\ell^{(m)}(x) = (-1)^m \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m} P_\ell(x)</math> | |||
: <math>P_\ell^{(m)}(x) = (-1)^m \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m} P_\ell(x)</math> | |||
wobei <math>P_\ell(x)</math> das <math>\ell</math>-te Legendrepolynom ist | wobei <math>P_\ell(x)</math> das <math>\ell</math>-te Legendrepolynom ist | ||
:<math>P_\ell(x) = \frac{1}{2^\ell \, \ell!} \, \frac{\mathrm{d}^\ell}{\mathrm{d}x^\ell} \left(x^2-1\right)^\ell</math>. | :<math>P_\ell(x) = \frac{1}{2^\ell \, \ell!} \, \frac{\mathrm{d}^\ell}{\mathrm{d}x^\ell} \left(x^2-1\right)^\ell</math>. | ||
Daraus ergibt sich | Daraus ergibt sich | ||
:<math>P_\ell^{(m)}(x) = \frac{(-1)^m}{2^\ell \, \ell!} \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^{\ell+m}}{\mathrm{d}x^{\ell+m}} \left(x^2-1\right)^\ell.</math> | : <math>P_\ell^{(m)}(x) = \frac{(-1)^m}{2^\ell \, \ell!} \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^{\ell+m}}{\mathrm{d}x^{\ell+m}} \left(x^2-1\right)^\ell.</math> | ||
== Zusammenhang mit Legendrepolynomen == | == Zusammenhang mit Legendrepolynomen == | ||
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== Orthogonalität == | == Orthogonalität == | ||
Für die zugeordneten Legendrepolynome gelten im Intervall | Für die zugeordneten Legendrepolynome gelten im Intervall <math>I = [-1,1]</math> zwei Orthogonalitätsrelationen: | ||
:<math>\int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_k^{(m)}(x) \, \mathrm{d}x = \frac{2}{2\,\ell+1} \, \frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!} \, \delta_{\ell k}. </math> | : <math>\int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_k^{(m)}(x) \, \mathrm{d}x = \frac{2}{2\,\ell+1} \, \frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!} \, \delta_{\ell k}. </math> | ||
:<math>\int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_\ell^{(n)}(x) \cdot \frac{1}{1 - x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{(\ell+m)!}{m(\ell-m)!} \, \delta_{mn}. </math> | : <math>\int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_\ell^{(n)}(x) \cdot \frac{1}{1 - x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{(\ell+m)!}{m(\ell-m)!} \, \delta_{mn}. </math> | ||
Das zweite Integral ist allerdings nur definiert, wenn entweder m oder n ungleich 0 ist. | Das zweite Integral ist allerdings nur definiert, wenn entweder <math>m</math> oder <math>n</math> ungleich 0 ist. | ||
== Zusammenhang mit der Einheitskugel == | == Zusammenhang mit der Einheitskugel == | ||
Am wichtigsten ist der Fall <math>x = \cos \vartheta</math>. <!-- Oft wird <math>P_\ell^{(m)}(\cos\vartheta)</math> betrachtet, für diese gilt die Normierung auf der Einheitskugel | Am wichtigsten ist der Fall <math>x = \cos \vartheta</math>. <!-- Oft wird <math>P_\ell^{(m)}(\cos\vartheta)</math> betrachtet, für diese gilt die Normierung auf der Einheitskugel | ||
:<math>\int\limits_0^\pi \left| P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) \right|^2 \, \sin\vartheta \, \mathrm{d} \vartheta = 1.</math> Das stimmt nicht! -->Die zugeordnete Legendre-Gleichung lautet dann | : <math>\int\limits_0^\pi \left| P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) \right|^2 \, \sin\vartheta \, \mathrm{d} \vartheta = 1.</math> Das stimmt nicht! -->Die zugeordnete Legendre-Gleichung lautet dann | ||
:<math>\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} \vartheta^2} + \frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta} \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} \vartheta} + \left[ \ell\,(\ell+1) - \frac{m^2}{\sin^2 \vartheta} \right] y = 0.</math> | : <math>\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} \vartheta^2} + \frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta} \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} \vartheta} + \left[ \ell\,(\ell+1) - \frac{m^2}{\sin^2 \vartheta} \right] y = 0.</math> | ||
Da nach der [[Substitutionsregel]] | Da nach der [[Substitutionsregel]] | ||
:<math>\int_0^\pi f(\cos \vartheta) \sin \vartheta \, \mathrm{d} \vartheta = \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x</math> | : <math>\int_0^\pi f(\cos \vartheta) \sin \vartheta \, \mathrm{d} \vartheta = \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x</math> | ||
gilt, übertragen sich obige Orthogonalitätsrelationen ohne weiteres auf die Einheitskugel. | gilt, übertragen sich obige Orthogonalitätsrelationen ohne weiteres auf die Einheitskugel. | ||
Über <math>P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta)</math> werden die sog. [[Kugelflächenfunktion]]en definiert als | Über <math>P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta)</math> werden die sog. [[Kugelflächenfunktion]]en definiert als | ||
:<math>Y_\ell^{(m)}(\varphi,\vartheta) = \sqrt{\frac{2\,\ell + 1}{4\,\pi} \, \frac{(\ell - m)!}{(\ell + m)!}} \, P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) \, \mathrm{e}^{i\,m\,\varphi},</math> | : <math>Y_\ell^{(m)}(\varphi,\vartheta) = \sqrt{\frac{2\,\ell + 1}{4\,\pi} \, \frac{(\ell - m)!}{(\ell + m)!}} \, P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) \, \mathrm{e}^{i\,m\,\varphi},</math> | ||
welche auf der Einheitskugel ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. | welche auf der Einheitskugel ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. | ||
== Die ersten zugeordneten Legendrepolynome == | == Die ersten zugeordneten Legendrepolynome == | ||
Für die zugeordneten Legendrepolynome gilt folgende Rekursionsformel | Für die zugeordneten Legendrepolynome gilt folgende Rekursionsformel | ||
:<math>(\ell-m) \, P_\ell^{(m)}(x) = x\,(2\,\ell-1) \, P_{\ell-1}^{(m)}(x) - (\ell+m-1)\,P_{\ell-2}^{(m)}(x).</math> | : <math>(\ell-m) \, P_\ell^{(m)}(x) = x\,(2\,\ell-1) \, P_{\ell-1}^{(m)}(x) - (\ell+m-1)\,P_{\ell-2}^{(m)}(x).</math> | ||
Die zugehörigen Startwerte der Rekursionsformel stellen sie wie folgt dar: | |||
:<math>P_m^{(m)}(x) = (-1)^{m} \cdot \frac{(2m)!}{2^m m!} \cdot \left( 1 - x^2 \right)^{m/2} \quad , \quad P_k^{m}(x) = 0 \;, \quad \forall k<m </math> | |||
Die Relation zwischen den assoziierten Legendre-Polynomen mit positiven und negativen <math>m</math> stellt sich wie folgt dar. | |||
:<math>P_\ell^{(-m)} = (-1)^{m} \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!} \cdot P_\ell^{(m)}</math> | |||
Die ersten Legendrepolynomen bestimmen sich damit zu | Die ersten Legendrepolynomen bestimmen sich damit zu | ||
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!<math>P_\ell^{(m)}(x)</math> | |||
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Und mit <math>\cos\vartheta</math> als Argument | Und mit <math>\cos\vartheta</math> als Argument | ||
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!<math>P_\ell^{(m)}(\cos\vartheta)</math> | |||
!<math>\ell=0</math> | |||
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!<math>\ell = 2</math> | |||
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== Zugeordnete Legendrefunktionen 2. Art == | == Zugeordnete Legendrefunktionen 2. Art == | ||
Ähnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome <math>P_\ell^{(m)}(x)</math> nur eine Gruppe von Lösungsfunktionen der verallgemeinerten Legendreschen Gleichung dar. Die zugeordneten Legendrefunktionen 2. Art <math>Q_\ell^{(m)}(x)</math> stellen ebenso Lösungen dar. Auch für sie gilt <math>Q_\ell^{(0)} = Q_\ell</math> mit den Legendrefunktionen 2. Art <math>Q_\ell(x)</math>. | Ähnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome <math>P_\ell^{(m)}(x)</math> nur eine Gruppe von Lösungsfunktionen der verallgemeinerten Legendreschen Gleichung dar. Die zugeordneten Legendrefunktionen 2. Art <math>Q_\ell^{(m)}(x)</math> stellen ebenso Lösungen dar. Auch für sie gilt <math>Q_\ell^{(0)} = Q_\ell</math> mit den Legendrefunktionen 2. Art <math>Q_\ell(x)</math>. | ||
== Weblinks == | == Weblinks == | ||
* [ | * [https://dlmf.nist.gov/14.2 Legendrefunktionen] in der NIST Digital Library of Mathematical Functions (englisch) | ||
* {{MathWorld|title=Associated Legendre Polynomial | * {{MathWorld |id=AssociatedLegendrePolynomial |title=Associated Legendre Polynomial}} | ||
== Literatur == | == Literatur == | ||
* [[Richard Courant]], [[David Hilbert]]: Methoden der mathematischen Physik | * [[Richard Courant]], [[David Hilbert]]: ''Methoden der mathematischen Physik''. 2 Bände. Springer Verlag, 1968 | ||
* [[Gerald Teschl]]: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators | * [[Gerald Teschl]]: ''Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators''. American Mathematical Society, 2009 ([https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ mat.univie.ac.at]) | ||
[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]] | [[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]] | ||
Aktuelle Version vom 5. Juli 2021, 14:03 Uhr
Bei zugeordneten Legendrepolynomen bzw. assoziierten Legendrepolynomen, auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen, die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen.
Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendregleichung:
- $ (1-x^{2})\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}\,y}{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\left(\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0 $
Diese gewöhnliche Differentialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall $ [-1,1] $ nur dann, wenn $ \ell \, $ und $ m\, $ ganzzahlig sind mit $ 0\leq m\leq \ell $.
Man begegnet der allgemeinen Legendregleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische Symmetrie vorliegt, wie beispielsweise im Zentralpotential. Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendregleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die quantenmechanische Lösung der Energiezustände des Wasserstoffatoms.
Definition
Datei:Mplwp legendreP15a1.svg
Zugeordnete Legendrepolynome für m=1
Datei:Mplwp legendreP26a2.svg
Zugeordnete Legendrepolynome für m=2
Datei:Mplwp legendreP37a3.svg
Zugeordnete Legendrepolynome für m=3
Die zugeordneten Legendrepolynome werden als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(x) bezeichnet. Am einfachsten lassen sie sich als Ableitungen von gewöhnlichen Legendrepolynomen definieren:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(x) = (-1)^m \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m} P_\ell(x)
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell(x) das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ell -te Legendrepolynom ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell(x) = \frac{1}{2^\ell \, \ell!} \, \frac{\mathrm{d}^\ell}{\mathrm{d}x^\ell} \left(x^2-1\right)^\ell .
Daraus ergibt sich
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(x) = \frac{(-1)^m}{2^\ell \, \ell!} \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^{\ell+m}}{\mathrm{d}x^{\ell+m}} \left(x^2-1\right)^\ell.
Zusammenhang mit Legendrepolynomen
Die verallgemeinerte Legendregleichung geht für $ m=0 $ in die Legendregleichung über, sodass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(0)}(x) = P_{\ell}(x) gilt.
Orthogonalität
Für die zugeordneten Legendrepolynome gelten im Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I = [-1,1] zwei Orthogonalitätsrelationen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_k^{(m)}(x) \, \mathrm{d}x = \frac{2}{2\,\ell+1} \, \frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!} \, \delta_{\ell k}.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_\ell^{(n)}(x) \cdot \frac{1}{1 - x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{(\ell+m)!}{m(\ell-m)!} \, \delta_{mn}.
Das zweite Integral ist allerdings nur definiert, wenn entweder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n ungleich 0 ist.
Zusammenhang mit der Einheitskugel
Am wichtigsten ist der Fall $ x=\cos \vartheta $. Die zugeordnete Legendre-Gleichung lautet dann
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} \vartheta^2} + \frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta} \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} \vartheta} + \left[ \ell\,(\ell+1) - \frac{m^2}{\sin^2 \vartheta} \right] y = 0.
Da nach der Substitutionsregel
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_0^\pi f(\cos \vartheta) \sin \vartheta \, \mathrm{d} \vartheta = \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x
gilt, übertragen sich obige Orthogonalitätsrelationen ohne weiteres auf die Einheitskugel.
Über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) werden die sog. Kugelflächenfunktionen definiert als
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Y_\ell^{(m)}(\varphi,\vartheta) = \sqrt{\frac{2\,\ell + 1}{4\,\pi} \, \frac{(\ell - m)!}{(\ell + m)!}} \, P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) \, \mathrm{e}^{i\,m\,\varphi},
welche auf der Einheitskugel ein vollständiges Orthonormalsystem bilden.
Die ersten zugeordneten Legendrepolynome
Für die zugeordneten Legendrepolynome gilt folgende Rekursionsformel
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\ell-m) \, P_\ell^{(m)}(x) = x\,(2\,\ell-1) \, P_{\ell-1}^{(m)}(x) - (\ell+m-1)\,P_{\ell-2}^{(m)}(x).
Die zugehörigen Startwerte der Rekursionsformel stellen sie wie folgt dar:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_m^{(m)}(x) = (-1)^{m} \cdot \frac{(2m)!}{2^m m!} \cdot \left( 1 - x^2 \right)^{m/2} \quad , \quad P_k^{m}(x) = 0 \;, \quad \forall k<m
Die Relation zwischen den assoziierten Legendre-Polynomen mit positiven und negativen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m stellt sich wie folgt dar.
- $ P_{\ell }^{(-m)}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\cdot P_{\ell }^{(m)} $
Die ersten Legendrepolynomen bestimmen sich damit zu
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(x) | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ell=0 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ell=1 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ell = 2 |
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| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=-2 | $ 1/8(1-x^{2}) $ | ||
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=-1 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1/2 \sqrt{1-x^2} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1/2 x \sqrt{1 - x^2} | |
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=0 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x | $ 1/2(3x^{2}-1) $ |
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=1 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\sqrt{1 - x^2} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): - 3 x\sqrt{ 1 - x^2} | |
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=2 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 3 (1 - x^2) |
Und mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cos\vartheta als Argument
| $ P_{\ell }^{(m)}(\cos \vartheta ) $ | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ell=0 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ell=1 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ell = 2 |
|---|---|---|---|
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=-2 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1/8 \sin^2\vartheta | ||
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=-1 | $ 1/2\sin \vartheta $ | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1/2 \sin\vartheta \cos\vartheta | |
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=0 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cos\vartheta | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1/2 (3\cos^2\vartheta - 1) |
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=1 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): - \sin\vartheta | $ -3\sin \vartheta \cos \vartheta $ | |
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m=2 | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 3 \sin^2\vartheta |
Zugeordnete Legendrefunktionen 2. Art
Ähnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(x) nur eine Gruppe von Lösungsfunktionen der verallgemeinerten Legendreschen Gleichung dar. Die zugeordneten Legendrefunktionen 2. Art Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q_\ell^{(m)}(x) stellen ebenso Lösungen dar. Auch für sie gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q_\ell^{(0)} = Q_\ell mit den Legendrefunktionen 2. Art Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q_\ell(x) .
Weblinks
- Legendrefunktionen in der NIST Digital Library of Mathematical Functions (englisch)
- Eric W. Weisstein: Associated Legendre Polynomial. In: MathWorld (englisch).
Literatur
- Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. 2 Bände. Springer Verlag, 1968
- Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, 2009 (mat.univie.ac.at)