In Mathematik und Physik ist ein $ n $-dimensionaler De-Sitter-Raum (nach Willem de Sitter), notiert $ dS_{n} $, die lorentzsche Mannigfaltigkeit analog zu einer n-Sphäre (mit ihrer kanonischen riemannschen Mannigfaltigkeit); er ist maximal symmetrisch, hat eine konstante positive Krümmung und ist einfach zusammenhängend für $ n\geq 3 $.
Im vierdimensionalen Minkowski-Raum (3 Raumdimensionen plus die Zeit) bzw. in der Raumzeit ist der De-Sitter-Raum das Analogon zu einer Kugel im gewöhnlichen euklidischen Raum.
In der Sprache der allgemeinen Relativitätstheorie ist der De-Sitter-Raum die maximal symmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit einer positiven (repulsiven) kosmologischen Konstanten $ \Lambda $ (entsprechend einer positiven Vakuumenergiedichte und negativem Druck) und damit ein kosmologisches Modell für das physikalische Universum; siehe De-Sitter-Modell.
Der De-Sitter-Raum wurde 1917 von Willem de Sitter entdeckt und gleichzeitig – unabhängig von de Sitter – von Tullio Levi-Civita.
Der De-Sitter-Raum kann definiert werden als Untermannigfaltigkeit eines Minkowski-Raumes einer höheren Dimension.
Betrachtet man also den Minkowski-Raum $ \mathbb {R} ^{1,n} $ mit dem üblichen metrischen Tensor
Dann ist der De-Sitter-Raum die Untermannigfaltigkeit, die durch das einschalige Hyperboloid
beschrieben wird, wobei $ \alpha $ eine positive Konstante ist mit der Dimension einer Länge. Der metrische Tensor des De-Sitter-Raumes ist derjenige, der vom metrischen Tensor des Minkowski-Raumes erzeugt wird. Man kann überprüfen, dass die erzeugte Metrik nicht-entartet ist und eine Signatur der Form (1,k,0) hat. (Wenn in obiger Definition $ \alpha ^{2} $ durch $ -\alpha ^{2} $ ersetzt wird, erhält man ein zweischaliges Hyperboloid. In diesem Fall ist die erzeugte Metrik positiv definit, und jede der beiden Schalen ist eine Kopie einer hyperbolischen n-Geometrie.)
Der De-Sitter-Raum kann auch definiert werden als Quotient $ {\tfrac {\mathrm {O} (1,n)}{\mathrm {O} (1,n-1)}} $ zweier Lorentz-Gruppen, was zeigt, dass er ein nicht-Riemannscher symmetrischer Raum ist.
Topologisch ist der De-Sitter-Raum von der Form $ \mathbb {R} \times S^{n-1} $.
Die Isometriegruppe des De-Sitter-Raumes ist die Lorentz-Gruppe $ \mathrm {O} (1,n) $. Daher hat die Metrik $ {\tfrac {n(n+1)}{2}} $ unabhängige Killing-Vektoren und ist maximal symmetrisch. Jeder maximal symmetrische Raum hat konstante Krümmung. Der Riemannsche Krümmungstensor $ R_{\rho \sigma \mu \nu } $ des De-Sitter-Raumes ist
Der De-Sitter-Raum ist eine Einstein-Mannigfaltigkeit, da der Ricci-Tensor $ R_{\mu \nu } $ proportional zur Metrik $ g_{\mu \nu } $ ist:
Das heißt, der De-Sitter-Raum ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante
Das Krümmungsskalar dieses Raumes ist
Für n = 4 ergibt sich Λ = 3/α2 und R = 4Λ = 12/α2.
Für den De-Sitter-Raum lassen sich statische Koordinaten (Zeit $ t $, Radius $ r $, …) wie folgt einführen:
wobei $ z_{i} $ die Standard-Einbettung der Sphäre $ S^{n-2} $ in Rn−1 darstellt.
In diesen Koordinaten nimmt die De-Sitter-Metrik folgende Form an:
Zu beachten: es gibt einen kosmologischen Horizont bei $ r=\alpha $.
Ansatz:
wobei $ r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}. $
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes in $ (t,y_{i}) $-Koordinaten:
mit $ dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2} $ der flachen Metrik auf $ y_{i} $.
Ansatz:
wobei die $ z_{i} $ eine $ S^{n-1} $-Sphäre beschreiben.
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:
Wird die Zeit-Variable $ t $ geändert in die konforme Zeit $ \eta $:
so erhält man eine Metrik, die konform äquivalent zum statischen Einstein-Universum ist:
Der De-Sitter-Raum und das Einstein-Universum haben deshalb das gleiche Penrose-Diagramm.
Ansatz:
wobei $ \sum _{i}z_{i}^{2}=1 $ eine Sphäre $ S^{n-2} $ formt mit der Standard-Metrik $ \sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}. $
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes
mit $ dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi \cdot d\Omega _{n-2}^{2} $ der Metrik eines hyperbolischen euklidischen Raumes.
Ansatz:
wobei die $ z_{i} $ eine $ S^{n-3} $-Sphäre beschreiben.
Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:
wobei
die Metrik eines $ n-1 $-dimensionalen De-Sitter-Raumes in offenen Slicing-Koordinaten ist, mit Krümmungsradius $ \alpha $.
Die hyperbolische Metrik lautet:
Dies ist die analytische Fortsetzung der offenen Slicing-Koordinaten
und außerdem der Tausch von $ x_{0} $ und $ x_{2} $, weil sie ihre zeit- bzw. raumartigen Eigenschaften verändern.
Einige Autoren schlugen im Rahmen von Theorien der Quantengravitation anstelle des Minkowski-Raumes den De-Sitter-Raum als grundlegenden Raum für die spezielle Relativitätstheorie vor und nannten dies De-Sitter-Relativität.[1]