imported>Kein Einstein (→Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten: Anders verlinkt, sonst stimmt das ja nicht) |
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| Name = Rydberg-Konstante | | Name = Rydberg-Konstante | ||
| Formelzeichen = <math>R_\infty</math> | | Formelzeichen = <math>R_\infty</math> | ||
| WertSI = <math> | | WertSI = {{ZahlExp|1,09737315681|7|suffix=60(21)|post=<math>\textstyle \frac{1}{\mathrm{m}}</math>}} | ||
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| Formel = <math>R_\infty = \frac{\alpha^2 | | Formel = <math>R_\infty = \frac{\alpha^2 m_\mathrm e c}{2 h}</math><br> <math>\alpha</math> – [[Feinstrukturkonstante]]<br> <math>m_\mathrm e</math> – [[Elektronenmasse]]<br> <math>c</math> – [[Lichtgeschwindigkeit]]<br> <math>h</math> – [[Plancksches Wirkungsquantum]] | ||
| Anmerkung = Quelle SI-Wert: [[CODATA]] | | Anmerkung = Quelle SI-Wert: [[CODATA]] 2018 ([https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ryd Direktlink]) | ||
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Die '''Rydberg-Konstante''' <math>R_\infty</math> ist eine nach [[Johannes Rydberg]] benannte [[Naturkonstante]]. Sie tritt in der [[Rydberg-Formel]] auf, einer Näherungsformel zur Berechnung von [[Atomspektroskopie|Atomspektren]]. Ihr Wert ist die als [[Wellenzahl]] ausgedrückte [[Ionisierungsenergie]] des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also unendlicher [[Kernmasse]], daher der Index <math>\infty</math>). | Die '''Rydberg-Konstante''' <math>R_\infty</math> ist eine nach [[Johannes Rydberg]] benannte [[Naturkonstante]]. Sie tritt in der [[Rydberg-Formel]] auf, einer Näherungsformel zur Berechnung von [[Atomspektroskopie|Atomspektren]]. Ihr Wert ist die als [[Wellenzahl]] ausgedrückte [[Ionisierungsenergie]] des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also bei unendlicher [[Kernmasse]], daher der Index <math>\infty</math>). | ||
Der derzeit empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt:<ref>{{internetquelle |url= | Der derzeit empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt:<ref>{{internetquelle |url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ryd |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2019-06-06}} Wert für die Rydberg-Konstante. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref> | ||
:<math>R_\infty = 10 \, 973 \, 731{,}568 \, | :<math>R_\infty = 10 \, 973 \, 731{,}568 \, 160(21)\,\mathrm{m}^{-1}.</math> | ||
Die relative [[ | Die relative [[Committee on Data for Science and Technology #Standardabweichung und Standardunsicherheit|Standardunsicherheit]] beträgt 1,9 · 10<sup>−12</sup>. Damit ist sie die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt. | ||
== Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten == | == Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten == | ||
Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der [[Feinstrukturkonstante]] ''α'' und der [[Compton-Wellenlänge]] ''λ''<sub>C,e</sub> eines [[Elektron]]s nach | Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der [[Feinstrukturkonstante]] ''α'' und der [[Compton-Wellenlänge]] ''λ''<sub>C,e</sub> eines [[Elektron]]s nach | ||
:<math>R_\infty = \frac{\alpha^2}{2} \, \frac{1}{\lambda_{C,e}} | :<math>R_\infty = \frac{\alpha^2}{2} \, \frac{1}{\lambda_\mathrm{C,e}} | ||
= \frac{\alpha^2}{2} \, \frac{ | = \frac{\alpha^2}{2} \, \frac{m_\mathrm e c}{h} | ||
= \frac{ | = \frac{m_\mathrm e e^4}{8 c \varepsilon_0^2 h^3} | ||
= \frac\alpha{4\pi a_0} | |||
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mit | mit | ||
* <math> | * <math>m_\mathrm e</math> der Masse des Elektrons | ||
* <math>c</math> der [[Lichtgeschwindigkeit]] | * <math>c</math> der [[Lichtgeschwindigkeit]] | ||
* <math>h</math> dem [[Plancksches Wirkungsquantum|Planckschen Wirkungsquantum]] | * <math>h</math> dem [[Plancksches Wirkungsquantum|Planckschen Wirkungsquantum]] | ||
* <math>e</math> der [[Elementarladung]] | * <math>e</math> der [[Elementarladung]] | ||
* <math>\varepsilon_0</math> der [[Elektrische Feldkonstante|elektrischen Feldkonstante]]. | * <math>\varepsilon_0</math> der [[Elektrische Feldkonstante|elektrischen Feldkonstante]] | ||
* <math>a_0</math> dem [[Bohrscher Radius|bohrschen Radius]]. | |||
== Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie == | == Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie == | ||
Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen:<ref>{{internetquelle |url= | Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen:<ref>{{internetquelle |url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydchz|hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2019-06-06}} Wert für die Rydberg-Frequenz. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref><ref>{{internetquelle |url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydhcev|hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2019-06-06}} Wert für die Rydberg-Energie. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref> | ||
* Rydberg-Frequenz: <math>R = c \,R_\infty = 3{,}289\ | * Rydberg-Frequenz: <math>R = c \,R_\infty = 3{,}289\,841\,960\,2508(64) \cdot 10^{15} \, \mathrm{Hz}</math> | ||
* Rydberg-Energie: <math>R_y = h \,R = h \,c \,R_\infty = 13{,}605\ | * Rydberg-Energie: <math>R_y = h \,R = h \,c \,R_\infty = 2{,}179 872 361 1035(42) \cdot 10^{-18} \,\mathrm{J} = 13{,}605\,693\,122\,994(26) \, \mathrm{eV} = 1 \, \mathrm{Ry}.</math> | ||
Der konkrete Wert der Rydberg-Energie <math>R_y</math> wird ''ein Rydberg'' genannt | Der konkrete Wert der Rydberg-Energie <math>R_y</math> wird ''ein Rydberg'' genannt; damit wird ''das Rydberg'' als [[Maßeinheit]] für Energien verwendbar. | ||
== Herleitung == | == Herleitung == | ||
Eine erste Herleitung der Rydberg-Konstante <math>R_\infty</math> konnte im Rahmen des [[ | Eine erste Herleitung der Rydberg-Konstante <math>R_\infty</math> konnte im Rahmen des [[Bohrsches Atommodell#Mathematische Formulierung|Bohrschen Atommodells]] gegeben werden. Eine modernere Herleitung im Rahmen der Quantenmechanik findet sich im [[Wasserstoffproblem]]. | ||
In beiden Fällen gelangt man zu einer Formel für die quantisierten Energieniveaus des Wasserstoffatoms von der Form: | In beiden Fällen gelangt man zu einer Formel für die quantisierten Energieniveaus des Wasserstoffatoms von der Form: | ||
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E_n = -\frac{ | E_n = -\frac{m_\mathrm e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\cdot \frac{1}{n^2} | ||
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Aus der Differenz zweier Energieniveaus | Aus der Differenz zweier Energieniveaus | ||
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:<math> \frac{1}{ \lambda} = \frac{ | :<math> \frac{1}{ \lambda} = \frac{ m_\mathrm e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right).</math> | ||
Der Vergleich mit der [[Rydberg-Formel]] zeigt, unter der Annahme eines unendlich schweren Wasserstoffkerns, dass die Rydberg-Konstante gegeben ist durch | Der Vergleich mit der [[Rydberg-Formel]] zeigt, unter der Annahme eines unendlich schweren Wasserstoffkerns, dass die Rydberg-Konstante gegeben ist durch | ||
:<math> R_\infty = \frac{ | :<math> R_\infty = \frac{ m_\mathrm e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c}.</math> | ||
Daraus ergibt sich auch, dass die Rydberg-Konstante die Wellenzahl (inverse Wellenlänge) eines Photons ist, dessen Energie der Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms entspricht. | |||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
| Physikalische Konstante | |
|---|---|
| Name | Rydberg-Konstante |
| Formelzeichen | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_\infty |
| Wert | |
| SI | 1.0973731568160(21)e7 Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle \frac{1}{\mathrm{m}} |
| Unsicherheit (rel.) | 1.9e-12 |
| Bezug zu anderen Konstanten | |
| $ R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\mathrm {e} }c}{2h}} $ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha – Feinstrukturkonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_\mathrm e – Elektronenmasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c – Lichtgeschwindigkeit $ h $ – Plancksches Wirkungsquantum | |
| Quellen und Anmerkungen | |
| Quelle SI-Wert: CODATA 2018 (Direktlink) | |
Die Rydberg-Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_\infty ist eine nach Johannes Rydberg benannte Naturkonstante. Sie tritt in der Rydberg-Formel auf, einer Näherungsformel zur Berechnung von Atomspektren. Ihr Wert ist die als Wellenzahl ausgedrückte Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also bei unendlicher Kernmasse, daher der Index Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \infty ).
Der derzeit empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt:[1]
Die relative Standardunsicherheit beträgt 1,9 · 10−12. Damit ist sie die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.
Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der Feinstrukturkonstante α und der Compton-Wellenlänge λC,e eines Elektrons nach
mit
Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen:[2][3]
Der konkrete Wert der Rydberg-Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_y wird ein Rydberg genannt; damit wird das Rydberg als Maßeinheit für Energien verwendbar.
Eine erste Herleitung der Rydberg-Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_\infty konnte im Rahmen des Bohrschen Atommodells gegeben werden. Eine modernere Herleitung im Rahmen der Quantenmechanik findet sich im Wasserstoffproblem.
In beiden Fällen gelangt man zu einer Formel für die quantisierten Energieniveaus des Wasserstoffatoms von der Form:
Aus der Differenz zweier Energieniveaus
lässt sich mit
die Wellenzahl des bei einem solchen Übergang emittierten oder absorbierten Lichtes bestimmen zu
Der Vergleich mit der Rydberg-Formel zeigt, unter der Annahme eines unendlich schweren Wasserstoffkerns, dass die Rydberg-Konstante gegeben ist durch
Daraus ergibt sich auch, dass die Rydberg-Konstante die Wellenzahl (inverse Wellenlänge) eines Photons ist, dessen Energie der Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms entspricht.