Petzval-Summe: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 23. Juli 2021, 15:38 Uhr

Die Petzval-Summe bzw. der daraus resultierende Radius der Petzval-Fläche beschreibt die Bildfeldwölbung eines optischen Systems. Sie wurde von Josef Maximilian Petzval entwickelt und 1843 publiziert. Für eine Anzahl dünner Linsen mit der jeweiligen Brennweite $f_{i}$ und dem Brechungsindex $n_{i}$ gilt:

\frac{1}{r_{p}} = \sum_{i} \frac{1}{n_{i} f_{i}}

Der reziproke Radius $r_{p}$ der Petzval-Fläche ist gleich der Petzval-Summe.

Allgemeiner gilt:

\frac{1}{r_{p}} = n_{k + 1} \sum_{i}^{k} {\begin{cases} ρ_{i} (\frac{1}{n_{i}} - \frac{1}{n_{i + 1}}), & refraktive Fl \ddot{a} che \\ 2 ρ_{i}, & reflexive Fl \ddot{a} che \end{cases},

wobei $ρ_{i}$ die Krümmung der i-ten Fläche ist (Kehrwert des Radius; 0 für ebene Fläche). $ρ_{i}$ ist positiv für eine in Lichtausbreitungsrichtung konvexe Fläche, negativ für eine konkave. $n_{i}$ ist der Brechungsindex vor der i-ten Fläche und $n_{i + 1}$ der Brechungsindex danach. $n_{k + 1}$ ist der Brechungsindex nach der letzten Fläche.

Petzval-Bedingung

Die Petzval-Bedingung besagt, dass die Krümmung der Petzvalfläche dann verschwindet, wenn die Petzval-Summe null ist. Tritt zudem kein Astigmatismus auf, ist das Bildfeld eben.

Ist Astigmatismus vorhanden, gibt es zwischen der Krümmung der Petzval-Fläche und der Krümmung von tangentialer $r_{t}$ und sagittaler $r_{s}$ Bildebene folgende Beziehung:

\frac{2}{r_{p}} = \frac{3}{r_{s}} - \frac{1}{r_{t}}

Die mittlere Bildfeldwölbung ist hierbei das reziproke Mittel von tangentialer und sagittaler Krümmung.

Weblinks

F. Pedrotti, W. Bausch, H. Schmitt: Optik Für Ingenieure
Image Field Curvature (en)
H. Zinken genannt Sommer: Über die Berechnung der Bildkrümmung bei optischen Apparaten, Annalen der Physik, S. 563 ff., 1864

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 :<math>\frac{1}{r_p}=\sum_i\frac{1}{n_i f_i}</math>
 Der reziproke Radius <math>r_p</math> der Petzval-Fläche ist gleich der Petzval-Summe.
 Allgemeiner gilt:
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 :<math>\frac{1}{r_p}=n_{k+1}\sum_i^k\begin{cases}
-   \frac{1}{r_i}\left(\frac{1}{n_i}-\frac{1}{n_{i+1}}\right),  & \text{refraktive Fl}{\mathrm{\ddot a}}\text{che}\\
+   \rho_i\left(\frac{1}{n_i}-\frac{1}{n_{i+1}}\right),  & \text{refraktive Fl}{\mathrm{\ddot a}}\text{che}\\
-  \frac{2}{r_i}, & \text{reflexive Fl}{\mathrm{\ddot a}}\text{che}
+\rho_i, & \text{reflexive Fl}{\mathrm{\ddot a}}\text{che}
 \end{cases} ,</math>
-wobei <math>r_i</math> der Radius der i-ten Fläche ist, <math>n_i</math> die optische Dichte vor der Brechung und <math>n_{i+1}</math> die optische Dichte danach.
+wobei <math>\rho_i</math> die Krümmung der i-ten Fläche ist ([[Kehrwert]] des Radius; 0 für ebene Fläche). <math>\rho_i</math> ist positiv für eine in Lichtausbreitungsrichtung konvexe Fläche, negativ für eine konkave. <math>n_i</math> ist der Brechungsindex vor der i-ten Fläche und <math>n_{i+1}</math> der Brechungsindex danach. <math>n_{k+1}</math> ist der Brechungsindex nach der letzten Fläche.
 == Petzval-Bedingung ==
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 == Weblinks ==
-*F. Pedrotti, W. Bausch, H. Schmitt: [http://books.google.de/books?id=GTDiER12nbwC&printsec=frontcover&dq=petzval+bedingung&source=gbs_summary_r&cad=0#PPP1,M1 ''Optik Für Ingenieure'']
+*F. Pedrotti, W. Bausch, H. Schmitt: [https://books.google.de/books?id=GTDiER12nbwC&printsec=frontcover&dq=petzval+bedingung&source=gbs_summary_r&hl=de#PPP1,M1 ''Optik Für Ingenieure'']
-*[http://www.telescope-optics.net/curvature.htm  Image Field Curvature] (en)
+*[https://www.telescope-optics.net/curvature.htm  Image Field Curvature] (en)
-*[[Hans Sommer (Komponist, 1837)|H. Zinken genannt Sommer]]: [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15207b.zoom.f588 ''Über die Berechnung der Bildkrümmung bei optischen Apparaten''], [[Annalen der Physik]], S. 563 ff., 1864
+*[[Hans Sommer (Komponist, 1837)|H. Zinken genannt Sommer]]: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15207b.zoom.f588 ''Über die Berechnung der Bildkrümmung bei optischen Apparaten''], [[Annalen der Physik]], S. 563 ff., 1864
 [[Kategorie:Optik]]