Thomsonsche Schwingungsgleichung

Mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung lässt sich die Resonanzfrequenz $f_0$ eines Schwingkreises (Reihenschwingkreis und idealer Parallelschwingkreise) mit der Kapazität C und der Induktivität L berechnen. Sie wurde 1853 von dem britischen Physiker William Thomson erstmals formuliert und lautet:

$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

Oder umgeformt für die Periodendauer (Schwingungszeit):

$T=\frac{1}{f_0}=2\pi \sqrt{LC}$

Herleitung

Im Resonanzfall ist der Resonanzwiderstand so groß wie der Serienwiderstand. Der kapazitive Widerstand des Kondensators und induktiver Widerstand der Spule innerhalb des Schwingkreises kompensieren sich auf null:

$X_L+X_C=0\iff {\omega }_{0}L-\frac{1}{{\omega }_{0}C}=0$

${\omega }_{0}L=\frac{1}{{\omega }_{0}C}$

$2\pi f_{0}L=\frac{1}{2\pi f_{0}C}$, da gilt $\omega =2\pi f$

${f_0}^2=\frac{1}{4{\pi }^{2}LC}$

$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$, üblich ist auch die Form: ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Herleitung nach dem Energieerhaltungssatz

Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit t konstant.

$E_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}}(t)+E_{\mathrm{e}\mathrm{l}}(t)=E_{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}$

$E_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}}$: magnetische Feldenergie der Spule

$E_{\mathrm{e}\mathrm{l}}$: elektrische Feldenergie des Kondensators

$E_{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}$: Gesamtenergie des Systems (konstant)

Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung:

$\frac{1}{2}L{I}^2(t)+\frac{1}{2C}{Q}^2(t)=E_{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}$

Aus

$I(t)=\frac{dQ(t)}{dt}=\dot{Q}(t)$

folgt:

$\frac{1}{2}L{\dot{Q}}^2(t)+\frac{1}{2C}{Q}^2(t)=E_{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}$

Nun leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab und erhält:

$L\dot{Q}\ddot{Q}(t)+\frac{1}{C}Q\dot{Q}(t)=0$

$I(t)(L\ddot{Q}+\frac{1}{C}Q(t))=0$

$L\ddot{Q}+\frac{1}{C}Q(t)=0$, da im Schwingkreis gilt: $I(t)\ne 0$.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir einen Zusammenhang zwischen $Q(t)$ und $\ddot{Q}(t)$ herstellen. Dazu verwenden wir eine Sinusfunktion als Lösungsansatz, da sie sich auf Grund ihrer Periodizität gut zur Beschreibung einer Schwingung eignet.

$Q(t)=\hat{Q}\cdot \sin (\omega t+\phi )$

$\dot{Q}(t)=\omega \hat{Q}\cdot \cos (\omega t+\phi )$

$\ddot{Q}(t)=-{\omega }^2\hat{Q}\cdot \sin (\omega t+\phi )=-{\omega }^2\cdot Q(t)$

$\hat{Q}$: maximale Ladung (Amplitude)

$\omega$: Kreisfrequenz

$\phi$: Phasenverschiebung

Durch Einsetzen ergibt sich:

$\frac{1}{C}Q(t)-{\omega }^{2}LQ(t)=0$

$Q(t)(\frac{1}{C}-{\omega }^{2}L)=0$

$\frac{1}{C}-{\omega }^{2}L=0$, da im Schwingkreis gilt: $Q(t)\ne 0$

Daraus folgt mit $\omega =2\pi f$:

$\frac{1}{C}-4{\pi }^2{f}_0^{2}L=0$

${f_0}^2=\frac{1}{4{\pi }^{2}LC}$

$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

Die thomsonsche Schwingungsgleichung gilt nur für Serienschwingkreise und ideale Parallelschwingkreise. Bei komplexeren Topologien muss, ausgehend von $X_L=X_C$, die Frequenz abgeleitet werden.

Des Weiteren muss bei der Anwendung der thomsonschen Schwingungsgleichung darauf geachtet werden, dass sich das jeweilige System im Schwingfall befindet – die Dämpfung durch den ohmschen Widerstand also nicht zu groß ist. Bei nicht zu großer Dämpfung kann die beim Parallelschwingkreis veränderte Resonanzfrequenz mit dem Verlustwiderstand R_L von L berechnet werden:

${\omega }_D={\omega }_0\sqrt{1-R_L^2\frac{C}{L}}$

Literatur

• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 12. Auflage. Band 1. Vieweg + Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0545-4. 

Weblinks

• Andere Herleitung der Formel durch den Energiesatz (LEIFI)