Quelltext der Seite Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

Die '''Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung''' (mit englischer Transkription im Deutschen gelegentlich auch Landau-''Lifshitz''-Gilbert-Gleichung genannt) beschreibt in der [[Elektrodynamik]] das Verhalten der [[Magnetisches Moment|magnetischen Momente]] eines ferromagnetischen Materials in einem effektiven magnetischen Feld <math>\textbf{H}_\mathrm{eff}</math>. Benannt ist sie nach [[Lew Dawidowitsch Landau]], [[Jewgeni Michailowitsch Lifschitz]]<ref>Landau, Lifschitz, ''Theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies,'' Phys. Z. Sowj., Band 8, 1935, S. 153</ref> und T. L. Gilbert. Es handelt sich um eine [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnliche Differentialgleichung]], aus der allerdings durch Berücksichtigung der nichtlokalen Natur dieses Effektivfeldes bezüglich der Wechselwirkung der Magnetisierungsdipole eine komplizierte Integro-Differentialgleichung  entsteht.

== Landau-Lifschitz-Gleichung ==
Die ursprüngliche Landau-Lifschitz-Gleichung wurde im Jahr 1935 aufgestellt. Sie beschreibt sowohl die [[Präzession]] der Magnetisierung <math>\textbf{M}</math> <ref>Zur Bedeutung des Vektors <math>\textbf M\,:</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp; Es gilt, dass <math>\mu_0\textbf{M}\mathrm dV</math> das magnetische Moment des  infinitesimal-kleinen Volumens d''V'' ist. Dabei ist <math>\mu_0</math> die magnetische Vakuumpermeabilität. </ref> als auch die auftretende [[Dissipation]]. <math>\mathrm M_S</math> ist der konstante Betrag des Vektors <math>\textbf M\,,</math> die sogenannte „Sättigungsmagnetisierung“.

:<math>\frac{\partial \textbf{M}}{\partial t} = - \gamma \textbf{M} \times \textbf{H}_\mathrm{eff} - \frac{\lambda}{\mathrm M_S} \textbf{M} \times (\textbf{M} \times \textbf{H}_\mathrm{eff})</math>

mit dem [[gyromagnetisches Verhältnis|gyromagnetischen Verhältnis]] <math>\gamma</math> und dem phänomenologischen Dämpfungsparameter <math>\lambda</math>. Jedoch versagt diese Formel für den Fall großer Dämpfung (<math>\lambda \rightarrow \infty</math>). 

== Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung ==
1955 ersetzte Gilbert den Dämpfungsterm und führte eine Art zähflüssige Kraft ein. Es ergab sich die sog. Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung:

:<math>\frac{\partial \textbf{M}}{\partial t} = - \frac{\gamma}{1+\alpha ^2} \textbf{M} \times \textbf{H}_\mathrm{eff} - \frac{\gamma \alpha}{(1+\alpha^2)\mathrm M_S} \textbf{M} \times (\textbf{M} \times \textbf{H}_\mathrm{eff})\,,</math>

die sich in äquivalenter Form auch einfacher schreiben lässt (exakt!):

:<math>\frac{\partial \textbf m}{\partial t}\, =\, -\gamma_G \,\textbf m\times \textbf{H}_\mathrm{eff}\, +\, g\,\textbf m\times\frac{\partial \textbf m}{\partial t}\,,</math>

mit <math>\gamma_G=\frac{\gamma}{1+\alpha ^2}</math>,  dem Gilbert-Dämpfungsparameter <math>g=|\gamma_G |\alpha </math> und der Identifikation <math>\textbf m=\frac{\textbf M}{\mathrm M_S}</math> (Einheitsvektor). Man kann zeigen, dass die zuletzt resultierende Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung mit der im vorigen Unterkapitel zitierten originalen Landau-Lifschitz-Gleichung identisch ist, wenn man <math>g|\gamma |</math> mit ''&lambda;'' identifiziert; der entscheidende Unterschied ist aber, außer der größeren  formalen Einfachheit, dass in "fits" jetzt nicht <math>\gamma </math> und <math>\lambda\,,</math> sondern <math>\gamma_G</math> und <math>\alpha</math> benutzt werden.  Formal wird nur <math>\,\gamma\textbf{H}_\mathrm{eff}</math> durch <math>\gamma_G\textbf{H}_\mathrm{eff}-{g}\,\frac{\partial \textbf m}{\partial t}</math> ersetzt; der letzte Term enthält alle Dämpfungsterme. 

Im Gegensatz zur Landau-Lifschitz-Gleichung richtet sich das magnetische Moment nun asymptotisch für <math>t\to\infty</math> in Richtung des Feldes aus, wobei sich nun wie in der [[Mechanik]] beim „gedämpften Oszillator“&nbsp;<ref>Zum ''gedämpften harmonischen Oszillator'': Siehe alle Lehrbücher der ''theoretischen Mechanik''</ref>&nbsp; die Dämpfung auch auf die Präzessionsfrequenz auswirkt. Für den Fall kleiner Dämpfung geht die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung in die Landau-Lifschitz-Gleichung über.

== Das „effektive Feld“ ==
Landau und Lifschitz haben 1935 noch angegeben, wie der Vektor <math>\textbf H_\mathrm{eff}</math> von allen vier beteiligten Wechselwirkungen (der „magnetischen Austauschenergie“, der „Dipol-Dipol-Energie“, der „Anisotropieenergie“ und der „Zeeman-Energie“) abhängt. Auf Einzelheiten kann hier nicht eingegangen werden.

== Spinwellen u.&nbsp;ä. ==
[[Bild:FerromagneticMagnon.svg|miniatur|hochkant=2|Eine sog. Spinwelle in einem ferromagnetischen Festkörper]]
Mit den Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichungen können u.a. auch  [[Dynamik (Physik)|dynamische Zustände]] (z.&nbsp;B. [[Magnon|Spinwellen]], wie im nebenstehenden Bild) realistisch behandelt werden, wobei  alle relevanten Geometrien (beispielsweise auch Dünnschicht-Geometrien) und Wechselwirkungen (u.a. auch die sehr langreichweitige magnetische [[Dipol-Dipol-Wechselwirkung]]) voll berücksichtigt werden können, wenn man bei den [[Computersimulation]]en hohen Speicherbedarf  und entsprechende Rechenzeiten in Kauf nimmt. <ref>J. Miltat, G. Albuquerque, A. Thiaville: ''An Introduction to Micromagnetics in the Dynamic Regime.'' In: ''Topics in Applied Physics'' 83: 1–34, Springer-Verlag Berlin, 2002 ([http://lib.semi.ac.cn:8080/tsh/dzzy/ebooks/full/fn073.pdf  online]; PDF; 10,7&nbsp;MB)</ref>

Die [[Dispersionsrelation]]en in diesen Systemen – das sind die Beziehungen zwischen [[Frequenz]] und [[Wellenlänge]] der [[angeregter Zustand|Anregungszustände]] – sind wegen der hohen Zahl der charakteristischen Längen des Systems und der beteiligten Winkel sehr [[Komplexität|komplex]].

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

[[Kategorie:Magnetismus]]
[[Kategorie:Gewöhnliche Differentialgleichung]]