Öffnungswinkel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. April 2021, 11:07 Uhr

Als Öffnungswinkel $\omega$ einer Sammellinse oder eines Objektivs (allgemein eines fokalen optischen Systems) wird der Winkel bezeichnet, den ein Punkt auf der optischen Achse mit dem Durchmesser der Eintritts- bzw. Austrittspupille bildet.

Konkret unterscheidet man:

objektseitiger Öffnungswinkel $\omega _{\mathrm {O} }$ , definiert als der Winkel zwischen dem Objektpunkt auf der optischen Achse und dem Durchmesser der Eintrittspupille:

\omega _{\mathrm {O} }=2\cdot \arctan \left({\frac {\varnothing _{\text{Eintrittspupille}}}{2\cdot {\text{Abstand}}_{\text{Eintrittspupille zu Objektpunkt}}}}\right)

bildseitiger Öffnungswinkel $\omega _{\mathrm {B} }$ , definiert als der Winkel zwischen dem Bildpunkt auf der optischen Achse und dem Durchmesser der Austrittspupille:

\omega _{\mathrm {B} }=2\cdot \arctan \left({\frac {\varnothing _{\text{Austrittspupille}}}{2\cdot {\text{Abstand}}_{\text{Austrittspupille zu Bildpunkt}}}}\right)

Er bestimmt die Größe der Zerstreuungskreise und beeinflusst somit die Abbildungstiefe.

Öffnungswinkel einer Sammellinse

Datei:Öffnungswinkel Sammellinse.jpg

Objektseitiger Öffnungswinkel

\omega _{\mathrm {O} }

, bildseitiger Öffnungswinkel

\omega _{\mathrm {B} }

, Gegenstandsweite

$ g $

sowie Bildweite

$ b $

Bei Fotoobjektiven entsprechen die Positionen der Eintritts- bzw. Austrittspupille in der Regel nicht mehr der Lage der Hauptebenen, auch ist ihr Durchmesser üblicherweise variabel. Außerdem enthalten Objektive zusätzliche Blenden und sind meistens aus mehreren Linsen aufgebaut.

Dagegen fallen bei einer Sammellinse Eintritts- und Austrittspupille in der Linsenmitte zusammen – der Durchmesser der Pupillen entspricht jeweils demjenigen der Linse. Somit entspricht der Abstand des Objektpunktes zur Eintrittspupille der Gegenstandsweite $$ g $$ , und der Abstand des Bildpunktes zur Austrittspupille entspricht der Bildweite $$ b $$ .

Dadurch vereinfachen sich die Verhältnisse so, dass sich die Öffnungswinkel bei einer Sammellinse berechnen lassen als:

objektseitiger Öffnungswinkel $\omega _{\mathrm {O} }=2\cdot \arctan \left({\frac {\varnothing _{\text{Linse}}}{2\cdot {\text{Gegenstandsweite}}}}\right)$
bildseitiger Öffnungswinkel $\omega _{\mathrm {B} }=2\cdot \arctan \left({\frac {\varnothing _{\text{Linse}}}{2\cdot {\text{Bildweite}}}}\right)$

Große Gegenstandsweite

Eine weitere Vereinfachung ergibt sich, wenn man den Öffnungswinkel bei sehr großen Gegenstandsweiten („unendlich“) betrachtet. Wächst die Gegenstandsweite über alle Grenzen, so wird

\omega _{\mathrm {O} }=0\,.

Gemäß der Linsengleichung entspricht die Bildweite bei unendlich großer Gegenstandsweite der Brennweite f, also wird

\omega _{\mathrm {B} }=2\cdot \arctan \left({\frac {\varnothing _{\text{Linse}}}{2\cdot f}}\right)\,.

Öffnungsverhältnis und Blendenzahl

Für große Gegenstandsweiten g ergibt sich aus dem bildseitigen Öffnungswinkel $\displaystyle \omega _{\mathrm {B} }$ und der Brennweite f eines optischen Systems das Öffnungsverhältnis 1/k:

{\frac {1}{k}}=2\cdot \tan \left({\frac {\omega _{\mathrm {B} }}{2}}\right)={\frac {\varnothing _{\text{Eintrittspupille}}}{f}}

Die Blendenzahl ist der Kehrwert des Öffnungsverhältnisses, also:

k={\frac {1}{2\cdot \tan \left({\frac {\omega _{\mathrm {B} }}{2}}\right)}}={\frac {f}{\varnothing _{\text{Eintrittspupille}}}}

Die Eintrittspupille ist das Bild der Blende, welches man durch die Vorderseite des Objektivs sieht. So kann man auch Durchmesser schätzen.

Numerische Apertur

Aus dem objektseitigen Öffnungswinkel $\omega _{\mathrm {O} }$ und dem Brechungsindex n des Mediums ergibt sich die numerische Apertur $A_{N}$ :

A_{N}=n\cdot \sin \left({\frac {\omega _{\mathrm {O} }}{2}}\right)

Der Brechungsindex n der Luft ist etwa 1 (1,000292 in Bodennähe).

Siehe auch

Bildwinkel

Weblinks

Optische Terminologie (Canon) (PDF; 1,68 MB)

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{Dieser Artikel|erläutert den Begriff Öffnungswinkel in der Optik; zu anderen Bedeutungen siehe [[Öffnungswinkel (Begriffsklärung)]].}}
-Als ''Öffnungswinkel'' <math>\omega</math> einer [[Sammellinse]] oder eines [[Objektiv (Optik)|Objektivs]] (allgemein eines [[Fokus|fokal]]en optischen [[optisches System|Systems]]) wird der Winkel bezeichnet, den ein Punkt auf der [[Optische_Achse_(Optik)|optischen Achse]] mit dem Durchmesser der [[Eintrittspupille|Eintritts]]- bzw. [[Austrittspupille]] bildet.
+Als ''Öffnungswinkel'' <math>\omega</math> einer [[Sammellinse]] oder eines [[Objektiv (Optik)|Objektivs]] (allgemein eines [[Fokus|fokal]]en optischen [[optisches System|Systems]]) wird der Winkel bezeichnet, den ein Punkt auf der [[Optische Achse (Optik)|optischen Achse]] mit dem Durchmesser der [[Eintrittspupille|Eintritts]]- bzw. [[Austrittspupille]] bildet.
-Konkret unterscheidet man zwischen ''objektseitigem'' und ''bildseitigem'' Öffnungswinkel
+Konkret unterscheidet man:
-*'''objektseitiger Öffnungswinkel'''
+* '''objektseitiger Öffnungswinkel''' <math>\omega_\mathrm{O}</math>, definiert als der Winkel zwischen dem [[Objektpunkt]] auf der optischen Achse und dem Durchmesser der Eintrittspupille:
-:Der ''objektseitige Öffnungswinkel'' <math>\omega_\mathrm{O}</math> ist definiert als der Winkel zwischen dem [[Objektpunkt]] auf der optischen Achse und dem Durchmesser der [[Eintrittspupille]].
+::<math>
-:<math>
 \omega_\mathrm{O} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Eintrittspupille}} { 2 \cdot \text{Abstand}_\text{Eintrittspupille zu Objektpunkt}} \right)
 </math>
+* '''bildseitiger Öffnungswinkel''' <math>\omega_\mathrm{B}</math>, definiert als der Winkel zwischen dem [[Bildpunkt (Optik)|Bildpunkt]] auf der optischen Achse und dem Durchmesser der Austrittspupille:
-*'''bildseitiger Öffnungswinkel'''
+::<math>
-:Analog ist der ''bildseitige Öffnungswinkel'' <math>\omega_\mathrm{B}</math> der Winkel zwischen dem [[Bildpunkt (Optik)|Bildpunkt]] auf der optischen Achse und dem Durchmesser der [[Austrittspupille]].
-:<math>
 \omega_\mathrm{B} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Austrittspupille}} { 2 \cdot \text{Abstand}_\text{Austrittspupille zu Bildpunkt}} \right)
 </math>
+:Er bestimmt die Größe der [[Zerstreuungskreis]]e und beeinflusst somit die [[Abbildungstiefe]].
-Der ''bildseitige Öffnungswinkel'' bestimmt die Größe der [[Zerstreuungskreis]]e und beeinflusst somit die [[Abbildungstiefe]].
 == Öffnungswinkel einer Sammellinse ==
-[[Bild:Öffnungswinkel Sammellinse.jpg|thumb|Objektseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_\mathrm{O}</math> und bildseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_\mathrm{B}</math>. ''Gegenstandsweite'' <math>g</math> sowie die ''Bildweite'' <math>b</math> sind bezeichnet.]]
+[[Bild:Öffnungswinkel Sammellinse.jpg|mini|Objektseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_\mathrm{O}</math>, bildseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_\mathrm{B}</math>, ''Gegenstandsweite'' <math>g</math> sowie ''Bildweite'' <math>b</math>]]
+Bei [[Fotoobjektiv]]en entsprechen die Positionen der Eintritts- bzw. Austrittspupille in der Regel nicht mehr der Lage der [[Hauptebene (Optik)|Hauptebene]]n, auch ist ihr Durchmesser üblicherweise variabel. Außerdem enthalten Objektive zusätzliche [[Blende (Optik)|Blende]]n und sind meistens aus mehreren Linsen aufgebaut.
-Bei Foto-Objektiven entsprechen die Positionen der Eintritts- bzw. Austrittspupille in der Regel nicht mehr der Lage der [[Hauptebene (Optik)|Hauptebene]]n, auch ist deren Durchmesser üblicherweise variabel.
+Dagegen fallen bei einer [[Sammellinse]] Eintritts- und Austrittspupille in der Linsenmitte zusammen – der Durchmesser der Pupillen entspricht jeweils demjenigen der Linse. Somit entspricht der Abstand des Objektpunktes zur Eintrittspupille der [[Gegenstandsweite]] <math>g</math>, und der Abstand des Bildpunktes zur Austrittspupille entspricht der [[Bildweite]] <math>b</math>.
-Im Unterschied zu Objektiven, die zusätzliche Blenden enthalten und meistens auch aus mehreren Linsen aufgebaut sind, fallen bei einer Sammellinse Eintritts- und Austrittspupille in der Linsenmitte zusammen - ihr Durchmesser entspricht dabei einfach dem Linsendurchmesser. Somit entspricht der Abstand des Objektpunktes zur Eintrittspupille der [[Gegenstandsweite]] <math>g</math> und der Abstand des Bildpunktes zur Austrittspupille entspricht der [[Bildweite]] <math>b</math>.
-Dadurch vereinfachen sich die Verhältnisse so, dass sich die Öffnungswinkel '''''bei einer Sammellinse''''' einfach berechnen lassen:
-:<math>
-\omega_\mathrm{O} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Linse}} { 2 \cdot \text{Gegenstandsweite}} \right)
-</math>
-für den ''objektseitigen Öffnungswinkel'' und
+Dadurch vereinfachen sich die Verhältnisse so, dass sich die Öffnungswinkel '''''bei einer Sammellinse''''' berechnen lassen als:
-:<math>
-\omega_\mathrm{B} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Linse}} { 2 \cdot \text{Bildweite}} \right)
-</math>
-für den ''bildseitigen Öffnungswinkel''
+* objektseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_\mathrm{O} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Linse}} { 2 \cdot \text{Gegenstandsweite}} \right)</math>
+* bildseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_\mathrm{B} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Linse}} { 2 \cdot \text{Bildweite}} \right)</math>
 === Große Gegenstandsweite ===
 Eine weitere Vereinfachung ergibt sich, wenn man den Öffnungswinkel bei sehr großen Gegenstandsweiten („[[unendlich]]“) betrachtet. Wächst die Gegenstandsweite [[Grenzwert (Funktion)|über alle Grenzen]], so wird
-:<math>
-\omega_\mathrm{O} = 0 \, .
-</math>
-Gemäß der [[Linsengleichung]] entspricht die Bildweite bei unendlich großer Gegenstandsweite der Brennweite ''f'', also wird
+:<math>\omega_\mathrm{O} = 0 \, .</math>
-:<math>
-\omega_\mathrm{B} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Linse}} {2 \cdot f} \right) \, .
+Gemäß der [[Linsengleichung]] entspricht die Bildweite bei unendlich großer Gegenstandsweite der [[Brennweite]]&nbsp;''f'', also wird
-</math>
+:<math>\omega_\mathrm{B} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Linse}} {2 \cdot f} \right) \, .</math>
 == Öffnungsverhältnis und Blendenzahl ==
-Für große Gegenstandsweiten ''g'' ergibt sich aus dem bildseitigen Öffnungswinkel <math>\displaystyle \omega_\mathrm{B}</math> und der [[Brennweite]] ''f'' eines optischen Systems das ''[[Öffnungsverhältnis]]'' 1/k
+Für große Gegenstandsweiten&nbsp;''g'' ergibt sich aus dem bildseitigen Öffnungswinkel <math>\displaystyle \omega_\mathrm{B}</math> und der Brennweite&nbsp;''f'' eines optischen Systems das ''[[Öffnungsverhältnis]]''&nbsp;1/k:
-:<math>
-\frac 1 k = 2 \cdot \tan \left( \frac {\omega_\mathrm{B}} 2 \right) \,
+:<math>\frac 1 k = 2 \cdot \tan \left( \frac {\omega_\mathrm{B}} 2 \right) = \frac{\varnothing_\text{Eintrittspupille}}{f}</math>
-</math>
+Die ''[[Blendenzahl]]'' ist der [[Kehrwert]] des Öffnungsverhältnisses, also:
+:<math>k = \frac 1 {2 \cdot \tan \left( \frac {\omega_\mathrm{B}} 2 \right)} = \frac{f}{\varnothing_\text{Eintrittspupille}}</math>
-Die ''[[Blendenzahl]]'' ist der Kehrwert des Öffnungsverhältnisses, also<br />
+Die Eintrittspupille ist das Bild der Blende, welches man durch die Vorderseite des Objektivs sieht. So kann man auch Durchmesser schätzen.
-<math>k = \frac 1 {2 \cdot \tan \left( \frac {\omega_\mathrm{B}} 2 \right)}</math>
 == Numerische Apertur ==
-Aus dem objektseitigen Öffnungswinkel <math>\omega_\mathrm{O}</math> und dem [[Brechungsindex]] ''n'' des [[Ausbreitungsmedium|Medium]]s ergibt sich die ''[[numerische Apertur]]'' <math>A_N</math> wie folgt:
+Aus dem objektseitigen Öffnungswinkel <math>\omega_\mathrm{O}</math> und dem [[Brechungsindex]]&nbsp;''n'' des [[Ausbreitungsmedium|Medium]]s ergibt sich die ''[[numerische Apertur]]'' <math>A_N</math>:
-:<math>
-A_N = n \cdot \sin \left( \frac {\omega_\mathrm{O}} 2 \right) \,
+:<math>A_N = n \cdot \sin \left( \frac {\omega_\mathrm{O}} 2 \right)</math>
-</math>
-Der Brechungsindex ''n'' der Luft ist etwa 1 (1,000292 in Bodennähe).
+Der Brechungsindex&nbsp;''n'' der Luft ist etwa&nbsp;1 (1,000292 in Bodennähe).
 == Siehe auch ==
-*[[Bildwinkel]]
+* [[Bildwinkel]]
 == Weblinks ==