Quelltext der Seite Van-der-Pol-System

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Der '''Van-der-Pol-Oszillator''' ist ein [[Oszillator|schwingungsfähiges System]] mit [[nichtlinear]]er [[Dämpfung]] und [[Selbsterregung]]. Für kleine [[Amplitude]]n ist die Dämpfung negativ (die Amplitude wird vergrößert); ab einem bestimmten [[Schwellwert]] der Amplitude wird die Dämpfung positiv, das System stabilisiert sich und geht in einen [[Grenzzyklus]] über. Benannt wurde das Modell nach dem niederländischen Physiker [[Balthasar van der Pol]], der es 1927 als Ergebnis seiner Forschungen an Oszillatoren mit [[Elektronenröhre|Vakuumröhren]] vorstellte.

== Anwendung ==
Das homogene (d.&nbsp;h. ungestörte) Van-der-Pol-System erfüllt die Bedingungen des [[Poincaré-Bendixson-Theorem]]s, weswegen bei ihm ''kein'' [[Deterministisches Chaos|Chaos]] auftreten kann. Dagegen sind die Bedingungen für das Poincaré-Bendixson-Theorem beim inhomogenen (d.&nbsp;h. gestörten) Van-der-Pol-System ''nicht'' mehr erfüllt, hier kann deterministisches Chaos auftreten.

== Mathematische Beschreibung ==
=== Homogene Van-der-Pol-Gleichung ===
[[Datei:VanDerPol homogen.png|mini|Verhalten der homogenen Van-der-Pol-Gleichung]]
Die dimensionslose homogene [[Differentialgleichung]] zweiter Ordnung

: <math>\ddot{x} - \varepsilon(1-x^2)\dot{x} + x = 0</math>

mit <math>\varepsilon \geq 0</math> als Parameter und <math>x</math> als zeitabhängiger Größe beschreibt das zeitliche Verhalten eines freien Van-der-Pol-Oszillators. Eine [[geschlossene Lösung]] existiert nicht. Um das prinzipielle Verhalten zu untersuchen, sind [[Stationärer Punkt|stationäre Punkte]] hilfreich. Für <math>x = \mathrm{const}</math> gilt:

: <math>\dot x_s = 0</math>

Die [[Linearisierung]] der Differentialgleichung mit

: <math>x(t) = x_s + \Delta x(t)</math>

ergibt

: <math>\Delta \ddot x - \varepsilon \Delta \dot x + \Delta x = 0</math>

Die [[charakteristische Gleichung]] ist

: <math>\lambda ^2 - \varepsilon \cdot \lambda + 1 = 0</math>

mit den Lösungen

: <math>\lambda_{1,2} = \frac{\varepsilon}{2} \pm \frac{\sqrt{\varepsilon ^2 -4}}{2}</math>

Entsprechend der Größe von <math>\varepsilon</math> gibt es folgende Fälle:
* <math>      \varepsilon > 2</math>; [[exponentielles Wachstum]] des linearisierten Systems, d.&nbsp;h. das System ist um den stationären Punkt instabil
* <math>  0 < \varepsilon < 2</math>; anwachsende Schwingungen
* <math>      \varepsilon = 0</math>; [[harmonische Schwingung]].

Die negative Dämpfung (<math>\varepsilon > 0</math>) für kleine [[Auslenkung|Elongation]] des Oszillators wird für größere Elongationen (<math>|x| > 1</math>) positiv. Die Schwingung wird also gedämpft, um bei kleinen Elongationen wieder selbst angeregt zu werden.

Eigenschaften des Lösungsverhaltens sind:<ref>{{Literatur |Autor=[[Gerald Teschl]] |Titel=Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems |Reihe=Graduate Studies in Mathematics |BandReihe=140 |Verlag=American Mathematical Society |Ort=Providence |Datum=2012 |ISBN=978-0-8218-8328-0 |Online=[http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ freie Onlineversion]}}</ref>
* Die [[Periodendauer]] der Schwingung nimmt mit dem Parameter <math>\varepsilon</math> zu.
* Mit wachsendem <math>\varepsilon\;</math> wird die Schwingung [[Anharmonischer Oszillator|anharmonischer]] und geht in [[Kippschwingung]]en über.
* Unabhängig von den gewählten [[Anfangsbedingung]]en strebt das System in einen bestimmten Grenzzyklus.

Der Beweis der Existenz eines eindeutigen, [[asymptotisch]] stabilen Grenzzyklus erfolgt mit Hilfe der [[Poincaré-Abbildung]].

=== Inhomogene Van-der-Pol-Gleichung ===
[[Datei:VanDerPol inhomogen.png|mini|Verhalten der inhomogenen Van-der-Pol-Gleichung]]
Die dimensionslose inhomogene [[Differentialgleichung]] zweiter Ordnung

:<math>\ddot{x} - \varepsilon(1-x^2)\dot{x} + x = F\cdot\sin(\omega\cdot t)</math>

beschreibt den getriebenen Van-der-Pol-Oszillator mit der Amplitude <math>F</math> und der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math>.

Einige Eigenschaften der Lösung:
* Für kleine Amplituden der Anregung schwingt das System mit der [[Eigenfrequenz]].
* Für größere Amplituden treten neben der Eigenfrequenz und der Anregungsfrequenz noch weitere auf. Es zeigt sich quasiperiodisches Verhalten: Wenn man den folgenden Poincaré-Schnitt mit der Zeit&nbsp;t definiert

::<math>t = \frac{n\cdot 2\pi}{\omega} , n \in \mathbb{N}</math>

: erhält man die 2-dimensionale (stroboskopische) Abbildung. Ein [[Lyapunov-Exponent]] ist null und der andere ist negativ, was eine quasiperiodische Bewegung bedeutet.

* Eine weitere Vergrößerung der Amplitude führt zum Einrasten: das System schwingt mit der Anregungsfrequenz.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Van der Pol oscillator|Van-der-Pol-System}}
* [http://scholarpedia.org/article/Van_der_Pol_Oscillator Van der Pol Oszillator auf Scholarpedia]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]]
[[Kategorie:Dynamisches System]]
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