Radiale Verteilungsfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 17. Januar 2021, 16:52 Uhr

Die radiale Verteilungsfunktion (Abkürzung rdf) mit dem Formelzeichen $g_{A B} (r)$ zwischen zwei Teilchensorten A und B beschreibt die Häufigkeit, mit der man ein Teilchen der Sorte B im Abstand $r$ von einem Teilchen der Sorte A findet, bezogen auf die Häufigkeit, dass zwei Teilchen eines idealen Gases in diesem Abstand vorliegen. Die radiale Verteilungsfunktion ist somit dimensionslos.^[1]

Bestimmung

Zur Bestimmung der radialen Verteilungsfunktion zählt man wie in Abbildung 1 die Zahl der Teilchen der Sorte B (blau) in der Kugelschale mit Radius $r$ und Dicke $d r$ $(\lim_{d r \to 0})$ um ein Teilchen der Sorte A (dunkelrot). Dadurch erhält man ein Histogramm. Normiert man dieses Histogramm entsprechend, erhält man die radiale Verteilungsfunktion. Bei Molekulardynamik oder Metropolis-Importance-Sampling gilt folgende Formel: $rdf (R) = (\frac{H (R)}{num \cdot V (R)}) / ρ_{0}$ . Hierbei wird der Histogrammeintrag, welcher dem Abstand $R$ zugeordnet ist, durch das Bin-Volumen $V (R)$ , sowie die Zahl der Stichproben ( $num$ ) geteilt, wodurch man eine mittlere Dichte im Bin erhält. Diese mittlere Dichte wird anschließend mit der Dichte eines idealen Gases $ρ_{0} = N / V$ verglichen.

Definition

Im NVT-Ensemble kann die radiale Verteilungsfunktion auch aus der 2N-Punkt-Wahrscheinlichkeitsdichte ( $N$ Orte und $N$ Geschwindigkeiten)

p_{N} ({\vec{r}}^{N}, {\vec{v}}^{N}) = \frac{\exp (- β \cdot ℋ ({\vec{v}}^{N}, {\vec{r}}^{N}))}{Z_{N} (V, T)}

für eine Hamiltonfunktion $ℋ$ erhalten werden.

Durch Abintegrieren von $N - 2$ Orten und allen Geschwindigkeiten aus der 2N-Punkt-Wahrscheinlichkeitsdichte erhält man zunächst die 2-Punkt-Wahrscheinlichkeitsdichte $p_{N}^{(2)} (r_{1}, r_{2}) .$

Diese normiert man mit $\frac{N!}{(N - 2)!} \frac{1}{ρ^{2}}$ , wobei $ρ = N / V$ die mittlere Teilchenzahldichte ist:

g_{N} (r_{1}, r_{2}) = \frac{N!}{(N - 2)!} \frac{1}{ρ^{2}} \cdot p_{N}^{(2)} (r_{1}, r_{2})

Im Thermodynamischen Limes gilt:

\lim_{N \to \infty, V \to \infty, \frac{N}{V} = const} g_{N} (r_{1}, r_{2}) = g (r_{1}, r_{2})

.

In einem homogenen System ist

g (r_{1}, r_{2}) = g (r_{1} - r_{2}) = : g (r)

Paarverteilungsfunktion

Die Paarverteilungsfunktion (auch Paarkorrelationsfunktion) $g_{A B} (\vec{r})$ hängt nicht nur vom Abstand $r$ ab, sondern wegen $\vec{r} = \vec{r} (r, θ, ϕ)$ (Kugelkoordinaten) auch von den Winkeln $θ$ und $ϕ$ . Die (statische) Paarkorrelationsfunktion ist gegeben durch:

g (\vec{r}) = \frac{V}{N^{2}} ⟨ \sum_{i \neq j} δ (\vec{r} - ({\vec{R}}_{i} - {\vec{R}}_{j})) ⟩ .

Dieses Ergebnis erhält man aus der Berechnung der (kollektiven) Van-Hove-Korrelationsfunktion $G (\vec{r}, t) : = \frac{V}{N} ⟨ ρ (\vec{\tilde{r}}, \tilde{t}) ρ (\vec{\tilde{\tilde{r}}}, \tilde{\tilde{t}}) ⟩$ ^[2], indem man die Definition der Dichte $ρ (\vec{\tilde{r}}, \tilde{t}) = \sum_{i = 1}^{N} δ (\vec{\tilde{r}} - {\vec{\tilde{R}}}_{i} (t))$ einsetzt, über $\vec{\tilde{r}}$ abintegriert und anschließend bei $t = 0$ auswertet. Dabei ist zu beachten, dass $G (\vec{r}, 0) : = δ (\vec{r}) + \frac{N}{V} g (\vec{r})$

Anwendungen

Mithilfe der radialen Verteilungsfunktion kann man durch Fouriertransformation den Strukturfaktor bestimmen.

Die radiale Verteilungsfunktion spielt in der Kirkwood-Buff-Theorie eine wichtige Rolle.

In einem homogenen System^[3] gibt die Paarkorrelationsfunktion $g (\vec{r})$ das „Potential of mean force“ $w (\vec{r})$ an, welches durch die Zuweisung $g (\vec{r}) \overset{!}{=} \exp (- \frac{w (\vec{r})}{k_{B} \cdot T})$ definiert wird (mit der Boltzmann-Konstanten $k_{B}$ ).

Einzelnachweise und Anmerkungen

↑ Molecular Modelling: Principles and Applications, Pearson Education, 2001, ISBN 0582382106, Seite 310 ff, Google Books
↑ mit $\vec{r} = \vec{\tilde{r}} - \vec{\tilde{\tilde{r}}}$ , $t = \tilde{t} - \tilde{\tilde{t}}$
↑ In homogenen Systemen gilt: $g ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}) = g ({\vec{r}}_{1} + \vec{h}, {\vec{r}}_{2} + \vec{h})$ . Wählt man $\vec{h} = - {\vec{r}}_{2}$ , so erhält man $g (\vec{r}) : = g (\underset{\overset{!}{= \vec{r}}}{\underset{⏟}{{\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2}}}, \vec{0})$

[1] Molecular Modelling: Principles and Applications, Pearson Education, 2001, ISBN 0582382106, Seite 310 ff, Google Books

[2] t $\vec{r} = \vec{\tilde{r}} - \vec{\tilde{\tilde{r}}}$ , $t = \tilde{t} - \tilde{\tilde{t}}$

[3] In homogenen Systemen gilt: $g ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}) = g ({\vec{r}}_{1} + \vec{h}, {\vec{r}}_{2} + \vec{h})$ . Wählt man $\vec{h} = - {\vec{r}}_{2}$ , so erhält man $g (\vec{r}) : = g (\underset{\overset{!}{= \vec{r}}}{\underset{⏟}{{\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2}}}, \vec{0})$

[1]

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 {{Dieser Artikel| behandelt die radiale Verteilungsfunktion in der Statistischen Physik. Für die [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit|radiale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] in der Quantenmechanik, siehe dort.}}
-Die '''radiale Verteilungsfunktion''' (Abkürzung '''rdf''') mit dem Formelzeichen <math>g_{AB}(r)</math> zwischen zwei [[Teilchen]]<nowiki/>sorten&nbsp;A und&nbsp;B beschreibt die [[Häufigkeit]], mit der man ein Teilchen der Sorte&nbsp;B im Abstand <math>r</math> von einem Teilchen der Sorte&nbsp;A findet, bezogen auf die Häufigkeit, dass zwei Teilchen eines [[ideales Gas|idealen Gases]] in diesem Abstand vorliegen. Die radiale Verteilungsfunktion ist somit [[dimensionslos]].<ref>Molecular Modelling: Principles and Applications, Pearson Education, 2001, ISBN 0582382106, Seite 310 ff, [http://books.google.de/books?id=kB7jsbV-uhkC&lpg=PA310&dq=radial%20distribution%20function&hl=de&pg=PA310#v=onepage&q&f=false Google Books]</ref>
+Die '''radiale Verteilungsfunktion''' (Abkürzung '''rdf''') mit dem Formelzeichen <math>g_{AB}(r)</math> zwischen zwei [[Teilchen]]<nowiki/>sorten&nbsp;A und&nbsp;B beschreibt die [[Häufigkeit]], mit der man ein Teilchen der Sorte&nbsp;B im Abstand <math>r</math> von einem Teilchen der Sorte&nbsp;A findet, bezogen auf die Häufigkeit, dass zwei Teilchen eines [[ideales Gas|idealen Gases]] in diesem Abstand vorliegen. Die radiale Verteilungsfunktion ist somit [[dimensionslos]].<ref>Molecular Modelling: Principles and Applications, Pearson Education, 2001, ISBN 0582382106, Seite 310 ff, [https://books.google.de/books?id=kB7jsbV-uhkC&lpg=PA310&dq=radial+distribution+function&hl=de&pg=PA310#v=onepage&q&f=false Google Books]</ref>
 == Bestimmung ==
-[[Datei:Rdf schematic.jpg|thumb|Abbildung 1: Schema zur Bestimmung der rdf]]
+[[Datei:Rdf schematic.jpg|mini|Abbildung 1: Schema zur Bestimmung der rdf]]
 Zur Bestimmung der radialen Verteilungsfunktion zählt man wie in Abbildung&nbsp;1 die Zahl der Teilchen der Sorte&nbsp;B (blau) in der [[Kugelschale]] mit Radius <math>r</math> und Dicke <math>dr</math> <math>\left(\lim_{dr \to 0}\right)</math> um ein Teilchen der Sorte&nbsp;A (dunkelrot). Dadurch erhält man ein [[Histogramm]]. Normiert man dieses Histogramm entsprechend, erhält man die radiale Verteilungsfunktion. Bei Molekulardynamik oder Metropolis-Importance-Sampling gilt folgende Formel:
 <math>\text{rdf}(R)=\left(\frac{H(R)}{\text{num} \cdot V(R)}\right)/\rho_0 </math>.
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 == Definition ==
-Im [[NVT-Ensemble]] kann die radiale Verteilungsfunktion auch aus der 2N-Punkt-[[Wahrscheinlichkeitsdichte]] (N Orte und N Geschwindigkeiten)
+Im [[NVT-Ensemble]] kann die radiale Verteilungsfunktion auch aus der 2N-Punkt-[[Wahrscheinlichkeitsdichte]] (<math>N</math> Orte und <math>N</math> Geschwindigkeiten)
 :<math>p_N(\vec{r}^N,\vec{v}^N) = \frac{\exp(-\beta \cdot \mathcal{H}(\vec{v}^N,\vec{r}^N))}{Z_N(V,T)}</math>
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 == Paarverteilungsfunktion ==
-[[Datei:Lennard-Jones Radial Distribution Function.svg|thumb|Radiale Verteilungsfunktion einer [[Lennard-Jones-Flüssigkeit]]. Die radiale Verteilungsfunktion nimmt um <math>r=0</math> praktisch den Wert&nbsp;0 an, da die Teilchen mit einem [[Lennard-Jones-Potential]] wechselwirken und somit praktisch nicht überlappen können.]]
+[[Datei:Lennard-Jones Radial Distribution Function.svg|mini|Radiale Verteilungsfunktion einer [[Lennard-Jones-Flüssigkeit]]. Die radiale Verteilungsfunktion nimmt um <math>r=0</math> praktisch den Wert&nbsp;0 an, da die Teilchen mit einem [[Lennard-Jones-Potential]] wechselwirken und somit praktisch nicht überlappen können.]]
 Die '''Paarverteilungsfunktion''' (auch '''Paarkorrelationsfunktion''')  <math>g_{AB}(\vec{r})</math> hängt nicht nur vom Abstand <math>r</math> ab, sondern wegen <math>\vec r = \vec r (r, \theta, \phi)</math> ([[Kugelkoordinaten]]) auch von den Winkeln <math>\theta</math> und <math>\phi</math>. Die (statische) Paarkorrelationsfunktion ist gegeben durch:
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 Die radiale Verteilungsfunktion spielt in der [[Kirkwood-Buff-Theorie]] eine wichtige Rolle.
-In einem homogenen System<ref>In homogenen Systemen gilt: <math>g(\vec{r}_1, \vec{r}_2)=g(\vec{r}_1+\vec{h}, \vec{r}_2+\vec{h})</math>. Wählt man <math>\vec{h}=-\vec{r}_2</math>, so erhält man <math>g(\vec{r}):=g(\underbrace{\vec{r}_1-\vec{r}_2}_{\overset{!}{= \vec{r}}}, \vec{0})</math></ref> gibt die Paarkorrelationsfuktion <math>g(\vec{r})</math> das „[[Potential of mean force]]“ <math>w(\vec{r})</math> an, welches durch die Zuweisung <math>g(\vec{r}) \overset{!}{=} \exp\left(-\frac{w(\vec{r})}{k_\mathrm{B} \cdot T}\right)</math> definiert wird (mit der [[Boltzmann-Konstante]]n <math>k_\mathrm{B}</math>).
+In einem homogenen System<ref>In homogenen Systemen gilt: <math>g(\vec{r}_1, \vec{r}_2)=g(\vec{r}_1+\vec{h}, \vec{r}_2+\vec{h})</math>. Wählt man <math>\vec{h}=-\vec{r}_2</math>, so erhält man <math>g(\vec{r}):=g(\underbrace{\vec{r}_1-\vec{r}_2}_{\overset{!}{= \vec{r}}}, \vec{0})</math></ref> gibt die Paarkorrelationsfunktion <math>g(\vec{r})</math> das „[[Potential of mean force]]“ <math>w(\vec{r})</math> an, welches durch die Zuweisung <math>g(\vec{r}) \overset{!}{=} \exp\left(-\frac{w(\vec{r})}{k_\mathrm{B} \cdot T}\right)</math> definiert wird (mit der [[Boltzmann-Konstante]]n <math>k_\mathrm{B}</math>).
 == Einzelnachweise und Anmerkungen ==