Quelltext der Seite Divergenz eines Vektorfeldes

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Die '''Divergenz eines Vektorfeldes''' ist ein [[Skalarfeld]], das an jedem Punkt angibt, wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung des Punktes ''auseinanderstreben'' ({{laS|divergere}}). Interpretiert man das [[Vektorfeld]] als [[Strömungsfeld]] einer Größe, für die die [[Kontinuitätsgleichung]] gilt, dann ist die Divergenz die [[Quelldichte]]. Senken haben negative Divergenz. Ist die Divergenz überall gleich null, so bezeichnet man das Feld als [[Quellfrei|quellenfrei]].

Die Divergenz ergibt sich aus dem Vektorfeld durch Anwendung eines [[Differentialoperator]]s. Verwandte Differentialoperatoren liefern die [[Rotation eines Vektorfeldes]] und den [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] eines Skalarfeldes. Das mathematische Gebiet ist die [[Vektoranalysis]].

In der Physik wird die Divergenz zum Beispiel bei der Formulierung der [[Maxwell-Gleichungen]] oder der verschiedenen [[Kontinuitätsgleichung]]en verwendet. Im [[Indexnotation von Tensoren|Ricci-Kalkül]] wird die mit Hilfe der [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|kovarianten Ableitung]] gebildete Größe <math>\nabla _k T^{ik}</math> manchmal etwas ungenau als Divergenz eines Tensors <math>T^{ik}</math> bezeichnet (für diese Größe gilt auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten zum Beispiel nicht der [[Gaußscher Integralsatz|Gaußsche Integralsatz]]).

== Beispiel aus der Physik ==
Man betrachtet zum Beispiel eine ruhige [[Wasseroberfläche]], auf die ein dünner Strahl Öl trifft. Die Bewegung des Öls auf der Oberfläche kann durch ein zweidimensionales (zeitabhängiges) Vektorfeld beschrieben werden: An jedem Punkt ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt die Fließgeschwindigkeit des Öls in Form eines Vektors gegeben. Die Stelle, an der der Strahl auf die Wasseroberfläche trifft, ist eine „Ölquelle“, da von dort Öl wegfließt, ohne dass es einen Zufluss auf der Oberfläche geben würde. Die Divergenz an dieser Stelle ist positiv. Im Gegensatz dazu bezeichnet man eine Stelle, an der das Öl beispielsweise am Rand aus dem Wasserbecken abfließt, als Senke. Die Divergenz an dieser Stelle ist negativ.

== Definition ==
Sei <math>\vec F \colon \R^n\to\R^n,(x_1,\dots,x_n)\mapsto (F^1,\dots,F^n)</math> ein differenzierbares Vektorfeld. Dann ist die Divergenz von <math>\vec F</math> definiert als
:<math>\operatorname{div} \vec F :=\nabla\cdot\vec F = (\tfrac{\partial}{\partial x_1},\dotsc,\tfrac{\partial}{\partial x_n}) \cdot \left(F^1,\dotsc,F^n\right) = \tfrac{\partial}{\partial x_1} F^1 + \dotsb + \tfrac{\partial}{\partial x_n} F^n</math>
Die Divergenz ist das [[Skalarprodukt]] des [[Nabla-Operator]]s <math>\nabla</math> mit dem Vektorfeld <math>\vec F</math>.

Bei der Divergenz handelt es sich um einen [[Operator (Mathematik)|Operator]] auf einem Vektorfeld, der in einem skalaren Feld resultiert:
:<math>\operatorname{div}[\cdot]\ \colon  C^1\left(\R^n,\R^n\right) \to  C^0\left(\R^n,\R\right)</math>

Für den Fall eines dreidimensionalen Vektorfeldes <math>\vec F(x_1,x_2,x_3)</math> ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten definiert als

:<math>\begin{matrix} \operatorname{div}\colon & C^1\left(\R^3,\R^3\right) & \to & C^0\left(\R^3,\R\right) \\ & \vec F=\left(F^1,F^2,F^3\right) & \mapsto & \frac{\partial}{\partial x_1}F^1 + \frac{\partial}{\partial x_2}F^2+ \frac{\partial}{\partial x_3}F^3 \end{matrix}</math>.

Bei der Schreibweise <math>\nabla\cdot\vec F </math> ist es wichtig, den Multiplikationspunkt zwischen <math>\nabla</math> und dem Vektorfeld <math>\vec F</math> zu schreiben, da der <math>\nabla</math>-Operator sonst als  [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] der Vektorkomponenten (geschrieben <math>\nabla \vec F </math> ) zu verstehen wäre.

== Die Divergenz als „Quellendichte“ ==
Interpretiert man ein Vektorfeld <math>\vec{F}\colon\R^n\to\R^n</math> als Strömungsfeld, so beschreibt dessen [[totales Differenzial]] <math>DF\colon\R^n\to\R^{n\times n}</math> ein Beschleunigungsfeld. Ist in einem Punkt <math>x_0\in\R^n</math> die Beschleunigungsmatrix <math>DF(x_0)</math> [[diagonalisierbar]], so beschreibt jeder [[Eigenwert]] <math>\lambda_i(x_0)</math> die Beschleunigung in Richtung des zugehörigen [[Eigenvektor]]s <math>u_i(x_0)</math>. Jeder positive Eigenwert beschreibt also die Intensität einer gerichteten Quelle und jeder negative Eigenwert die gerichtete Intensität einer Senke. Addiert man diese Eigenwerte, so erhält man die resultierende Intensität einer Quelle bzw. Senke. Da die Summe der Eigenwerte <math>\lambda_i(x_0)</math> gerade die [[Spur (Mathematik)|Spur]] der Beschleunigungsmatrix <math>DF(x_0)</math> ist, wird die Quellenintensität durch
:<math>
    \operatorname{Spur}(DF) = \sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}F^i = \operatorname{div}\,\vec{F}
</math>
gemessen.

Die Divergenz kann in diesem Sinne als „Quellendichte“ interpretiert werden.

=== Koordinatenfreie Darstellung ===
Für die Interpretation der Divergenz als „Quellendichte“ ist die folgende koordinatenfreie Definition in der Form einer [[Volumenableitung]] wichtig (hier für den Fall ''n''=3)

:<math>\operatorname{div}\,\vec{F} = \lim_{|\Delta V|\to 0}\left(\frac{1}{|\Delta V|}\oint_{\partial (\Delta V)} \vec F\;\cdot\vec n\,\mathrm{d}S \right)\,.</math>

Dabei ist <math>\Delta V</math> ein beliebiges Volumen, zum Beispiel eine Kugel oder ein Parallelepiped; <math>|\Delta V|</math> ist sein Inhalt. Es wird über den Rand <math>\partial (\Delta V)</math> dieses [[Volumenform|Volumenelements]] integriert, <math>\vec{n}</math> ist die nach außen gerichtete Normale und <math>\mathrm{d}S</math> das zugehörige Flächenelement. Man findet hierzu auch die Schreibweise mit <math>\mathrm{d}\vec S := \vec n \cdot \mathrm{d}S</math>.

Für ''n'' > 3 kann diese Aussage leicht verallgemeinert werden, indem man ''n''-dimensionale Volumina und ihre (''n''-1)-dimensionalen Randflächen betrachtet. Bei Spezialisierung auf infinitesimale Würfel oder Quader erhält man die bekannte Darstellung in kartesischen Koordinaten

:<math>\operatorname{div}\, \vec{F} = \sum_{i=1}^n\,\frac{\partial F_i}{\partial x_i}\,.</math>

In orthogonalen [[Krummlinige Koordinaten|krummlinigen Koordinaten]], zum Beispiel [[Kugelkoordinaten]] oder [[Elliptische Koordinaten|elliptischen Koordinaten]], (also für <math>\textstyle \mathrm{d}\vec{r} = \sum_{i=1}^n a_i(u_1, \dots, u_n) \cdot \mathrm{d}u_i\,\hat e_i(u_1, \dots, u_n)\,</math>, mit <math>\hat e_i\cdot \hat e_k = \delta_{i,k}\,</math>), wobei <math>\textstyle \vec{F} = \sum_{i=1}^n\,F_i(u_1, \dots, u_n)\,\hat e_i</math> ist, wobei also nicht die <math>\mathrm{d}u_i</math>, sondern die <math> a_i\cdot\mathrm{d}u_i</math> die physikalische Dimension einer „Länge“ haben, gilt dagegen etwas allgemeiner

:<math>\operatorname{div}\, \vec{F} = (a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n)^{-1}\,\left\{ \frac{\partial}{\partial u_1}[(a_2 \cdot a_3\cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_n)\,F_1] + \dots \right\},</math>

wobei die Punkte am Ende weitere Terme beinhalten, die durch fortgesetzte [[zyklische Permutation]]en, erzeugt nach dem Schema <math>1 \to 2, 2 \to 3, \dots, (n-1) \to n, n \to 1</math> usw., aus dem angeschriebenen folgen.

=== Herleitung der kartesischen Darstellung ===

Zur Herleitung der kartesischen Darstellung der Divergenz aus der koordinatenfreien Darstellung betrachte man einen infinitesimalen Würfel <math>[x_{1},x_{1}+\Delta x_{1}],\ldots,[x_{n},x_{n}+\Delta x_{n}]</math>.

:<math>\begin{align}
\frac{1}{|\Delta V|}\int\limits _{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S & =\frac{1}{\Delta x_{1}\Delta x_{2}\ldots\Delta x_{n}}\left[\int\limits _{x_{2}}^{x_{2}+\Delta x_{2}}\ldots\int\limits _{x_{n}}^{x_{n}+\Delta x_{n}}\left(\vec{F}(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})-\vec{F}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\right)\cdot\hat{e}_{1}\,\mathrm{d}x_{2}\ldots\mathrm{d}x_{n}\right]+\ldots\\
 & +\frac{1}{\Delta x_{1}\Delta x_{2}\ldots\Delta x_{n}}\left[\int\limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x_{1}}\ldots\int\limits _{x_{n-1}}^{x_{n-1}+\Delta x_{n-1}}\left(\vec{F}(x_{1},\ldots,x_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-\vec{F}(x_{1},\ldots,x_{n-1},x_{n})\right)\cdot\hat{e}_{n}\,\mathrm{d}x_{1}\ldots\mathrm{d}x_{n-1}\right]\end{align}</math>

Nun wendet man den [[Mittelwertsatz der Integralrechnung]] an, wobei die gestrichenen Größen <math>x'_{i}</math> aus dem Intervall <math>[x_{i},x_{i}+\Delta x_{i}]</math> sind.

:<math>\begin{align}
\frac{1}{|\Delta V|}\int\limits _{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S & =\frac{\left(\vec{F}(x_{1}+\Delta x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})-\vec{F}(x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})\right)\cdot\hat{e}_{1}}{\Delta x_{1}}\underbrace{\left[\frac{1}{\Delta x_{2}}\int\limits _{x_{2}}^{x_{2}+\Delta x_{2}}\mathrm{d}x_{2}\right.}_{=1}\ldots\underbrace{\left.\frac{1}{\Delta x_{n}}\int\limits _{x_{n}}^{x_{n}+\Delta x_{n}}\mathrm{d}x_{n}\right]}_{=1}+\ldots\\
 & +\frac{\left(\vec{F}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-\vec{F}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n})\right)\cdot\hat{e}_{n}}{\Delta x_{n}}\left[\frac{1}{\Delta x_{1}}\int\limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x_{1}}\mathrm{d}x_{1}\ldots\frac{1}{\Delta x_{n-1}}\int\limits _{x_{n-1}}^{x_{n-1}+\Delta x_{n-1}}\mathrm{d}x_{n-1}\right]\end{align}</math>

Somit bleibt nur die Summe der [[Differenzenquotient]]en übrig

:<math>\frac{1}{|\Delta V|}\int\limits _{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S=\frac{F_{1}(x_{1}+\Delta x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})-F_{1}(x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})}{\Delta x_{1}}+\ldots+\frac{F_{n}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-F_{n}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n})}{\Delta x_{n}}</math>,

die im Grenzübergang <math>\Delta x_{i}\to 0</math> zu partiellen Ableitungen werden:

:<math>\operatorname{div}\,\vec{F}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})+\ldots+\frac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}(x_{1},x_{2},\ldots,x{}_{n})</math>

=== Kovariantes Verhalten bei Drehungen und Verschiebungen ===

Der Divergenz-Operator kommutiert mit räumlichen Drehungen und Verschiebungen eines Vektorfeldes, d.&nbsp;h. die Reihenfolge dieser
Operationen macht keinen Unterschied.

Begründung: Wenn das Vektorfeld <math>\vec{F}</math> im Raum gedreht oder (parallel)verschoben wird, braucht man in der oben
gegebenen koordinatenunabhängigen Darstellung nur die Flächen- und Volumenelemente in derselben Weise zu drehen, um wieder auf
denselben skalaren Ausdruck zu kommen. Das Skalarfeld <math>\operatorname{div}\,\vec F</math> dreht und verschiebt sich also in gleicher Weise wie das Vektorfeld <math>\vec{F}</math>.

== Ein „Zerlegungs-Theorem“ ==
Für ''n''=3-dimensionale Vektorfelder <math>\vec{F}(\vec{r})</math>, die im ganzen Raum mindestens zweimal stetig differenzierbar sind und im Unendlichen hinreichend rasch gegen null gehen, gilt, dass sie in einen ''wirbelfreien Teil'' <math>\vec{E}</math> und einen ''quellenfreien Teil'' <math>\vec{B}</math> zerfallen, <math>\vec{F} = \vec{E} + \vec{B}</math>. Für den wirbelfreien Teil gilt, dass er durch seine Quellendichte wie folgt dargestellt werden kann:
:<math>\vec{E}(\vec{r}) = -\nabla \Phi(\vec{r})</math>, mit
:<math>\Phi (\vec{r}) = \int_{\mathbb R^3}\,\mathrm{d}^{(3)}r'\,\,\frac{\mathrm{div}\,\vec{E}(\vec r')}{4\pi|\vec{r} -\vec r'|}</math>.

Für den quellenfreien Teil, <math>\vec{B}(\vec{r})</math>, gilt analoges, wenn man das skalare Potential <math>\Phi</math> durch ein sog. [[Vektorpotential]] <math>\vec{A}</math> ersetzt und zugleich die Ausdrücke <math>-\nabla\,\Phi</math> bzw. <math>\operatorname{div}\,\vec{E}</math> (=Quellendichte von <math>\vec{E}</math>) durch die Operationen <math>\nabla \times\,\vec A</math> bzw. <math>\nabla\times\vec B</math> (=Wirbeldichte von <math>\vec{B}</math>) substituiert.

Dieses Verfahren ist Bestandteil des [[Helmholtz-Theorem]]s.

== Eigenschaften ==
=== Im n-dimensionalen Raum ===
Sei <math>c \in \R</math> eine Konstante, <math>\Omega \subset \R^n</math> eine offene Teilmenge, <math>u \colon \Omega \to \R</math> ein skalares Feld und <math>\vec{F}, \vec{G} \colon \Omega \to \R^n</math> zwei Vektorfelder. Dann gelten folgende Regeln:

* Die Divergenz ist [[Lineare Abbildung|linear]], das heißt, es gilt
:<math>\operatorname{div}\,(c\cdot\vec{F}) = c\cdot\operatorname{div}\,\vec{F}</math> und
:<math>\operatorname{div}\,(\vec{F}+\vec{G}) = \operatorname{div}\,\vec{F} + \operatorname{div}\,\vec{G}.</math>
* Für die Divergenz gilt die Produktregel
:<math>
\operatorname{div}(u\vec{F})=\operatorname{grad}(u)\cdot\vec{F} + u\operatorname{div}\vec{F}
</math>
* Die Divergenz des Vektorfeldes <math>\vec{F}</math> entspricht in beliebigen Koordinaten der [[Spur (Mathematik)#Koordinatenfreie Definition der Spur|Spur]] der [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)#Darstellung in Koordinaten: Christoffel-Symbole|kovarianten Ableitung]] <math>\nabla \vec{F}</math> von <math>\vec{F}</math>, das heißt, es gilt<br /><math style="margin-left:2em">\operatorname{div}\,\vec{F} = \operatorname{Spur}( \nabla \vec{F})</math>.<br /> Diese Darstellung ist koordinateninvariant, da die Spur einer linearen Abbildung invariant gegenüber einem [[Basiswechsel (Vektorraum)|Basiswechsel]] ist.

=== Im dreidimensionalen Raum ===
Ist <math>n = 3</math>, so gibt es auch eine Produktregel für das [[Kreuzprodukt]] <math>\times</math>, diese lautet
:<math>
\operatorname{div}(\vec{F}\times\vec{G})
= \vec{G}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{F} - \vec{F}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{G}
\,,</math>
wobei mit <math>\operatorname{rot}</math> die Rotation gemeint ist. Wegen <math>\operatorname{rot(grad} (f)) = 0</math> für alle differenzierbaren <math>f</math> folgt daraus
:<math>\operatorname{div(grad}f_1\times\operatorname{grad}f_2) = 0</math>

für beliebige differenzierbare <math> f_1,\,f_2</math>.

=== Beispiele ===

In kartesischen Koordinaten findet man unmittelbar
:<math>
   \operatorname{div}\,\vec r = \operatorname{div}\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right) = 3
</math>
Für das [[Coulombsches Gesetz|Coulomb-Feld]] findet man, wenn in der ersten Produktregel  <math> u \!\, = 1/r^3</math>, &nbsp;
<math> \operatorname{grad}\,u = -3\hat{e}_r/r^4</math> und <math>\vec F = \vec r </math> gesetzt wird
:<math>
\operatorname{div} \, \frac{\hat{e}_r}{r^2}
=  \operatorname{div} \, \frac{\vec r}{r^3}
= -\frac{3\hat{e}_r}{r^4} \cdot \vec{r} + \frac3{r^3} = 0
\qquad r=|\vec{r}| \neq 0,\quad \vec{r}=r\hat{e}_r
\,.</math>
Mit der Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten ist dieses Ergebnis ebenfalls zu erhalten.

Nach dem Korollar sind Felder <math>\vec{f}</math> des folgenden Typs quellenfrei:
:<math>
\vec{f}=\frac{\vec{c}\times\vec{r}}{r^3} \quad \vec{c} = \text{const}\,,
\quad
\vec{f}=\vec{r}\times\operatorname{grad}\,Y_{lm}(\vartheta,\varphi)
</math>

== Gaußscher Integralsatz ==
{{Hauptartikel|Gaußscher Integralsatz}}

=== Aussage ===
Eine wichtige Rolle spielt die Divergenz in der Aussage des Gaußschen Integralsatzes. Er besagt, dass der Durchfluss durch eine geschlossene Oberfläche gleich dem Integral über die Divergenz des Vektorfeldes im Inneren dieses Volumens ist, und erlaubt damit die Umwandlung eines
[[Volumenintegral]]s in ein [[Oberflächenintegral]]:

:<math> \iiint\limits_V \operatorname{div} \vec F\; \mathrm{d}V
= \iint\limits_{\partial V} \vec F\;\cdot\vec n\,\mathrm{d}S\,,</math>

wobei <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor der Oberfläche <math>\partial V</math> ist. Anschaulich beschreibt er damit für den Fall einer Strömung den Zusammenhang zwischen dem Durchfluss durch diese Fläche und den Strömungsquellen und -senken innerhalb des zugehörigen Volumens.

=== Punktförmige Quelle ===

Setzt man im Gaußschen Integralsatz das [[Coulombsches Gesetz|coulombartige]] Feld <math>\vec F_C = \hat{e}_r/r^2</math>
ein und wählt man als Integrationsfläche <math> \partial V </math> eine Kugelfläche mit Radius <math>r\!\,</math> um den Ursprung,
so ist <math> \vec n = \hat{e}_r </math> und der Integrand wird konstant gleich <math>1/\!\,r^2</math>. Weil die Oberfläche der Kugel
<math>4\pi \!\, r^2</math> ist, folgt
:<math>
  \iint\limits_{\partial K} \vec F_C \cdot \vec n\,\mathrm{d}S
 = \frac{1}{r^2} \iint\limits_{\partial K} \mathrm{d}S
 = 4\pi
</math>
Somit liefert der Integralsatz eine Information über <math>\operatorname{div}\,\vec F_C</math>, die im Gegensatz zu den
Ableitungsausdrücken (Produktregel oder Kugelkoordinaten) auch den Punkt <math>\vec r = 0</math> einschließt: Das Volumenintegral von  <math>\operatorname{div}\,\vec F_C</math> ist <math> 4 \pi</math>. Dies lässt sich mit dem Ergebnis der Ableitungsrechnung zu einer [[Delta-Distribution#Mehrdimensionale Delta-Distribution|Distributionsgleichung]] zusammenfassen:
:<math>
   \operatorname{div}\,\frac{\hat{e}_r}{r^2} = 4\pi \delta(\vec{r})
</math>

== Zylinder- und Kugelkoordinaten ==
In [[Polarkoordinaten|Zylinderkoordinaten]] gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes <math>\vec{F}(\rho,\varphi,z)</math>:

:<math>\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 \rho \frac \partial {\partial \rho} (\rho F_\rho) + \frac 1 \rho \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}</math>

In [[Kugelkoordinaten]] gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes <math>\vec{F}(r, \theta,\varphi)</math>:

:<math>\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 {r^2} \frac \partial {\partial r} (r^2 F_r) + \frac 1 {r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} ( F_\theta \sin \theta) + \frac 1{r \sin \theta } \frac {\partial F_\varphi}{\partial \varphi}</math>

Letztere Formel kann ohne Differentiation von Basisvektoren hergeleitet werden:  Man führt eine Testfunktion <math>g</math> ein und schreibt ein Volumenintegral einmal in kartesischen und einmal in Kugelkoordinaten. Mit bekannten Ausdrücken für Gradient und Volumenelement ergibt das nach Ausmultiplizieren der Basisvektoren
:<math>\begin{align}
\int \vec{F}\cdot\operatorname{grad}\,g \, \mathrm{d}V &= 
\int \left(F_x \frac{\partial g}{\partial x} + F_y \frac{\partial g}{\partial y} + F_z \frac{\partial g}{\partial z}\right)
\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\
&= \int \left( F_r \frac{\partial g}{\partial r} + \frac{F_\theta }{r}\,\frac{\partial g}{\partial\theta}
   +  \frac{F_\varphi}{r\sin\theta}\,\frac{\partial g}{\partial\varphi}\right) r^2 \mathrm{d}r \, \sin\theta \, \mathrm{d}\theta
   \, \mathrm{d}\varphi
\end{align}</math>
Die Ableitungen von <math> g </math> werden partiell integriert, wobei Randterme verschwinden. Auf der rechten Seite
muss das Volumenelement mitdifferenziert und danach in zwei Termen wiederhergestellt werden (Erweitern). Das ergibt
:<math>
  \int g \, \left( \operatorname{div}\,\vec{F}\right)_\mathrm{kartesisch}  \mathrm{d}V
 =  \int g \, \left( \operatorname{div}\,\vec{F}\right)_\mathrm{Kugelkoordinaten} \mathrm{d}V
</math>
Aus der Gleichheit der Integrale für alle Testfunktionen folgt, dass die Ausdrücke für die Divergenz gleich sind.

== Inverse ==
Nach dem [[Poincaré-Lemma]] existiert zu jedem Skalarfeld ein Vektorfeld, dessen Divergenz es ist. Dieses Vektorfeld ist nicht eindeutig bestimmt, denn es kann ein örtlich konstanter Vektor hinzuaddiert werden, ohne die Divergenz und damit das Skalarfeld zu verändern.

Unter gewissen Voraussetzungen existiert ein Rechts- oder Links[[Inverses Element|inverses]] der Divergenz. So gibt es für ein offenes und beschränktes [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>\Omega\subset\R^n</math> mit [[Lipschitz-Stetigkeit|lipschitzstetigem]] Rand einen Operator <math>B \colon W^{m,p}(\Omega) \rightarrow W^{m,p}(\Omega)</math>, so dass für jedes <math>f\in W^{m,p}(\Omega)</math> mit <math>\textstyle \int_\Omega f \,\mathrm d\lambda=0</math>
:<math>\operatorname{div}(Bf)=f</math>
gilt, wobei <math>W^{m,p}(\Omega)</math> den entsprechenden [[Sobolew-Raum]] für <math>m\in\N</math> und <math>1< p<\infty</math> bezeichnet. <math>B</math> heißt Bogowskii-Operator.<ref group="L">G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X</ref>

== Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten ==
Im Abschnitt [[#Eigenschaften|Eigenschaften]] wurde bereits gesagt, dass die Divergenz mit Hilfe der Spur der Jacobimatrix ausgedrückt werden kann und dass diese Darstellung koordinateninvariant ist. Aus diesem Grund verwendet man diese Eigenschaft, um die Divergenz auf [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeiten]] zu definieren. Mit Hilfe dieser Definition kann man zum Beispiel den [[Laplace-Operator]] auf riemannschen Mannigfaltigkeiten koordinatenfrei definieren. Dieser heißt dann [[Laplace-Beltrami-Operator]].

=== Definition ===
Sei <math>M</math> eine riemannsche Mannigfaltigkeit und <math>F \in \Gamma(TM)</math> ein <math>C^k</math>-[[Vektorfeld]] mit <math>k \geq 1</math>. Dann ist die Divergenz durch
:<math>\operatorname{div}(F) := \operatorname{Spur}(\xi \mapsto \nabla_\xi F)</math>

definiert. Dabei ist <math>\xi \in \Gamma(TM)</math> ein Vektorfeld und der Operator <math>\nabla</math> ist der [[Levi-Civita-Zusammenhang]], der den Nabla-Operator verallgemeinert. Wertet man <math>\nabla_\xi F</math> an <math>p \in M</math> aus, so ist <math>\xi|_p \mapsto \nabla_{\xi|_p} F|_p \in \operatorname{End}(T_pM)</math> und man kann für alle <math>p</math> die aus der linearen Algebra bekannte Spur bilden.<ref group="L">Isaac Chavel: ''Eigenvalues in Riemannian Geometry'', Academic Press, 1984, 2. Ausgabe ISBN 978-0-12-170640-1, Seite 3.</ref>

=== Transportsatz und geometrische Interpretation ===

Für den [[Integralkurve#Lokaler Fluss|Fluss]] <math>\varphi \colon U\subseteq \R\times M\to M,\;(t,x)\mapsto\varphi_t(x)</math> eines Vektorfeldes <math>F</math> gilt der [[Reynolds’scher Transportsatz|Transportsatz]]<ref group="L">{{BibISBN|9783764388836|Seite=438|Kommentar=Kapitel XII}}</ref>
:<math>
 \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int_{\varphi_t(\Omega)} \varrho(t,x) \mathrm d\lambda(x)
= \int_{\varphi_t(\Omega)} (\partial_t\varrho(t,x) + \operatorname{div}(\varrho(t,x)F(x))) \mathrm d\lambda(x).
</math>
Dabei ist <math>\lambda</math> das [[Hodge-Stern-Operator#Riemannsche Volumenform|Riemann-Lebesguesche Volumenmaß]] auf der Mannigfaltigkeit, <math>\Omega</math> eine [[Relative Kompaktheit|relativ-kompakte]] [[Maßtheorie#Messraum, messbare Mengen, messbare Funktionen|messbare]] Teilmenge und <math>\varrho</math> eine [[glatte Funktion]]. Interpretiert man <math>\varrho</math> als [[Dichte#Ortsabhängige Dichte|Dichte]] einer [[Erhaltungssatz|Erhaltungsgröße]], dann folgt daraus die [[Kontinuitätsgleichung]]. Für <math>\varrho=1</math> erhält man
:<math>
 \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lambda(\varphi_t(\Omega))=\int_{\varphi_t(\Omega)}\operatorname{div} F(x) d\lambda(x).
</math>
Die Divergenz ist also die Dichte der Volumenänderungsrate bezüglich des Flusses. Die Divergenz in einem Punkt gibt an, wie schnell sich der [[Maßtheorie#Maß|Inhalt]] eines [[Infinitesimalrechnung|infinitesimalen]] Volumenelements in diesem Punkt ändert, wenn es sich mit dem Fluss bewegt. Als Folgerung ergibt sich, dass ein Vektorfeld genau dann divergenzfrei ist, wenn der erzeugte Fluss volumenerhaltend ist.

== Divergenz von Tensoren zweiter Stufe ==
In den Ingenieurwissenschaften wird die Divergenz auch für Tensoren zweiter Stufe eingeführt und liefert dann Vektorfelder.<ref group="L">
{{Literatur
| Autor=[[Holm Altenbach]]
| Titel=Kontinuumsmechanik
| TitelErg=Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen
| Seiten=43 ff.
| Verlag=Springer-Verlag
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Datum=2012
| ISBN=978-3-642-24118-5
| DOI=10.1007/978-3-642-24119-2}}
</ref> Zum Beispiel geht die Divergenz des [[Spannungstensor]]s in die lokale Impulsbilanz der [[Kontinuumsmechanik]], das [[Cauchy-eulersche Bewegungsgesetze|erste Cauchy-Eulersche Bewegungsgesetz]], ein.

=== Definition ===
Tensoren zweiter Stufe bilden Vektoren auf Vektoren ab. Indem die vektorielle Divergenz mit der Divergenz des Tensors in Zusammenhang gebracht wird, kann die Divergenz auf Tensoren '''T''' verallgemeinert werden:<ref group="L">{{Literatur
| Autor=M. E. Gurtin
| Herausgeber=S. Flügge
| Titel=The Linear Theory of Elasticity
| Sammelwerk=Handbuch der Physik
| Band=Bd. VI2/a, Bandherausgeber C. Truesdell
| Seiten=11
| Verlag=Springer
| Jahr=1972
| ISBN=3-540-05535-5}}</ref>

:<math>\mathrm{div}(\mathbf{T})\cdot\vec c
=\mathrm{div}(\mathbf{T}^\top\cdot\vec c)\quad\forall\quad\vec c</math>

Darin bildet das Superskript <sup>⊤</sup> den [[Transponierte Matrix|transponierten]] Tensor. Mit dem [[Nabla-Operator]] berechnet sich diese Divergenz mittels

:<math>\mathrm{div}(\mathbf{T})=\nabla\cdot\left(\mathbf T^\top\right)</math>

In der Literatur insbesondere der [[Strömungsmechanik]] wird auch die transponierte Version <math>\nabla\cdot\mathbf{T}</math> benutzt.<ref group="L">Altenbach (2012), S. 43,{{Literatur
| Autor=M. Bestehorn
| Titel=Hydrodynamik und Strukturbildung
| Verlag=Springer
| Ort=Berlin, Heidelberg u.&nbsp;a.
| Jahr=2006
| Seiten=377
| ISBN=978-3-540-33796-6}}
</ref>

=== Komponenten der Divergenz eines Tensors ===
==== Divergenz eines Tensors in kartesischen Koordinaten ====
Für einen Tensor <math>\textstyle\mathbf{T}
=\sum_{i,j=1}^3T_{ij}\hat e_i\otimes\hat e_j
</math> ergibt sich bezüglich der [[Standardbasis]] ê<sub>1,2,3</sub> eines [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]] mit x-, y- und z-Koordinaten, die gemäß dem Schema x&nbsp;→&nbsp;1, y&nbsp;→&nbsp;2 und z&nbsp;→&nbsp;3 nummeriert werden:

:<math>
\operatorname{div}\mathbf{T}
=\sum_{k=1}^3 \frac{\part\mathbf T}{\part x_k}\cdot\hat e_k
=\sum_{i,k=1}^3\frac{\part T_{ik}}{\part x_k}\hat e_i
=\begin{pmatrix}
 \frac{\partial T_{xx}}{\partial x}
+\frac{\partial T_{xy}}{\partial y}
+\frac{\partial T_{xz}}{\partial z}\\
 \frac{\partial T_{yx}}{\partial x}
+\frac{\partial T_{yy}}{\partial y}
+\frac{\partial T_{yz}}{\partial z}\\
 \frac{\partial T_{zx}}{\partial x}
+\frac{\partial T_{zy}}{\partial y}
+\frac{\partial T_{zz}}{\partial z}
\end{pmatrix}</math>

Die transponierte Version <math>\nabla\cdot\mathbf{T}=\mathrm{div}\left(\mathbf{T}^\top\right)</math> ergibt sich hieraus durch Vertauschen von ''T<sub>ab</sub>'' durch ''T<sub>ba</sub>''.

==== Divergenz eines Tensors in Zylinderkoordinaten ====
In Zylinderkoordinaten mit Basisvektoren

:<math>
\hat{e}_\rho=\begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi)\\ 0\end{pmatrix},
\quad
\hat{e}_\varphi=\begin{pmatrix}-\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi)\\0\end{pmatrix},
\quad
\hat{e}_z=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}
</math>

ergibt sich die Divergenz für Tensoren zweiter Stufe zu

:<math>\begin{align}
\mathrm{div}(\mathbf{T})
=&
\left(T_{\rho\rho,\rho}
+\frac{1}{\rho}(T_{\rho\varphi,\varphi}+T_{\rho\rho}-T_{\varphi\varphi})
+T_{\rho z,z}\right)\hat{e}_\rho 
\\&
+\left(T_{\varphi\rho,\rho}
+\frac{1}{\rho}(T_{\varphi\varphi,\varphi}+T_{\rho\varphi}+T_{\varphi\rho})
+T_{\varphi z,z}\right)\hat{e}_\varphi
\\&
+\left(T_{z\rho,\rho}
+\frac{1}{\rho}(T_{z\varphi,\varphi}+T_{z\rho})
+T_{zz,z}\right)\hat{e}_z
\end{align}</math>

Ein Index hinter einem Komma bezeichnet hier die Ableitung nach der Koordinate: <math>T_{\rho\varphi,\varphi}=\tfrac{\partial T_{\rho\varphi}}{\partial\varphi}</math>. Die transponierte Version <math>\nabla\cdot\mathbf{T}=\mathrm{div}\left(\mathbf{T}^\top\right)</math> ergibt sich hieraus durch Vertauschen von ''T<sub>ab</sub>'' durch ''T<sub>ba</sub>''.

==== Divergenz eines Tensors in Kugelkoordinaten ====
In Kugelkoordinaten mit Basisvektoren

:<math>\hat{e}_r=\begin{pmatrix}
\sin(\vartheta)\cos(\varphi)\\
\sin(\vartheta)\sin(\varphi)\\
\cos(\vartheta)
\end{pmatrix},
\quad
\hat{e}_\vartheta=\begin{pmatrix}
\cos(\vartheta)\cos(\varphi)\\
\cos(\vartheta)\sin(\varphi)\\
-\sin(\vartheta)
\end{pmatrix},
\quad
\hat{e}_\varphi=\begin{pmatrix}
-\sin(\varphi)\\
\cos(\varphi)\\
0
\end{pmatrix}</math>

ergibt sich die Divergenz für Tensoren zweiter Stufe zu

:<math>\begin{align}
\mathrm{div}(\mathbf{T})
=&
\left(
T_{rr,r}+\frac{2T_{rr}-T_{\vartheta\vartheta}-T_{\varphi\varphi}
+T_{r\vartheta,\vartheta}}{r}
+\frac{T_{r\varphi,\varphi}+T_{r\vartheta}\cos(\vartheta)}{r\sin(\vartheta)}
\right)\hat{e}_r
\\&
\left(
T_{\vartheta r,r}+\frac{2T_{\vartheta r}+T_{r\vartheta}+T_{\vartheta\vartheta,\vartheta}}{r}+\frac{(T_{\vartheta\vartheta}-T_{\varphi\varphi})\cos(\vartheta)+T_{\vartheta\varphi,\varphi}}{r\sin(\vartheta)}
\right)\hat{e}_\vartheta
\\&
\left(
T_{\varphi r,r}+\frac{2T_{\varphi r}+T_{r\varphi}+T_{\varphi\vartheta,\vartheta}}{r}+\frac{(T_{\vartheta\varphi}+T_{\varphi\vartheta})\cos(\vartheta)+T_{\varphi\varphi,\varphi}}{r\sin(\vartheta)}
\right)\hat{e}_\varphi
\end{align}</math>

Ein Index hinter einem Komma bezeichnet hier die Ableitung nach der Koordinate: <math>T_{\varphi r,r}=\tfrac{\partial T_{\varphi r}}{\partial r}</math>. Die transponierte Version <math>\nabla\cdot\mathbf{T}=\mathrm{div}\left(\mathbf{T}^\top\right)</math> ergibt sich hieraus durch Vertauschen von ''T<sub>ab</sub>'' durch ''T<sub>ba</sub>''.

=== Eigenschaften ===
==== Im n-dimensionalen Raum ====
Sei <math>c \in \R</math> eine Konstante, <math>\Omega \subset \R^n</math> eine offene Teilmenge, <math>u \colon \Omega \to \R</math> ein skalares Feld, <math>\vec{F}, \vec{G} \colon \Omega \to \R^n</math> zwei Vektorfelder und '''T''' ein tensorielles Feld. Dann gelten folgende Regeln:

:<math>
\begin{array}{rclcl}
\operatorname{div}(u\mathbf{T})
&=&
(u_{,i}\mathbf{T}+u\mathbf{T}_{,i})\cdot\hat{e}_i
&=&\mathbf{T}\cdot\operatorname{grad}(u) + u\operatorname{div}\mathbf{T}
\\
\operatorname{div}(\mathbf{T}\cdot\vec{F})
&=&
\left(\mathbf{T}_{,i}\cdot\vec{F}+\mathbf{T}\cdot\vec{F}_{,i}\right)\cdot\hat{e}_i
&=&
\operatorname{div}(\mathbf{T}^\top)\cdot\vec{F}+\mathbf{T}^\top:\operatorname{grad}\vec{F}
\\
\operatorname{div}(\vec{F}\otimes\vec{G})
&=&
\left(\vec{F}_{,i}\otimes\vec{G}+\vec{F}\otimes\vec{G}_{,i}\right)\cdot\hat{e}_i
&=&
\operatorname{grad}(\vec{F})\cdot\vec{G}+\operatorname{div}(\vec{G})\vec{F}
\end{array}
</math>

Darin ist <math>\cdot, :</math> das [[Frobenius-Skalarprodukt]] für Vektoren bzw. Tensoren und eine Ableitung nach der Koordinate x<sub>i</sub> in einem kartesischen Koordinatensystem mit Basisvektoren <math>\hat{e}_i</math> wird mit einem Index <sub>,i</sub> abgekürzt, über den des Weiteren oben von eins bis drei zu summieren ist ([[Einsteinsche Summenkonvention]]).

==== Im dreidimensionalen Raum ====
Für die Herleitung des [[Cauchy-Eulersche Bewegungsgesetze#Zweites Cauchy-Euler’sches Bewegungsgesetz|zweiten Cauchy-Euler’schen Bewegungsgesetzes]], das die Erhaltung des [[Drehimpuls]]es in einem Kontinuum sicherstellt, wird die Produktregel

:<math>\begin{align}
\mathrm{div}(\vec{f}\times\mathbf{T})=&
(\vec{f}_{,i}\times\mathbf{T}+\vec{f}\times\mathbf{T}_{,i})\cdot\hat e_i
=
\vec{\mathrm i}\left(\mathrm{grad}(\vec{f})\cdot\mathbf{T}^\top\right)
+\vec{f}\times\mathrm{div}(\mathbf{T})
\end{align}</math>

gebraucht. Darin sind <math>\vec{F}</math> ein vektorielles und '''T''' ein tensorielles, differenzierbares Feld und <math>\vec{\mathrm i}</math> bildet die [[Vektorinvariante]].

=== Gaußscher Integralsatz ===
Dieser Integralsatz wird in der Kontinuumsmechanik auch für Tensorfelder, z.&nbsp;B. von [[Spannungstensor]]en <math>\boldsymbol{\sigma}</math>, benötigt:

:<math> \iiint\limits_V \operatorname{div} \boldsymbol{\sigma}\; \mathrm{d}V
= \iint\limits_{\partial V} \boldsymbol{\sigma}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S
= \iint\limits_{\partial V} \vec{t}\,\mathrm{d}S\,.
</math>

Der vom [[Symmetrische Matrix|symmetrischen]] Spannungstensor transformierte [[Normalenvektor]] an die Fläche ist nach dem [[Cauchysches Fundamentaltheorem|Cauchy’schen  Fundamentaltheorem]] der auf der Fläche wirkende Spannungsvektor <math>\vec{t}</math> (ein Vektor mit der Dimension Kraft pro Fläche). Diese Gleichung ist im Fall ihres Verschwindens bereits die Impulsbilanz deformierbarer Körper im statischen Fall in Abwesenheit einer Volumenkraft.

=== Expansionsrate ===
Die Divergenz eines Vektorfeldes <math>\vec{v}</math> lautet in diesem Formalismus:

:<math>\operatorname{div}\,\vec{v} = \operatorname{Sp}(\operatorname{grad}\,\vec{v})
\quad\leftrightarrow\quad
\sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}v_i}{\mathrm{d}x_i}
= \operatorname{Sp}\left(\sum_{i,j=1}^n\frac{\mathrm{d}v_i}{\mathrm{d}x_j}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\right)
\,.</math>

[[Datei:Divvt.png|mini|zentriert|400px|Urbildraum V, der durch die Bewegungsfunktion χ in den Bildraum v transformiert wird]]

Ist speziell <math>\vec v(\vec{x},t)=\dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t)</math> das Geschwindigkeitsfeld einer Bewegung <math>\vec{\chi}(\vec{X},t)=\vec{x}\in v</math> (Bildraum) von Punkten <math>\vec{X}\in V</math> aus einem zeitunabhängigen Volumen V (Urbildraum), siehe Bild, dann ist der Gradient des Vektorfeldes der [[Geschwindigkeitsgradient]] '''l'''

:<math>\operatorname{div}\,\vec{v}
= \operatorname{Sp}(\operatorname{grad}\,\vec{v})
= \operatorname{Sp}(\mathbf{l})
= \operatorname{Sp}(\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1})
\,,</math>

der mit der [[Zeitableitung]] des [[Deformationsgradient]]en '''F''' und seiner [[Inverse Matrix|Inversen]] zusammenhängt. Die [[Determinante]] des Deformationsgradienten transformiert die [[Volumenform]]en (rot im Bild) ineinander:

:<math>\mathrm{d}v = \operatorname{det}(\mathbf{F})\,\mathrm{d}V\,.</math>

Zeitableitung dieser Gleichung ergibt mit dem [[Frobenius-Skalarprodukt#Darstellung als Spur|Frobenius-Skalarprodukt]] „:“ (siehe [[Hauptinvariante#Ableitungen der Hauptinvarianten|Ableitungen der Hauptinvarianten]])

:<math>(\mathrm{d}v)\dot{}
= \operatorname{det}(\mathbf{F})\mathbf{F}^{\top-1}:\dot{\mathbf{F}}\,\mathrm{d}V
= \operatorname{Sp}(\mathbf{F}^{-1}\cdot\dot{\mathbf{F}})\,\mathrm{d}v
= \operatorname{Sp}(\mathbf{l})\,\mathrm{d}v
= \operatorname{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}v\,,
</math>

denn die Volumenform im Urbildraum ist nicht von der Zeit abhängig. Wenn die Divergenz verschwindet, dann ist die Bewegung lokal volumenerhaltend. Eine positive Divergenz bedeutet Expansion, was in der Realität mit einer [[Kontinuumsmechanik#Massenbilanz|Abnahme der Dichte]] einhergeht.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Divergence|Divergenz}}
* ''[https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1193 Wie „krümme“ ich Nabla und Delta? – Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten.]'' In: ''[[Matroids Matheplanet|matheplanet.com]].''

== Siehe auch ==
* [[Formelsammlung Tensoranalysis]] mit Formeln zur Divergenz von Vektoren und Tensoren.

== Einzelnachweise ==
<references group="L" />

== Literatur ==
* [[Adolf J. Schwab]]: ''Begriffswelt der Feldtheorie'', Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5
* {{Literatur |Autor=H. Altenbach |Titel=Kontinuumsmechanik |Verlag=Springer |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-24118-5}}
* {{EoM| Titel = Divergence| Autor = L. P. Kuptsov| Url = https://encyclopediaofmath.org/wiki/Divergence}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4528420-9}}

[[Kategorie:Differentialoperator]]
[[Kategorie:Feldtheorie]]
[[Kategorie:Vektoranalysis]]
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