Quelltext der Seite Kugeltensor

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[[Datei:Tensorbild.png|mini|Lineare Abbildung eines Vektors <math>\vec{v}</math> durch einen Tensor <math>\mathbf{T}</math>.]]
[[Datei:Kugelbild.png|mini|Abbildung eines Vektors <math>\vec{v}</math> durch einen Kugeltensor <math>\mathbf{K}</math>.]]
'''Kugeltensoren''', '''Axiatoren''' oder '''sphärische Tensoren''' sind in der [[Kontinuumsmechanik]] [[Tensor]]en, die proportional zum [[Einheitstensor]] zweiter Stufe sind. Tensoren zweiter Stufe werden hier als lineare Abbildungen von geometrischen Vektoren auf geometrische Vektoren benutzt, die im Allgemeinen dabei gedreht und gestreckt werden, siehe die obere Abbildung rechts. Kugeltensoren sind die speziellen Abbildungen, die eine reine, homogene Streckung in alle drei Raumrichtungen ''ohne'' Drehung bewirken wie im unteren Bild rechts. Der Kugel- oder sphärische Anteil eines Tensors ist der Kugeltensor, der dieselbe [[Spur (Mathematik)|Spur]] wie der Tensor besitzt.

Kugeltensoren treten in der Kontinuumsmechanik bei allseitigem, hydrostatischem Druck oder bei in allen drei Raumrichtungen gleichförmiger Expansion oder Kompression eines Körpers auf. Sie werden daher zur Modellierung des Materialverhaltens unter diesen  Bedingungen benutzt.

== Definition ==
Kugeltensoren sind Tensoren zweiter Stufe <math> \mathbf{T} </math>, die das <math> \lambda \in \mathbb{R} </math> fache des [[Einheitstensor]]s <math> \mathbf{I} </math> sind:

:<math> \mathbf{T}:\quad\mathbf{T}=\lambda \mathbf{I} </math>.

Der Kugelanteil eines Tensors <math> \mathbf{T} </math> wird mit einem hochgestellten "K" oder "sph" bezeichnet:

:<math> \mathbf{T}^{\mathrm{K}}
=\mathrm{sph}(\mathbf{T})
:=\frac{\operatorname{Sp}(\mathbf{T})}{\operatorname{Sp}(\mathbf{I})}\mathbf{I}
=\frac{\operatorname{Sp}(\mathbf{T})}{3}\mathbf{I} </math>.

Die [[Spur (Mathematik)|Spur]] "Sp" des [[Einheitstensor]]s <math> \mathbf{I} </math> ist gleich der Dimension des zugrunde gelegten Raumes, hier und im Folgenden gleich drei.

== Expansion und Kompression ==
[[Datei:Kugelflaeche.png|mini|330px|Expansion einer Kugel]]
Wie eingangs erwähnt treten Kugeltensoren bei in allen drei Raumrichtungen gleichförmiger Expansion oder Kompression eines Körpers auf, die wie folgt beschrieben werden kann. Sei

:<math> \vec{X}=\sum_{i=1}^{3}X_{i}\vec{e}_{i}\in \mathbb{V}^{3} </math>

der Ortsvektor eines Partikels eines Körpers <math> K </math> in der undeformierten Ausgangslage. Die Zahlen <math> X_{1,2,3}\in \mathbb{R} </math> heißen ''materielle Koordinaten'' des Partikels und sind auf die [[Standardbasis]] <math> \vec{e}_{1,2,3} </math> des dreidimensionalen [[Prähilbertraum|euklidischen Vektorraums]] <math> \mathbb{V}^{3} </math> bezogen. In der Momentankonfiguration hat das Partikel zur Zeit <math>t</math> die Position

:<math> \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t)
= \sum_{i=1}^{3}x_{i}\vec{e}_{i} \in \mathbb{V}^{3} </math>

mit ''räumlichen Koordinaten'' <math> x_{1,2,3}\in\mathbb{R} </math> nach der Deformation in Folge der Bewegung <math>\vec{\chi}</math>. Bei reiner Expansion oder Kompression ''ohne'' Rotation gibt es ein Zentrum der Expansion <math> \vec{o}\in \mathbb{V}^{3} </math> und einen Streckfaktor <math> \lambda \in \mathbb{R} </math> so, dass

:<math> \vec{x}-\vec{o}=\lambda \left(\vec{X}-\vec{o}\right) </math>

für alle Partikel gilt, siehe Abbildung rechts. Bildung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] nach den materiellen Koordinaten <math> X_{1,2,3} </math> liefert den [[Deformationsgradient]]

:<math> \mathbf{F}
:=\operatorname{GRAD}(\vec{x})
:=\sum_{i,j=1}^{3}\frac{\mathrm{d}x_{i}}{{\mathrm{d}X}_{j}}
\vec{e}_{i}\otimes \vec{e}_{j}
=\sum_{i,j=1}^{3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X_{j}}[\lambda (X_{i}-o_{i})]
\vec{e}_{i}\otimes \vec{e}_{j}
=\sum_{i,j=1}^{3}\lambda \delta_{ij}\vec{e}_{i}\otimes \vec{e}_{j}
=\lambda \mathbf{I} </math>,

der hier also ein Kugeltensor ist. Das Rechenzeichen <math> \otimes </math> ist das [[Dyadisches Produkt|dyadische Produkt]] und <math> \delta_{ij} </math> bezeichnet das [[Kronecker-Delta]]. Die [[Determinante]] des Deformationsgradienten ist das Volumenverhältnis vor und nach der Expansion:

:<math> \operatorname{det}(\mathbf{F})=\lambda^{3} </math>.

== Inkompressibilität ==
{{Hauptartikel|Inkompressibilität}}

Für ein [[Inkompressibilität|inkompressibles]] Material ist die im vorigen Abschnitt beschriebene volumenändernde Deformation unmöglich, denn Inkompressibilität zeichnet sich durch ein konstantes Volumenverhältnis von eins aus. Mathematisch wird dies durch die Nebenbedingung

:<math> \mathrm{det}(\mathbf{F})\equiv 1 </math>

an die Bewegungsfunktion <math>\vec{\chi}</math> ausgedrückt. Eine solche Nebenbedingung wird mit einem [[Lagrangescher Multiplikator|Lagrangeschen Multiplikator]] sichergestellt, der hier dem Druck <math> p </math> im Material entspricht. Die zugehörige Reaktionsspannung ist der [[Drucktensor]]

:<math> -p\mathbf{I} </math>,

der ein Kugeltensor ist. Beispiele für diese Beschreibungsweise finden sich in der [[Hyperelastizität]].

== Ort im Eigenwertraum ==
[[Datei:Hydrostatachse.png|mini|Hydrostatische Achse im Eigenwertraum]]
Als Vielfaches des Einheitstensors hat jeder Kugeltensor drei identische Eigenwerte <math> \lambda_{1,2,3}
=\lambda </math> die im Eigenwertraum auf der hydrostatischen Achse <math> \lambda_{1}
=\lambda_{2}
=\lambda_{3} </math> liegen, siehe Abbildung rechts. Diese Achse wird, sofern nur [[Symmetrische Matrix|symmetrische]] Tensoren betrachtet werden, von den Kugeltensoren gebildet.

== Invarianten von Kugeltensoren ==
Die drei [[Hauptinvariante]]n eines Kugeltensors lauten

:<math> \begin{array}{rclcl}
\mathrm{I}_{1}(\lambda \mathbf{I})
&=&
\operatorname{Sp}(\lambda \mathbf{I})
&=&
3\lambda
\\
\mathrm{I}_{2}(\lambda \mathbf{I})
&=&\frac{1}{2}[\operatorname{Sp}{(\lambda \mathbf{I})}^{2}
-\operatorname{Sp}(\lambda \mathbf{I} \cdot \lambda \mathbf{I})]
&=&
3\lambda^{2}
\\
\mathrm{I}_{3}(\lambda \mathbf{I})
&=&
\operatorname{det}(\lambda \mathbf{I})
&=&
\lambda^{3}
\end{array} </math>

Der Betrag ist die [[Frobeniusnorm]], die sich mit dem [[Frobenius-Skalarprodukt]] "<math>:</math>" zu

:<math> \parallel \lambda \mathbf{I}\parallel 
=\sqrt{\lambda \mathbf{I}: \lambda \mathbf{I}}
=\sqrt{\operatorname{Sp}(\lambda \mathbf{I} \cdot \lambda \mathbf{I})}
=\sqrt{3}|\lambda| </math>

berechnet.

== Siehe auch ==
* [[Deviator]]
* [[Strecktensor]]
* [[Verzerrungstensor]]
* [[Formelsammlung Tensoralgebra]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=H. Altenbach |Titel=Kontinuumsmechanik |Verlag=Springer |Jahr=2012 |ISBN= 978-3-642-24118-5}}
* {{Literatur |Autor=P. Haupt |Titel=Continuum Mechanics and Theory of Materials |Verlag=Springer |Jahr=2000 |ISBN=3-540-66114-X}}

[[Kategorie:Kontinuumsmechanik]]
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