Hellmann-Feynman-Theorem: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 23. November 2021, 17:07 Uhr

Das Hellmann-Feynman Theorem ist ein Theorem in der Quantenmechanik, welches die Energieeigenwerte eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators mit den Parametern, die er enthält, in Bezug setzt. Es ist nach seinen Entdeckern Hans Hellmann (1936)^[1] und Richard Feynman (1939)^[2] benannt. Nach Julian Schwinger wurde dieses Theorem allerdings schon 1933 von Wolfgang Pauli publiziert.^[3]^[4]

Im Allgemeinen besagt das Theorem:

{\frac {\partial {E_{n}}}{\partial {\lambda }}}=\int {\psi _{n}^{*}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {\lambda }}}\psi _{n}d\tau }

${\hat {H}}$ ist der parametrisierte Hamiltonoperator
$E_{n}$ ist der n-te Eigenwert des Hamiltonoperators
$\psi _{n}$ ist der n-te Eigenvektor des Hamiltonoperators
$\lambda$ ist der Parameter, der interessiert (und von dem sowohl ${\hat {H}}$ als auch die $\psi _{n}$ abhängen)
$\int d\tau$ bedeutet eine komplette Integration über den gesamten Definitionsbereich der Eigenvektoren.

Der Beweis

Der Beweis ist, wenn man rein formal vorgeht, recht einfach. In der Dirac'schen Bra-Ket-Notation kann geschrieben werden:

{\begin{aligned}{\frac {\partial E_{\lambda }}{\partial \lambda }}&={\frac {\partial }{\partial \lambda }}\langle \psi (\lambda )|{\hat {H}}_{\lambda }|\psi (\lambda )\rangle \\&=\langle {\frac {\partial \psi (\lambda )}{\partial \lambda }}|{\hat {H}}_{\lambda }|\psi (\lambda )\rangle +\langle \psi (\lambda )|{\hat {H}}_{\lambda }|{\frac {\partial \psi (\lambda )}{\partial \lambda }}\rangle +\langle \psi (\lambda )|{\frac {\partial {\hat {H}}_{\lambda }}{\partial \lambda }}|\psi (\lambda )\rangle \\&=E_{\lambda }\langle {\frac {\partial \psi (\lambda )}{\partial \lambda }}|\psi (\lambda )\rangle +E_{\lambda }\langle \psi (\lambda )|{\frac {\partial \psi (\lambda )}{\partial \lambda }}\rangle +\langle \psi (\lambda )|{\frac {\partial {\hat {H}}_{\lambda }}{\partial \lambda }}|\psi (\lambda )\rangle \\&=E_{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\langle \psi (\lambda )|\psi (\lambda )\rangle +\langle \psi (\lambda )|{\frac {\partial {\hat {H}}_{\lambda }}{\partial \lambda }}|\psi (\lambda )\rangle \\&=\langle \psi (\lambda )|{\frac {\partial {\hat {H}}_{\lambda }}{\partial \lambda }}|\psi (\lambda )\rangle .\end{aligned}}

da gilt:

{\hat {H}}_{\lambda }|\psi (\lambda )\rangle =E_{\lambda }|\psi (\lambda )\rangle ,

\langle \psi (\lambda )|\psi (\lambda )\rangle =1\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial \lambda }}\langle \psi (\lambda )|\psi (\lambda )\rangle =0.

Für eine kritische, mathematische Betrachtung dieses Beweises, siehe ^[5].

Einzelnachweise

↑ Hellmann Einführung in die Quantenchemie, Deuticke, Leipzig und Wien 1937 (Übersetzung aus dem Russischen)
↑ Richard Feynman Forces in molecules, Physical Review, Band 56, 1939, S. 340–343
↑ Julian Schwinger: Thomas-Fermi model: The leading correction. In: Phys. Rev. A. Band 22, 1980, S. 1827–1832, doi:10.1103/PhysRevA.22.1827.
↑ Wolfgang Pauli: Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik. In: H. Geiger and K. Scheel (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band 24 I. , Springer, 1933, S. 83 ff.
↑ David Carfì: The pointwise Hellmann–Feynman theorem. In: AAPP Physical, Mathematical, and Natural Sciences. 88. Jahrgang, Nr. 1, 2010, ISSN 1825-1242, doi:10.1478/C1A1001004.

[1] Hellmann Einführung in die Quantenchemie, Deuticke, Leipzig und Wien 1937 (Übersetzung aus dem Russischen)

[2] Richard Feynman Forces in molecules, Physical Review, Band 56, 1939, S. 340–343

[Schwinger-3] Julian Schwinger: Thomas-Fermi model: The leading correction. In: Phys. Rev. A. Band 22, 1980, S. 1827–1832, doi:10.1103/PhysRevA.22.1827.

[4] Wolfgang Pauli: Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik. In: H. Geiger and K. Scheel (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band 24 I. , Springer, 1933, S. 83 ff.

[5] David Carfì: The pointwise Hellmann–Feynman theorem. In: AAPP Physical, Mathematical, and Natural Sciences. 88. Jahrgang, Nr. 1, 2010, ISSN 1825-1242, doi:10.1478/C1A1001004.

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-Das '''Hellmann-Feynman Theorem''' ist ein Theorem in der [[Quantenmechanik]], welches die Energieeigenwerte eines zeitunabhängigen [[Hamiltonoperator]]s mit den Parametern, die er enthält, in Bezug setzt. Es ist nach seinen Entdeckern [[Hans Hellmann (Physiker)|Hans Hellmann]] (1936)<ref>Hellmann ''Einführung in die Quantenchemie'', Deuticke, Leipzig und Wien 1937 (Übersetzung aus dem Russischen)</ref> und [[Richard Feynman]] (1939)<ref>Richard Feynman ''Forces in molecules'', Physical Review, Band 56, 1939, S. 340-343</ref>  benannt.
+Das '''Hellmann-Feynman Theorem''' ist ein Theorem in der [[Quantenmechanik]], welches die Energieeigenwerte eines zeitunabhängigen [[Hamiltonoperator]]s mit den Parametern, die er enthält, in Bezug setzt. Es ist nach seinen Entdeckern [[Hans Hellmann (Physiker)|Hans Hellmann]] (1936)<ref>Hellmann ''Einführung in die Quantenchemie'', Deuticke, Leipzig und Wien 1937 (Übersetzung aus dem Russischen)</ref> und [[Richard Feynman]] (1939)<ref>Richard Feynman ''Forces in molecules'', Physical Review, Band 56, 1939, S. 340–343</ref>  benannt. Nach [[Julian Schwinger]] wurde dieses Theorem allerdings schon 1933 von [[Wolfgang Pauli]] publiziert.<ref name="Schwinger">{{Literatur |Autor=Julian Schwinger |Titel=Thomas-Fermi model: The leading correction |Sammelwerk=Phys. Rev. A |Band=22 |Datum=1980 |Seiten=1827–1832 |DOI=10.1103/PhysRevA.22.1827}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Pauli |Hrsg=H. Geiger and K. Scheel |Titel=Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik |Sammelwerk=Handbuch der Physik |Band=Band 24 I |Verlag=, Springer |Datum=1933 |Seiten=83ff}}</ref>
 Im Allgemeinen besagt das Theorem:
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 :<math>\frac{\partial {E_n}}{\partial {\lambda}}=\int{\psi_n^*\frac{\partial{\hat{H}}}{\partial{\lambda}}\psi_nd\tau}</math>
+*<math>\hat{H}</math> ist der parametrisierte [[Hamiltonoperator]]
+*<math>E_n</math> ist der n-te Eigenwert des Hamiltonoperators
+*<math>\psi_n</math> ist der n-te Eigenvektor des Hamiltonoperators
+*<math>\lambda</math> ist der Parameter, der interessiert (und von dem sowohl <math>\hat{H}</math> als auch die <math>\psi_n</math> abhängen)
+*<math>\int d\tau</math> bedeutet eine komplette Integration über den gesamten Definitionsbereich der Eigenvektoren.
-<math>\hat{H}</math> ist der parametrisierte [[Hamiltonoperator]],
+== Der Beweis ==
-<math>E_n</math> ist der n'te Eigenwert des Hamiltonoperators,
-<math>\psi_n</math> ist der n'te Eigenvektor des Hamiltonoperators,
-<math>\lambda</math> ist der Parameter, der interessiert
-und <math>d\tau</math> bedeutet eine komplette Integration über den gesamten Definitionsbereich der Eigenvektoren.
-==Der Beweis==
 Der Beweis ist, wenn man rein formal vorgeht, recht einfach. In der Dirac'schen [[Bra-Ket-Notation]] kann geschrieben werden:
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 :<math>\langle\psi(\lambda)|\psi(\lambda)\rangle = 1 \Rightarrow \frac{\partial}{\partial\lambda}\langle\psi(\lambda)|\psi(\lambda)\rangle = 0.</math>
-Für eine kritische, mathematische Betrachtung dieses Beweises, siehe <ref>{{cite journal|last=Carfì|first=David|date=2010|title=The pointwise Hellmann–Feynman theorem|journal=AAPP Physical, Mathematical, and Natural Sciences|volume=88|issue=1|doi=10.1478/C1A1001004|issn=1825-1242 }}</ref>.
+Für eine kritische, mathematische Betrachtung dieses Beweises, siehe <ref>{{cite journal|last=Carfì|first=David|date=2010|title=The pointwise Hellmann–Feynman theorem|journal=AAPP Physical, Mathematical, and Natural Sciences|volume=88|issue=1|doi=10.1478/C1A1001004|issn=1825-1242}}</ref>.
 == Einzelnachweise ==
- <references />
+<references />
 [[Kategorie:Quantenmechanik]]
 [[Kategorie:Theoretische Chemie]]
 [[Kategorie:Richard Feynman]]