Morse-Potential: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 2. November 2020, 15:52 Uhr

Das Morse-Potential (blau) im Vergleich zum quadratischen Potential des harmonischen Oszillators (grün).
Eingezeichnet sind auch die Energiestufen, die beim Harmonischen Oszillator äquidistant sind ( $ℏ ω$ ), beim Morsepotential hingegen mit zunehmender Energie immer weniger Abstand haben, bis zur Bindungsenergie $D_{e}$ , die größer als die tatsächlich benötigte Energie $D_{0}$ zur Flucht aus der Potentialmulde ist, da die Nullpunktenergie $(ν = 0)$ größer Null ist.

Das Morse-Potential $V$ ist ein Begriff aus der Molekülphysik. Der 1929 vom US-amerikanischen Physiker Philip McCord Morse^[1] vorgeschlagene Zusammenhang beschreibt den Verlauf des elektronischen Potentials eines zweiatomigen Moleküls in Abhängigkeit vom Kernbindungsabstand $R$ durch eine exponentielle Näherung:

V (R) = D_{e} \cdot {(1 - e^{- a \cdot (R - R_{e})})}^{2}

mit

$D_{e}$ die (spektroskopische) Dissoziationsenergie
$R_{e}$ der Kernabstand mit der geringsten potentiellen Energie und
$a$ eine Konstante (manchmal als „Steifigkeit des Potentials“^[2] bezeichnet)

Diese Größen sind für das betrachtete Molekül charakteristisch.

Da man üblicherweise das Potential im Unendlichen als null definiert:

V (\infty) = 0

wird das Morse-Potential häufig in der alternativen Form angegeben:

V (R) - D_{e} = D_{e} \cdot (e^{- 2 a \cdot (R - R_{e})} - 2 e^{- a \cdot (R - R_{e})})

Dadurch verschiebt sich das Nullpunktpotential um $- D_{e}$ . Diese Verschiebung ermöglicht die Definition eines cutoff-Radiuses, ab dem das Potential nicht mehr berücksichtigt wird.

Die Schrödinger-Gleichung ist mit dem Morsepotential analytisch lösbar. So können die Schwingungsenergien $E_{ν}$ berechnet werden:

E_{ν} = h ω_{0} \cdot (ν + \frac{1}{2}) - \frac{h^{2} ω_{0}^{2}}{4 D_{e}} \cdot {(ν + \frac{1}{2})}^{2}

mit

dem planckschen Wirkungsquantum $h$
der Schwingungsquantenzahl $ν$
der Frequenz $ω_{0}$ , die über die Teilchenmasse $m$ mit der Konstante $a$ des Morse-Potentials verknüpft ist

ω_{0} = \frac{a}{2 π} \sqrt{\frac{2 D_{e}}{m}}

Heutzutage wird für die Berechnung von Schwingungsenergien eher das RKR-Potential (RKR steht hierbei für Ragnar Rydberg, Oskar Klein und Lloyd Rees) oder das Lennard-Jones-Potential angewendet.

Literatur

Wolfgang Demtröder: Molekülphysik: Theoretische Grundlagen und experimentelle Methoden. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2003, ISBN 978-3-486-24974-3, S. 93–94.
Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer, Wilhelm Raith, Mit Beitragen Von H. Kleinpoppen, M. Fink, N. Risch: Bestandteile der Materie: Atome, Moleküle, Atomkerne, Elementarteilchen. Walter de Gruyter, 2003, ISBN 978-3-11-016800-6, S. 460–462.
Gerd Otter, Raimund Honecker: Atome – Moleküle – Kerne: Molekül- und Kernphysik. Vieweg +Teubner, 1996, ISBN 978-3-519-03220-5, S. 152–154.

Einzelnachweise

↑ Philip M. Morse: Diatomic Molecules According to the Wave Mechanics. II. Vibrational Levels. In: Physical Review. Band 34, Nr. 1, 1. Juni 1929, S. 57, doi:10.1103/PhysRev.34.57.
↑ Ingolf V. Hertel, C.-P. Schulz: Atome, Moleküle und Optische Physik 2: Moleküle und Photonen-Spektroskopie und Streuphysik. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-11972-9, S. 13.

[1] Philip M. Morse: Diatomic Molecules According to the Wave Mechanics. II. Vibrational Levels. In: Physical Review. Band 34, Nr. 1, 1. Juni 1929, S. 57, doi:10.1103/PhysRev.34.57.

[2] Ingolf V. Hertel, C.-P. Schulz: Atome, Moleküle und Optische Physik 2: Moleküle und Photonen-Spektroskopie und Streuphysik. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-11972-9, S. 13.

[1]

[2]

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 * <math>D_\text{e}</math> die (spektroskopische) [[Dissoziationsenergie]]
 * <math>R_\text{e}</math> der Kernabstand mit der geringsten [[Potentielle Energie|potentiellen Energie]] und
-* <math>a</math> eine Konstante (manchmal als „Steifigkeit des Potentials“<ref>{{Literatur |Autor=Ingolf V. Hertel, C.-P. Schulz |Titel=Atome, Molekule und Optische Physik 2: Molekule und Photonen-Spektroskopie und Streuphysik |Verlag=Springer |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-11972-9 |Seiten=13}}</ref> bezeichnet)
+* <math>a</math> eine Konstante (manchmal als „Steifigkeit des Potentials“<ref>{{Literatur |Autor=Ingolf V. Hertel, C.-P. Schulz |Titel=Atome, Moleküle und Optische Physik 2: Moleküle und Photonen-Spektroskopie und Streuphysik |Verlag=Springer |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-11972-9 |Seiten=13}}</ref> bezeichnet)
 Diese Größen sind für das betrachtete Molekül charakteristisch.
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 :<math>V(R) -D_\text{e} = D_\text{e} \cdot \left(e^{-2a\cdot (R - R_\text{e})} - 2e^{-a\cdot (R - R_\text{e})}\right) </math>
-Dadurch verschiebt sich das Nullpunktpotential um <math>-D_\text{e}</math>. Diese Funktion bildet das reale Potential viel besser ab.
+Dadurch verschiebt sich das Nullpunktpotential um <math>-D_\text{e}</math>. Diese Verschiebung ermöglicht die Definition eines ''cutoff''-Radiuses, ab dem das Potential nicht mehr berücksichtigt wird.
-Die [[Schrödinger-Gleichung]] ist in quadratischer Näherung ([[Taylorentwicklung]]) des Morsepotentials analytisch lösbar. So können die [[Schwingungsenergie]]n <math>E_\nu</math> berechnet werden:
+Die [[Schrödinger-Gleichung]] ist mit dem Morsepotential analytisch lösbar. So können die [[Schwingungsenergie]]n <math>E_\nu</math> berechnet werden:
-:<math>E_\nu = h \nu_0 \cdot \left(\nu + \frac{1}{2}\right) - \frac{h^2 \nu_0^2}{4 D_\text{e}} \cdot \left(\nu + \frac{1}{2}\right)^2 </math>
+:<math>E_\nu = h \omega_0 \cdot \left(\nu + \frac{1}{2}\right) - \frac{h^2 \omega_0^2}{4 D_\text{e}} \cdot \left(\nu + \frac{1}{2}\right)^2 </math>
 mit
 * dem [[Plancksches Wirkungsquantum|planckschen Wirkungsquantum]] <math>\ h </math>
-* der Schwingungs[[quantenzahl]] <math>\nu</math>. <math>\nu_0</math> hat die Einheit einer [[Frequenz]] und ist über die Teilchenmasse <math>m</math> mit der Konstante <math>a</math> des Morse-Potentials verknüpft:
+* der Schwingungs[[quantenzahl]] <math>\nu</math>
+* der [[Frequenz]] <math>\omega_0</math>, die über die Teilchenmasse <math>m</math> mit der Konstante <math>a</math> des Morse-Potentials verknüpft ist
-::<math>\nu_0 = \frac{a}{2\pi} \sqrt{\frac{2D_\text{e}}{m}}</math>
+::<math>\omega_0 = \frac{a}{2\pi} \sqrt{\frac{2D_\text{e}}{m}}</math>
-Heutzutage wird für die Berechnung von Schwingungsenergien eher das [[RKR-Potential]] (RKR steht hierbei für [[Ragnar Rydberg|Rydberg]], [[Oskar Benjamin Klein|Klein]] und [[Albert Lloyd George Rees|Rees]]) oder das [[Lennard-Jones-Potential]] angewendet.
+Heutzutage wird für die Berechnung von Schwingungsenergien eher das [[RKR-Potential]] (RKR steht hierbei für [[Ragnar Rydberg]], [[Oskar Benjamin Klein|Oskar Klein]] und [[Albert Lloyd George Rees|Lloyd Rees]]) oder das [[Lennard-Jones-Potential]] angewendet.
 == Literatur ==