Riemannsche Normalkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 29. Juni 2019, 06:16 Uhr

Riemannsche Normalkoordinaten (nach Bernhard Riemann; auch Normalkoordinaten oder Exponentialkoordinaten) bilden ein besonderes Koordinatensystem, welches in der Differentialgeometrie betrachtet wird. Hier wird der Tangentialraum an $p$ als lokale Karte der Mannigfaltigkeit in einer Umgebung von $p$ verwendet. Solche Koordinaten sind einfach zu handhaben und finden daher auch Anwendung in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Definition

Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem affinen Zusammenhang $\nabla$ und $γ$ sei eine beliebige Kurve, welche die Geodätengleichung $\nabla_{\dot{γ} (t)} \dot{γ} (t) = 0$ erfüllt. Mit $T_{p} M$ werde der Tangentialraum am Punkt $p \in M$ bezeichnet und für $ℰ_{p} \subset T_{p} M$ werde mit

\exp_{p} : ℰ_{p} \to M, V \mapsto \exp_{p} (V) : = γ_{V} (1)

die Exponentialabbildung bezeichnet. Durch eine Wahl einer Orthonormalbasis $(E_{i})_{i}$ von $T_{p} M$ erhält man einen Isomorphismus

E : ℝ^{n} \to T_{p} M,

welcher durch $E (x^{1}, \dots, x^{n}) = \sum_{i} x^{i} E_{i}$ definiert ist. Sei weiter $U \subset M$ eine offene Umgebung von $p$ , auf welcher die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus ist, und für welche $0 \in \exp_{p}^{- 1} (U) \subset T_{p} M$ gilt. Dann erhält man eine Abbildung

ϕ : U \to ℝ^{n}, U ∋ q \mapsto E^{- 1} \circ \exp_{p}^{- 1} (q) .

Da $E$ bzw. $\exp_{p}$ auf den entsprechenden Definitionsbereichen einen Isomorphismus bzw. Diffeomorphismus definiert, ist auch $ϕ$ ebenfalls diffeomorph und kann somit als Kartenabbildung angesehen werden. Die lokalen Koordinaten, welche man durch diese Karten erhält, heißen riemannsche Normalkoordinaten.

Eigenschaften

Sei $(M, g)$ eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit und $(U, (x^{i})^{i})$ lege zentrierte riemannsche Normalkoordinaten in $p \in M$ fest. Es gilt:

Für alle $V : = \sum_{i} V^{i} \partial_{i} \in T_{p} M$ hat die Geodäte $γ_{V}$ , welche in $p$ mit dem Geschwindigkeitsvektor $V$ beginnt, in riemannschen Normalkoordinaten die Darstellung

γ_{V} (t) = (t V^{1}, \dots, t V^{n})

solange

γ_{V}

in

U

bleibt.

Die Koordinaten von $p$ sind $(0, \dots, 0)$ .
Die Komponenten der riemannschen Metrik in $p$ sind $g_{i j} = δ_{i j}$ .
Die Christoffelsymbole in $p$ sind null.
Ist $\nabla$ der Levi-Civita-Zusammenhang (oder ein anderer metrischer Zusammenhang), dann gilt $\partial_{x_{k}} (g_{i j}) |_{p} = 0 .$

Physikalische Sicht

Physikalisch betrachtet beschreiben Normalkoordinaten im Raumzeitpunkt $p$ das Ruhesystem eines frei fallenden Beobachters im Punkt $p$ . Dieser Punkt wird als Ursprung des Koordinatensystems festgelegt. Normalkoordinaten eignen sich zur Beschreibung des Äquivalenzprinzips der allgemeinen Relativitätstheorie. In Normalkoordinaten sind alle Geodäten durch den Ursprung Geraden in der vierdimensionalen Raumzeit. Damit wird verständlich, was die Äquivalenz frei fallender Beobachter mit Beobachtern in Inertialsystemen bedeutet. Da nur die Geodäten durch einen einzigen Raumzeitpunkt Geraden sind, ist das Äquivalenzprinzip nur in einem einzelnen Raumzeitpunkt genau gültig. Die krummen Geodäten, die nicht durch den Ursprung laufen, werden vom Beobachter durch Gezeitenkräfte erklärt.

In Normalkoordinaten $x^{α}$ lässt sich der metrische Tensor in einem Punkt $P$ der pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit als Reihenentwicklung in $x^{α}$ angeben. Bis zur 5. Ordnung hat man somit:

g_{μ ν} (x) = η_{μ ν} + \frac{1}{3} R_{μ α_{1} α_{2} ν} x^{α_{1}} x^{α_{2}} + \frac{1}{6} R_{μ (α_{1} α_{2} | ν; | α_{3})} x^{α_{1}} x^{α_{2}} x^{α_{3}} + \frac{1}{20} [R_{μ (α_{1} α_{2} | ν; | α_{3} α_{4})} + \frac{8}{9} R_{μ (α_{1} α_{2} | δ} R^{δ}_{| α_{3} α_{4}) ν}] x^{α_{1}} x^{α_{2}} x^{α_{3}} x^{α_{4}} + 𝒪 (x^{5}),

dabei sind $η_{μ ν}$ die Komponenten der Minkowski-Metrik und $R_{μ λ ν ρ}$ die Komponenten des riemannschen Krümmungstensors, wobei die einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde. Mit zunehmendem Abstand des Punktes $x$ vom Koordinatenursprung bei $x = 0$ weicht der metrische Tensor immer mehr von der flachen Minkowski-Metrik ab, wobei der (durch ein Christoffel-Symbol gegebene) Koeffizient erster Ordnung in diesen Koordinaten gerade verschwindet, und die erste nichtverschwindende Korrektur zur flachen Minkowski-Metrik somit erst in quadratischer Ordnung auftritt und durch den Riemanntensor gegeben ist. Die Koeffizienten in den höheren Ordnungen sind durch nicht-kommutative Tensorpolynome im Riemanntensor und seinen kovarianten Ableitungen gegeben, die hier mithilfe der Semikolon-Schreibweise kompakt dargestellt werden, d. h. $R_{μ α_{1} α_{2} ν; α_{3}} : = \nabla_{α_{3}} R_{μ α_{1} α_{2} ν}$ . Über Indizes in runden Klammern wird symmetrisiert und in senkrechten Strichen eingeschlossenen Indizes, sind von der Symmetrisierung ausgeschlossen.

Literatur

John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228.

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-'''Riemannsche Normalkoordinaten''' (nach [[Bernhard Riemann]]; auch ''Normalkoordinaten'' oder ''Exponentialkoordinaten'') bilden ein besonderes [[Koordinatensystem]], welches in der [[Differentialgeometrie]] betrachtet wird. Hier wird der [[Tangentialraum]] an <math>p</math> als lokale Karte der [[Mannigfaltigkeit]] in einer [[Umgebung_(Mathematik)|Umgebung]] von <math>p</math> verwendet. Solche Koordinaten sind einfach zu handhaben und finden daher auch Anwendung in der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]].
+'''Riemannsche Normalkoordinaten''' (nach [[Bernhard Riemann]]; auch ''Normalkoordinaten'' oder ''Exponentialkoordinaten'') bilden ein besonderes [[Koordinatensystem]], welches in der [[Differentialgeometrie]] betrachtet wird. Hier wird der [[Tangentialraum]] an <math>p</math> als lokale Karte der [[Mannigfaltigkeit]] in einer [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>p</math> verwendet. Solche Koordinaten sind einfach zu handhaben und finden daher auch Anwendung in der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]].
 == Definition ==
-Sei <math>M</math> eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] mit einem [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhang]] <math>\nabla</math> und <math>\gamma</math> sei eine beliebige [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], welche die [[Geodäte|Geodätengleichung]] <math>\nabla_{\dot \gamma(t)} \dot \gamma(t) = 0</math> erfüllt. Mit <math>T_pM</math> werde der [[Tangentialraum]] am Punkt <math>p \in M</math> bezeichnet und für <math>\mathcal{E}_p \subset T_pM</math> werde mit
+Sei <math>M</math> eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] mit einem [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|affinen Zusammenhang]] <math>\nabla</math> und <math>\gamma</math> sei eine beliebige [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], welche die [[Geodäte]]ngleichung <math>\nabla_{\dot \gamma(t)} \dot \gamma(t) = 0</math> erfüllt. Mit <math>T_pM</math> werde der [[Tangentialraum]] am Punkt <math>p \in M</math> bezeichnet und für <math>\mathcal{E}_p \subset T_pM</math> werde mit
 :<math>\exp_p \colon \mathcal{E}_p \to M, \quad V \mapsto \exp_p(V) := \gamma_V(1)</math>
 die [[Exponentialabbildung]] bezeichnet. Durch eine Wahl einer [[Orthonormalbasis]] <math>(E_i)_i</math> von <math>T_pM</math> erhält man einen [[Isomorphismus]]
 :<math>E \colon \R^n \to T_pM,</math>
-welcher durch <math>\textstyle E(x^1,\ldots , x^n) = \sum_i x^iE_i</math> definiert ist. Sei weiter <math>U \subset M</math> eine [[Umgebung (Mathematik)|offene Umgebung]] von <math>p</math>, auf welcher die Exponentialabbildung ein [[Diffeomorphismus]] ist und, für welche <math>0 \in \exp_p^{-1}(U) \subset T_pM</math> gilt. Dann erhält man eine Abbildung
+welcher durch <math>\textstyle E(x^1,\ldots , x^n) = \sum_i x^iE_i</math> definiert ist. Sei weiter <math>U \subset M</math> eine [[Umgebung (Mathematik)|offene Umgebung]] von <math>p</math>, auf welcher die Exponentialabbildung ein [[Diffeomorphismus]] ist, und für welche <math>0 \in \exp_p^{-1}(U) \subset T_pM</math> gilt. Dann erhält man eine Abbildung
 :<math>\phi \colon U \to \R^n, \quad  U \ni q \mapsto E^{-1} \circ \exp_p^{-1}(q).</math>
 Da <math>E</math> bzw. <math>\exp_p</math> auf den entsprechenden Definitionsbereichen einen Isomorphismus bzw. Diffeomorphismus definiert, ist auch <math>\phi</math> ebenfalls diffeomorph und kann somit als [[Atlas (Mathematik)|Kartenabbildung]] angesehen werden. Die lokalen Koordinaten, welche man durch diese Karten erhält, heißen riemannsche Normalkoordinaten.
 == Eigenschaften ==
-Sei <math>(M,g)</math> eine [[riemannsche Mannigfaltigkeit]] und <math>(U,(x^i)^i)</math> lege zentrierte riemannsche Normalkoordinaten in <math>p \in M</math> fest. Es gilt:
+Sei <math>(M,g)</math> eine  [[riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannsche]] oder [[pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit]] und <math>(U,(x^i)^i)</math> lege zentrierte riemannsche Normalkoordinaten in <math>p \in M</math> fest. Es gilt:
 * Für alle <math>\textstyle V := \sum_i V^i \partial_i \in T_pM</math> hat die Geodäte <math>\gamma_V</math>, welche in <math>p</math> mit dem Geschwindigkeitsvektor <math>V</math> beginnt, in riemannschen Normalkoordinaten die Darstellung
 :<math style="margin-left:2em">\gamma_V(t) = (tV^1, \ldots , tV^n)</math>
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 Physikalisch betrachtet beschreiben Normalkoordinaten im Raumzeitpunkt <math>p</math> das Ruhesystem eines frei fallenden Beobachters im Punkt <math>p</math>. Dieser Punkt wird als Ursprung des Koordinatensystems festgelegt. Normalkoordinaten eignen sich zur Beschreibung des [[Äquivalenzprinzip (Physik)|Äquivalenzprinzip]]s der allgemeinen Relativitätstheorie. In Normalkoordinaten sind alle [[Geodäte]]n durch den Ursprung Geraden in der vierdimensionalen Raumzeit. Damit wird verständlich, was die Äquivalenz frei fallender Beobachter mit Beobachtern in Inertialsystemen bedeutet. Da nur die Geodäten durch einen einzigen Raumzeitpunkt Geraden sind, ist das Äquivalenzprinzip nur in einem einzelnen Raumzeitpunkt genau gültig. Die krummen Geodäten, die nicht durch den Ursprung laufen, werden vom Beobachter durch [[Gezeitenkräfte]] erklärt.
-In Normalkoordinaten lässt sich der [[Metrischer Tensor|metrische Tensor]] in einem Punkt <math>q</math> als Reihenentwicklung in den Koordinaten dieses Punktes angeben:
+In Normalkoordinaten <math>x^{\alpha}</math> lässt sich der [[Metrischer Tensor|metrische Tensor]] in einem Punkt <math>P</math> der
-:<math> g_{\mu\nu}(q) = \eta_{\mu\nu} - \frac{1}{3} R_{\mu\lambda\nu\rho} q^{\lambda} q^{\rho} + ...</math>
+pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit als Reihenentwicklung in <math>x^{\alpha}</math> angeben. Bis zur 5. Ordnung hat man somit:
-dabei sind <math>q^{\rho}</math> die Komponenten von <math>q</math> in Normalkoordinaten, <math>\eta_{\mu\nu}</math> die Komponenten der [[Minkowski-Metrik]] und <math>R_{\mu\lambda\nu\rho}</math> die Komponenten des [[Riemannscher Krümmungstensor|riemannschen Krümmungstensors]]. Es wird die [[einsteinsche Summenkonvention]] verwendet. Mit zunehmendem Abstand des Punktes <math>q</math> vom Koordinatenursprung <math>p</math> weicht der metrische Tensor immer mehr von der flachen Minkowski-Metrik ab. Dies führt zu Gezeitenkräften, die direkt vom Krümmungstensor abhängen.
+:<math> g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} + \tfrac{1}{3} R_{\mu\alpha_{1}\alpha_{2}\nu} x^{\alpha_{1}} x^{\alpha_{2}} + \tfrac{1}{6} R_{\mu ( \alpha_{1}\alpha_{2} | \nu ; | \alpha_{3} ) } x^{\alpha_{1}} x^{\alpha_{2}} x^{\alpha_{3}}
++ \tfrac{1}{20}
+\bigl[ R_{\mu ( \alpha_{1}\alpha_{2} | \nu ; | \alpha_{3} \alpha_{4} ) }
++ \tfrac{8}{9} R_{\mu ( \alpha_{1}\alpha_{2} | \delta} R^{\delta}{}_{ | \alpha_{3}\alpha_{4} ) \nu}
+\bigr] x^{\alpha_{1}} x^{\alpha_{2}} x^{\alpha_{3}} x^{\alpha_{4}}
++ \mathcal{O}(x^{5}) ,</math>
+dabei sind <math>\eta_{\mu\nu}</math> die Komponenten der [[Minkowski-Metrik]] und <math>R_{\mu\lambda\nu\rho}</math> die Komponenten des [[Riemannscher Krümmungstensor|riemannschen Krümmungstensors]], wobei die [[einsteinsche Summenkonvention]] verwendet wurde. Mit zunehmendem Abstand des Punktes <math>x</math> vom Koordinatenursprung bei <math>x=0</math> weicht der metrische Tensor immer mehr von der flachen Minkowski-Metrik ab, wobei der (durch ein [[Christoffelsymbole|Christoffel-Symbol]] gegebene) Koeffizient erster Ordnung in diesen Koordinaten gerade verschwindet, und die erste nichtverschwindende Korrektur zur flachen Minkowski-Metrik somit erst in quadratischer Ordnung auftritt und durch den Riemanntensor gegeben ist. Die Koeffizienten in den höheren Ordnungen sind durch nicht-kommutative Tensorpolynome im Riemanntensor und seinen [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|kovarianten Ableitungen]] gegeben, die hier mithilfe der Semikolon-Schreibweise kompakt dargestellt werden, d. h. <math>R_{\mu \alpha_{1}\alpha_{2} \nu ; \alpha_{3}} := \nabla_{\alpha_{3}} R_{\mu \alpha_{1}\alpha_{2} \nu} </math>. Über Indizes in runden Klammern wird symmetrisiert und in senkrechten Strichen eingeschlossenen Indizes, sind von der Symmetrisierung ausgeschlossen.
 == Literatur ==