Zerfallsgesetz

Exponentielle Abnahme einer Größe vom anfängliches Wert N – z. B. der Zahl radioaktiver Atomkerne in einer gegebenen Substanzprobe – mit der Zeit t.

Zerfallsgesetz ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine exponentielle zeitliche Abnahme von Größen beschreibt. In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl $N$ der zu einem Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe an. Diese Anzahl beträgt

$N(t)=N_0\cdot {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$,

wobei $N_0$ die Anzahl der am Anfang ($t=0$) vorhandenen Atomkerne und $\lambda$ die Zerfallskonstante des betreffenden Nuklids ist.

Herleitung

Betrachtet man ein radioaktives Präparat mit anfänglich $N_0$ Atomkernen und der Aktivität $A$, so gilt für die Anzahl $N$ der in der Zeit $t$ noch nicht zerfallenen Kerne:

$\begin{array}{rl}A& =-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}\text{mit }A=\lambda \cdot N\\ -\lambda \cdot N& =\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}\\ -\lambda \cdot \mathrm{d}t& =\frac{1}{N}\cdot \mathrm{d}N\\ \underset{0}{\overset{t}{\int }}-\lambda \cdot \mathrm{d}{t}^{\prime }& =\underset{N_0}{\overset{N}{\int }}\frac{1}{N^{\prime }}\cdot \mathrm{d}{N}^{\prime }\\ -\lambda t-(-\lambda \cdot 0)& =\ln (N)-\ln (N_0)\\ -\lambda t& =\ln \left(\frac{N}{N_0}\right)\\ {\mathrm{e}}^{-\lambda t}& =\frac{N}{N_0}\\ N(t)& =N_0\cdot {\mathrm{e}}^{-\lambda t}\end{array}$

Nach der Zeit $t$ sind also von $N_0$ Ausgangskernen noch $N(t)$ übrig.

Mittlere Lebensdauer

Die Zerfallskonstante $\lambda$ (Lambda) ist der Kehrwert der mittleren Lebensdauer $\tau =1/\lambda$, also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor $\mathrm{e}=2,71828\dots$ verringert hat. $\tau$ (Tau) unterscheidet sich von der Halbwertszeit $T_{1/2}$ nur um den konstanten Faktor $\ln 2$:

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }=\tau \cdot \ln 2\approx 0,693\cdot \tau$

Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:

$N(t)=N_0\cdot e^{-\frac{\ln (2)}{T_{1/2}}t}$

Weblinks

• Java-Animation des Zerfallsgesetzes