Quelltext der Seite Synchronisation von Chaos

'''Synchronisation von Chaos''' ist ein Phänomen, bei dem sich das Verhalten zweier oder mehrerer gekoppelter, [[Dissipation|dissipativer]], [[Chaosforschung|chaotischer]] [[Dynamisches System|Systeme]] [[Synchronisation|synchronisiert]]. Aufgrund des exponentiellen Auseinanderlaufens zweier benachbarter [[Trajektorie (Physik)|Trajektorien]] in einem chaotischen System scheint eine Synchronisation zunächst erstaunlich. Trotzdem ist die Möglichkeit der Synchronisation von gekoppelten oder getriebenen [[Oszillator]]en experimentell und theoretisch relativ gut etabliert und verstanden. Es ist ein vielseitiges Phänomen mit vielen Anwendungsmöglichkeiten in unterschiedlichen Fachgebieten.<ref>{{Literatur |Autor=Alex Arenas, Albert Díaz-Guilera, [[Jürgen Kurths]], Yamir Moreno, Changsong Zhou |Titel=Synchronization in complex networks |Sammelwerk=Physics Reports |Band=469 |Nummer=3 |Datum=2008-12 |Seiten=93–153 |DOI=10.1016/j.physrep.2008.09.002}}</ref><ref>C. W. Wu: ''Synchronization in complex networks of nonlinear dynamical systems.'' World Scientific Publishing, Singapore 2007.</ref>

== Eigenschaften und Geschichte ==
Chaotische Synchronisation ist eng verwandt mit dem noch stärkeren kontrollierten Chaos. Synchronisation und kontrolliertes Chaos sind Bestandteile der [[Chaosforschung]] sowie der physikalischen [[Kybernetik]].

Die Möglichkeit der Synchronisation von chaotischen Systemen wurde 1990 durch die Arbeit von [[Louis M. Pecora]] und [[Thomas L. Carroll]] entdeckt<ref>Caroll, Pecora, ''Synchronization of Chaotic Systems,'' Phys. Rev. Lett., Band 64, 1990, S. 821–824.</ref> und dann zwei Jahre später durch [[Kevin M. Cuomo]] und [[Alan V. Oppenheim]] weiterentwickelt.<ref>Kevin M. Cuomo, Alan V. Oppenheim: ''Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications'', Phys. Rev. Lett., Band 71, 1993, S. 65.</ref> Vor dieser Entdeckung hätten viele Leute wahrscheinlich bezweifelt, dass sich zwei chaotische Systeme synchronisieren lassen, schließlich haben diese ja die Eigenschaft, sehr empfindlich gegenüber leichten Änderungen der [[Anfangsbedingung]]en zu sein.<ref>[[Steven Strogatz|Steven H. Strogatz]]: ''Nonlinear Dynamics and Chaos.'' Perseus Books Group, 2001; S. 335: {{" |Sprache=en |Text=Kevin Cuomo and Alan Oppenheim (1992, 1993) have implemented a new approach to this problem, building on Percora and Carroll’s (1990) discovery of synchronized chaos}}; S. 338: {{" |Sprache=en |Text=Before their work, many people would have doubted that two chaotic systems could be made to synchronize.}}</ref>

Je nach Art der betrachteten Systeme und Kopplungen nimmt sie unterschiedliche Formen an. Alle Formen der Synchronisation haben gemeinsam, dass sie [[Stabilitätstheorie|asymptotisch stabil]] sind. Das bedeutet, dass, sobald die synchrone Schwingung sich eingestellt hat, kleine Störungen, welche die Synchronisation zerstören würden, rasch [[Dämpfung|gedämpft]] werden, sodass die synchrone Schwingung wieder hergestellt wird. Mathematisch zeigt sich diese asymptotische Stabilität dadurch, dass der positive [[Ljapunow-Exponent]] des Gesamtsystems, bestehend aus allen Oszillatoren, negativ wird, wenn eine chaotische Synchronisation erreicht wird.

Auch außerhalb von chaotischen Systemen kann bei gekoppelten selbsterregten Oszillatoren Synchronisation auftreten. In diesem Falle spricht man von Frequenzmitnahme.<ref>{{Literatur |Autor=Dieter Guicking |Titel=Schwingungen (Kap. 5 Nichtlineare und parametrische Systeme) |Verlag=Wiley-VCH |Ort=Weinheim |Datum=2016 |ISBN=978-3-658-14136-3}}</ref>

== Formen der Synchronisation ==
=== Identische Synchronisation ===
Diese Art der Synchronisation wird auch komplette oder vollständige Synchronisation genannt. Sie kann bei identischen chaotischen Systemen stattfinden. Die Systeme nennt man komplett synchronisiert, wenn es Anfangsbedingungen gibt, bei denen die Systeme sich im weiteren Verlauf identisch entwickeln. Ein Beispiel für einen der einfachsten Fälle, sind zwei diffusiv gekoppelte Systeme. Dieser Fall lässt sich mit folgenden [[Differentialgleichung]]en beschreiben:

:<math> x^{\prime} = F(x) + \alpha(y-x)</math>
:<math> y^{\prime} = F(y) + \alpha(x-y)</math>

dabei ist <math>F</math> das [[Vektorfeld]], das die Dynamik der einzelnen chaotischen Systeme beschreibt und <math> \alpha </math> der [[Kopplungskonstante|Kopplungsparameter]]. Die Gleichung <math> x(t)=y(t) </math> definiert einen [[Invarianter Teilraum|invarianten Unterraum]] des gekoppelten Systems. Wenn dieser Unterraum lokal [[Attraktor|attraktiv]] ist, dann lässt sich identische Synchronisation beobachten.

Wenn die Kopplung der beiden Oszillatoren zu gering wird, führt das chaotische Verhalten dazu, dass nah beieinander liegende Trajektorien divergieren. Wenn der Kopplungsparameter jedoch groß genug ist, wird dieses Verhalten durch die Kopplung unterdrückt. Um den [[Kritischer Punkt (Dynamik)|kritischen Wert]] des Kopplungsparameters zu finden, bei dem diese Verhaltensänderung eintritt, betrachten wir die Differenz <math>v=x-y</math>. Wir entwickeln dieses Vektorfeld <math>v</math> in einer [[Taylorreihe]]. Wenn man annimmt, dass der Wert klein ist, lassen sich die Terme höherer Ordnung vernachlässigen. Man erhält so eine lineare Differentialgleichung, welche das Verhalten der Differenz beschreibt.

:<math> v^{\prime} = DF(x(t)) v - 2 \alpha v </math>

hierbei ist <math> DF(x(t)) </math> die [[Jacobi-Matrix]] des Vektorfelds bezüglich der Lösungsrichtung. Wenn <math> \alpha=0 </math> ist, erhalten wir

:<math> u^{\prime} = DF(x(t)) u, </math>

Die Dynamik eines chaotischen Systems liefert die Gleichung <math> \| u(t) \| \le \| u(0) \| e^{\lambda t}</math>, wobei <math> \lambda </math> der größte [[Ljapunow-Exponent]] des Systems ist. Mit dem Ansatz <math> v = u e^{-2 \alpha t} </math> gelangt man von der Gleichung für <math>v</math> zu einer Gleichung für <math>u</math>. Wir erhalten somit

:<math> \|v(t) \| \le \|u(0)\| e^{(-2 \alpha + \lambda) t}. </math>

Wenn die Stärke der Kopplung <math> \alpha > \alpha_c</math> für alle <math> \alpha </math> also über dem kritischen Punkt <math> \alpha_c = \lambda/2</math> liegt, zeigt das System vollständige Synchronisation. Die Existenz dieses kritischen Punktes hängt von den Eigenschaften der einzelnen chaotischen Systeme ab.

Mit dem obenstehenden Verfahren erhält man normalerweise den richtigen Wert der kritischen Kopplungskonstante für die Synchronisation der Systeme. In einigen Fällen, kann es jedoch vorkommen, dass die Synchronisation der Systeme auch bei Kopplungsstärken größer als dem berechneten kritischen Wert verloren geht. Dieses Verhalten kommt dadurch zustande, dass die nichtlinearen Terme, die bei der obenstehenden [[Linearisierung]] vernachlässigt wurden eine wichtige Rolle spielen können, indem sie die exponentielle Bindung für das Verhalten der Differenz <math>v</math> zerstören.<ref>{{Literatur |Autor=Peter Ashwin |Titel=Bubbling transition |Sammelwerk=Scholarpedia |Band=1 |Nummer=8 |Datum=2006 |Seiten=1725 |DOI=10.4249/scholarpedia.1725}}</ref> Es ist jedoch immer möglich mit einem gründlicheren Verfahren dieses Problem zu lösen und eine kritische Kopplungskonstante zu errechnen, sodass die Stabilität nicht mehr von den nichtlinearen Termen beeinflusst wird.<ref>{{Literatur |Autor=Tiago Pereira |Titel=Stability of Synchronized Motion in Complex Networks |Sammelwerk=Adaptation and Self-Organizing Systems |Datum=2011-12-10 |arXiv=1112.2297}}</ref>

=== Generalisierte Synchronisation ===
Diese Art der Synchronisation wird üblicherweise beobachtet, wenn die gekoppelten chaotischen Oszillatoren unterschiedlich sind, es ist aber auch schon bei identischen Oszillatoren beobachtet worden. Nach einer anfänglichen Übergangszeit hängen die Zustände der beiden Systeme dann über eine Funktion <math>\Phi</math> zusammen.

:<math>[y_1(t),\dotsc,y_n(t)]=\Phi[x_1(t),\dotsc,x_n(t)]</math>

Die Vektoren <math>[y_1(t),\dotsc,y_n(t)]</math> und <math>[x_1(t),\dotsc,x_n(t)]</math> beschreiben dabei die jeweiligen Zustände des Systems. Die Gleichung sagt dann aus, dass der Zustand eines Systems sich vollständig durch den Zustand des anderen bestimmen lässt. Wenn die Systeme wechselseitig gekoppelt sind, muss die Funktion <math>\Phi</math> [[Umkehrfunktion|invertierbar]] sein. Wenn es sich lediglich um ein Antriebs-Reaktions-Verhältnis handelt, muss dies nicht der Fall sein. Die identische Synchronisation ist ein Spezialfall der generalisierten Synchronisation. Bei ihr ist die Funktion <math>\Phi</math> die [[Identitätsmatrix|Identität]].

=== Phasensynchronisation ===
Eine Kopplung, bei der lediglich die [[Phasenverschiebung]] der gekoppelten chaotischen Oszillatoren konstant bleibt, während die [[Amplitude]]n voneinander unabhängig sind, nennt man Phasensynchronisation. Eine solche Synchronisation ist auch bei nicht identischen Systemen möglich. Um eine [[Phase (Schwingung)|Phase]] für die Schwingung definieren zu können, muss man zunächst ähnlich einer [[Poincaré-Abbildung]] eine [[Hyperebene]] im Phasenraum finden, auf der die Projektion der Bewegung des Oszillators sich als Rotation um ein wohldefiniertes Zentrum darstellen lässt. In diesem Fall wird die Phase durch den Winkel <math>\phi(t)</math> definiert, das sich durch das Segment ergibt, wenn man die Position des Oszillators und die Projektion derselben auf die Hyperebene jeweils mit dem Zentrum verbindet.

Für den Fall, dass sich ein solches Zentrum nicht finden lässt, kann man eine Phase durch andere Techniken der Signalverarbeitung, wie einer [[Hilbert-Transformation]] definieren. In jedem Fall lässt sich dann die Phasensynchronisation durch die Relation

:<math>n\phi_1(t)=m\phi_2(t)</math>

ausdrücken, wobei <math>\phi_1</math> und <math>\phi_2</math> jeweils die Phasen des Systems und <math>m</math> und <math>n</math> ganze Zahlen sind.

=== Vor- und Nachlaufsynchronisation ===
In diesem Fall sind die Zustände der chaotischen Systeme durch ein Zeitintervall <math>\tau</math> verbunden.

:<math>[y_1(t),\dotsc,y_n(t)]=[x_1(t+\tau),\dotsc,x_n(t+\tau)]</math>

Das bedeutet, ein Oszillator folgt zeitversetzt der Bewegung des anderen beziehungsweise läuft dem anderen voraus. Ein solches Vorauslaufen lässt sich in einem System [[Retardierte Differentialgleichung|retardierter Differentialgleichungen]] beobachten, die in einer Antriebs-Reaktions-Konfiguration gekoppelt sind. Nachlaufsynchronisation kann bei phasensynchron gekoppelten Oszillatoren vorkommen, wenn die Stärke der Kopplung erhöht wird.

=== Amplituden-Einhüllendensynchronisation ===
Diese schwache Form der Synchronisation kann zwischen zwei schwach gekoppelten chaotischen Oszillatoren auftreten. In diesem Fall gibt es weder eine Übereinstimmung der Amplituden, noch der Phasen wie bei phasensynchronisierten Oszillatoren. Stattdessen entwickelt sich eine periodische [[Einhüllende]]nfunktion, welche in beiden Systemen die gleiche Frequenz besitzt. Ähnlich wie bei [[Gekoppelte Pendel|gekoppelten Pendeln]] hat die Frequenz die gleiche Größenordnung wie der Unterschied der mittleren Schwingungsfrequenzen der beiden chaotischen Oszillatoren. Häufig geht eine solche Amplituden-Einhüllendensynchronisation einer Phasensynchronisation voraus, was heißen soll, dass wenn die Stärke der Kopplung erhöht wird, sich eine Phasensynchronisation einstellt.

== Beispiel der Synchronisation bei einem Lorenz-Attraktor ==
Die Synchronisation von chaotischen Systemen lässt sich zum verschlüsselten Übertragen von Nachrichten nutzen. Eine Möglichkeit sind chaotische [[Laser]]<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Kinel, Ido Kanter |Titel=Secure Communication with Chaos Synchronisation |Sammelwerk=Handbook of Chaos Control |Verlag=Wiley-VCH |Datum=2008 |ISBN=978-3-527-40605-0 |Seiten=303 |Sprache=en |Zitat=Communication with synchronized chaotic lasers has been demonstrated by Van Wiggeren and Roy in 1998}}</ref> oder [[elektrische Schaltung]]en. Dazu lässt sich beispielsweise eine elektrische Umsetzung des [[Lorenz-Attraktor]]s konstruieren.<ref>{{Literatur |Autor=Kevin M. Cuomo, Alan V. Oppenheim |Titel=Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=71 |Nummer=1 |Datum=1993-07-05 |Seiten=65–68 |DOI=10.1103/PhysRevLett.71.65}}</ref> Eine Verschlüsselungsmethode ist das ''chaos masking'', bei der das eigentliche Signal mit einer viel stärkeren chaotischen Schwingung überlagert wird, sodass ein Außenstehender nur ein Rauschen empfängt. Mit einer entsprechenden Empfangsschaltung lässt sich jedoch die chaotische Schwingung rekonstruieren und somit vom Signal subtrahieren. Der Empfänger muss dazu einen chaotischen Oszillator ähnlich dem Sender besitzen, der sich mit diesem synchronisieren lässt. Als Beispiel nehmen wir einen Lorenz-Attraktor, der sich durch folgende Differentialgleichungen beschreiben lässt:

:<math>\begin{align}
\dot{u} &= \sigma(v-u)\\
\dot{v} &= ru-v-20uw\\
\dot{w} &= 5uv-bw\\
\end{align}</math>

Die Synchronisation erfolgt mit einer entsprechenden Empfängerschaltung, die durch das Signal <math>u(t)</math> betrieben wird:

:<math>\begin{align}
\dot{u_r} &= \sigma(v_r-u(t))\\
\dot{v_r} &= ru(t)-v_r-20u(t)w_r\\
\dot{w_r} &= 5u(t)v_r-bw_r\\
\end{align}</math>

Wir definieren den Zustand des Senders <math>\vec{d}=(u,v,w)</math>, den des Empfängers <math>\vec{r}=(u_r,v_r,w_r)</math> und den Fehler <math>\vec{e}=\vec{d}-\vec{r}</math>. Es lässt sich nun zeigen, dass bei <math>t\to\infty</math> der Fehler gegen Null strebt. Dazu subtrahieren wir zunächst die Gleichungen des Empfängers von den Gleichungen des Senders und erhalten

:<math>\begin{align}
\dot{e_1} &= \sigma(e_2-e_1)\\
\dot{e_2} &= -e_2-20u(t)e_3\\
\dot{e_3} &= 5u(t)e_2-be_3\\
\end{align}</math>

Das resultierende System ist zwar linear in <math>\vec e</math>, hat aber eine Zeitabhängigkeit vom chaotischen Empfangssignal <math>u(t)</math>. Wir konstruieren nun eine [[Stabilitätstheorie|Ljapunow-Funktion]], sodass sich die Abhängigkeit herauskürzt. Die Addition der zweiten und der dritten Gleichung, wobei die zweite Gleichung mit <math>e_2</math> und die dritte mit <math>4e_3</math> multipliziert wird, resultiert in:

:<math>e_2\dot{e}_2+4e_3\dot{e}_3 = -e_2^2-20u(t)e_2e_3+20u(t)e_2e_3-4be_3^2</math>,
also
:<math>\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(e_2^2+4e_3^2\right) = -e_2^2-4be_3^2.</math>

Die Ljapunow-Funktion definieren wir daher als

:<math>E(\vec e,t)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sigma}e_1^2+e_2^2+4e_3^2\right)</math>.

<math>E</math> ist positiv definit und es lässt sich zeigen,<ref>Beweis in Steven H. Strogatz: ''Nonlinear Dynamics and Chaos''. Perseus Books Group, 2001, S. 340</ref> dass <math>\dot E\leq 0</math>, sodass <math>E</math> eine Ljapunow-Funktion ist, und daher <math>\vec e=0</math> ein global stabiler Fixpunkt ist, sowie dass <math>\vec e(t)</math> exponentiell abnimmt.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=A. Pikovsky, M. Rosemblum, [[Jürgen Kurths|J. Kurths]]
   |Hrsg=Cambridge University Press
   |Titel=Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences
   |Band=12
   |Auflage=1
   |Datum=2001
   |ISBN=0-521-53352-X
   |Seiten=432
   |Sprache=en}}
* {{Literatur
   |Autor=J. M. González-Miranda
   |Titel=Synchronization and Control of Chaos. An introduction for scientists and engineers
   |Verlag=Imperial College Press
   |Datum=2004
   |ISBN=1-86094-488-4
   |Seiten=224
   |Sprache=en}}
* {{Literatur
   |Autor=A. L. Fradkov
   |Titel=Cybernetical physics: from control of chaos to quantum control
   |Verlag=Springer
   |Datum=2007
   |Kommentar=Vorläufige russische Version: St.Petersburg, Nauka, 2003}}
* {{Literatur
   |Autor=E. Schöll, H.G.Schuster
   |Titel=Handbook of Chaos Control
   |Verlag=Wiley-VCH
   |Datum=2008
   |ISBN=978-3-527-40605-0}}
* L. M. Pecora,  W. L. Ditto: ''Mastering Chaos'', Scientific American, Band 269, August 1993, S. 78–84
*{{Literatur
|Autor=Dieter Guicking|Titel=Schwingungen (Kap. 5 Nichtlineare und parametrische Systeme)|Verlag=Wiley-VCH|Ort=Weinheim|Jahr=2016|ISBN=978-3-658-14136-3}}

== Weblinks ==
* [http://www.scholarpedia.org/article/Synchronization Scholarpedia-Artikel über Synchronisation]

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]]
[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]