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Die '''Gell-Mann-Matrizen''', benannt nach [[Murray Gell-Mann]], sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der [[Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] [[SU(3)]]. | Die '''Gell-Mann-Matrizen''', benannt nach [[Murray Gell-Mann]], sind eine mögliche Darstellung der [[Stark_stetige_Halbgruppe #Infinitesimaler_Erzeuger|infinitesimalen Generatoren]] der [[Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] [[SU(3)]]. | ||
Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als <math> | Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als <math>T_j</math> mit <math>j = 1,\dotsc,8</math> schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: [[Lie-Algebra]]) | ||
: <math>\left[T_a,T_b\right]={\mathrm i}\,f^{abc}\,T_c</math> | : <math>\left[T_a,T_b\right]={\mathrm i}\,f^{abc}\,T_c</math> | ||
(wobei die [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet wurde). | (wobei die [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet wurde). | ||
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* J. J. J. Kokkedee: ''The Quark model''. {{OCLC|474207457}} | * J. J. J. Kokkedee: ''The Quark model''. {{OCLC|474207457}} | ||
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Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).
Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_j mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j = 1,\dotsc,8 schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)
(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f^{abc} werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:
Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.
Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:
Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:
| $ \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}} $ | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i & 0 \\ \mathrm i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} |
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\mathrm i \\ 0 & 0 & 0 \\ \mathrm i & 0 & 0 \end{pmatrix} | |
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} | $ \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-\mathrm {i} \\0&\mathrm {i} &0\end{pmatrix}} $ | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} . |
Bei der SU(2) hat man anstelle der acht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda -Matrizen die drei Pauli-Matrizen.
Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda -Matrizen haben folgende Eigenschaften:
Anwendung finden sie z. B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.