Rotating Wave Approximation: Unterschied zwischen den Versionen

Rotating Wave Approximation: Unterschied zwischen den Versionen

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: <math>\Delta\omega:=\left|\omega_a-\omega_L\right|\ll\left|\omega_a+\omega_L\right|\approx2\omega_\mathrm{a}</math>
: <math>\Delta\omega:=\left|\omega_a-\omega_L\right|\ll\left|\omega_a+\omega_L\right|\approx2\omega_\mathrm{a}</math>


Der Name der Näherung stammt vom Übergang in ein mit der Lichtfrequenz <math>\omega_L</math> rotierendes Bezugssystem, in dem der [[Bloch-Kugel|Blochvektor]] des mit dem Licht wechselwirkenden Atoms im Falle exakter Resonanz nicht mehr [[Präzession|präzessiert]].<ref>{{Literatur | Autor=Mark Fox | Titel=Quantum Optics – An Introduction | Auflage=1 | Verlag=Oxford University Press| Ort=New York | Jahr=2006 | ISBN=9780198566724 | Seiten=189}}</ref> Dann können die Einflüsse der schnell rotierenden Terme vernachlässigt werden.<ref>{{Literatur | Autor=Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg | Titel=Atom Photon Interaction – Basic Processes and Applications | Auflage=1 | Verlag=Wiley-VCH| Ort=Weinheim | Jahr=2004 | ISBN=9780471293361 | Seiten=361}}</ref>
Der Name der Näherung stammt vom Übergang in ein mit der Lichtfrequenz <math>\omega_L</math> rotierendes Bezugssystem, in dem der [[Bloch-Kugel|Blochvektor]] des mit dem Licht wechselwirkenden Atoms im Falle exakter Resonanz nicht mehr [[Präzession|präzediert]].<ref>{{Literatur | Autor=Mark Fox | Titel=Quantum Optics – An Introduction | Auflage=1 | Verlag=Oxford University Press| Ort=New York | Jahr=2006 | ISBN=9780198566724 | Seiten=189}}</ref> Dann können die Einflüsse der schnell rotierenden Terme vernachlässigt werden.<ref>{{Literatur | Autor=Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg | Titel=Atom Photon Interaction – Basic Processes and Applications | Auflage=1 | Verlag=Wiley-VCH| Ort=Weinheim | Jahr=2004 | ISBN=9780471293361 | Seiten=361}}</ref>


== Herleitung ==
== Herleitung ==
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: <math>H_0=\hbar\omega_a\sigma^+\sigma^-+\hbar\omega_La^{\dagger}a</math>
: <math>H_0=\hbar\omega_a\sigma^+\sigma^-+\hbar\omega_La^{\dagger}a</math>


Hierbei ist <math>\hbar\omega_a</math> die Energiedifferenz zwischen dem Grundzustand <math>|g\rang</math> und dem [[Angeregter Zustand|angeregten Zustand]] <math>|e\rang</math> des Atoms. <math>\hbar\omega_L</math> ist die Energie des Photons. <math>\sigma^+=|e\rang\lang g|</math> und <math>\sigma^-=|g\rang\lang e|</math> sind die [[Erzeugungs- und Vernichtungsoperator|Auf- und Absteigeoperatoren]] des Atoms und <math>a^{\dagger}</math> und <math>a</math> die [[Erzeugungs- und Vernichtungsoperator#Bosonische_Kletteroperatoren|bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren]] für Photonen.
Hierbei ist <math>\hbar\omega_a</math> die Energiedifferenz zwischen dem Grundzustand <math>|g\rang</math> und dem [[Angeregter Zustand|angeregten Zustand]] <math>|e\rang</math> des Atoms. <math>\hbar\omega_L</math> ist die Energie des Photons. <math>\sigma^+=|e\rang\lang g|</math> und <math>\sigma^-=|g\rang\lang e|</math> sind die [[Erzeugungs- und Vernichtungsoperator|Auf- und Absteigeoperatoren]] des Atoms und <math>a^{\dagger}</math> und <math>a</math> die [[Erzeugungs- und Vernichtungsoperator#Bosonische Kletteroperatoren|bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren]] für Photonen.


=== Beschreibung der Wechselwirkung ===
=== Beschreibung der Wechselwirkung ===
Zusätzlich zu <math>H_0</math> gibt ein Hamiltonian <math>H_{int}</math> Aufschluss über die Wechselwirkungen zwischen Photon und Atom. Dieser setzt sich aus dem Dipol-Operator <math>\vec{d}</math> und dem E-Feld-Vektor <math>\vec{E}</math> mit der Polarisation <math>\vec{\epsilon}</math> zusammen.
Zusätzlich zu <math>H_0</math> gibt ein Hamiltonian <math>H_\mathrm{int}</math> Aufschluss über die Wechselwirkungen zwischen Photon und Atom. Dieser setzt sich aus dem Dipol-Operator <math>\vec{d}</math> und dem elektrischen Feldvektor <math>\vec{E}</math> mit der Polarisation <math>\vec{\epsilon}</math> zusammen.


:<math>\vec{E}=\vec{\epsilon}\underbrace{\sqrt{\frac{\hbar\omega_L}{\epsilon_0V}}}_{E_0}\left(a^{\dagger}+a\right)</math>
:<math>\vec{E}=\vec{\epsilon}\underbrace{\sqrt{\frac{\hbar\omega_L}{\epsilon_0V}}}_{E_0}\left(a^{\dagger}+a\right)</math>


Unter der Annahme, dass die Polarisation parallel zum Dipolmoment ist, lässt sich der Wechselwirkungs-Hamiltonian schreiben als:
Damit lässt sich der Wechselwirkungs-Hamiltonian schreiben als:


: <math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
H_{int}&=-\vec{d}\cdot\vec{E}\\
H_\mathrm{int}&=-\vec{d}\cdot\vec{E}\\
&=-dE_0\left(\sigma^{+}+\sigma^{-}\right)\cdot\left(a^{\dagger}+a \right)\\
&=-dE_0\left(\sigma^{+}+\sigma^{-}\right)\cdot\left(a^{\dagger}+a \right)\\
&=-dE_0\left(\sigma^+a^{\dagger}+\sigma^+a+\sigma^-a^{\dagger}+\sigma^-a\right)
&=-dE_0\left(\sigma^+a^{\dagger}+\sigma^+a+\sigma^-a^{\dagger}+\sigma^-a\right)
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Aufgrund von [[Parität (Physik)|Parität]]süberlegungen wurde hier angenommen, dass <math>\langle e|\vec{d}|e\rangle=0=\langle g|\vec{d}|g\rangle</math> und dass <math>d=\langle e|\vec{d}|g\rangle</math> reellwertig ist.<ref>{{Literatur | Autor=Christopher C. Gerry | Titel=Introductory Quantum Optics | Auflage=3 | Verlag=Cambridge University Press| Ort=Cambridge/New York | Jahr=2008 | ISBN=9780521527354 | Seiten=90–93}}</ref>
Aufgrund von [[Parität (Physik)|Parität]]süberlegungen wurde hier angenommen, dass <math>\langle e|\vec{d}|e\rangle=0=\langle g|\vec{d}|g\rangle</math>. Das Übergangs-Dipolmoment <math>\vec{d}_{eg}=\langle e|\vec{d}|g\rangle</math> ist reellwertig angenommen, und <math>d = \vec{d}_{eg} \cdot \vec{\epsilon}</math> ist seine Projektion auf den Polarisationsvektor.<ref>{{Literatur | Autor=Christopher C. Gerry | Titel=Introductory Quantum Optics | Auflage=3 | Verlag=Cambridge University Press| Ort=Cambridge/New York | Jahr=2008 | ISBN=9780521527354 | Seiten=90–93}}</ref>


Die Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Operators <math>A</math> wird im [[Wechselwirkungsbild]] durch den unitären [[Zeitentwicklungsoperator]] <math>U</math> bestimmt:
Die Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Operators <math>A</math> wird im [[Wechselwirkungsbild]] durch den [[Zeitentwicklungsoperator]] <math>U_0(t) = \exp[- {\rm i} H_0 t / \hbar]</math> des “freien” Systems (ohne Wechselwirkung) bestimmt:


: <math>A(t)=U^{\dagger}A(t=0)U</math>
: <math>A(t)=U_0^{\dagger}(t)A(0)U(t)</math>


Mit der [[Baker-Campbell-Hausdorff-Formel]] lässt sich dann folgende Zeitentwicklung der Auf-, Absteiger und Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zeigen:<ref>{{Literatur | Autor=Christopher C. Gerry | Titel=Introductory Quantum Optics | Auflage=3 | Verlag=Cambridge University Press| Ort=Cambridge/New York | Jahr=2008 | ISBN=9780521527354 | Seiten=13,92}}</ref>
Mit der [[Baker-Campbell-Hausdorff-Formel]] ergibt sich dann folgende Zeitentwicklung der Auf-, Absteiger und Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:<ref>{{Literatur | Autor=Christopher C. Gerry | Titel=Introductory Quantum Optics | Auflage=3 | Verlag=Cambridge University Press| Ort=Cambridge/New York | Jahr=2008 | ISBN=9780521527354 | Seiten=13,92}}</ref>


:<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
a(t)&=a(0)e^{-i\omega_Lt}\\
a(t)&=a(0) \,e^{-i\omega_Lt}\\
a^{\dagger}(t)&=a^{\dagger}(0)e^{+i\omega_Lt}\\
a^{\dagger}(t)&=a^{\dagger}(0) \,e^{+i\omega_Lt}\\
\sigma^-(t)&=\sigma^-(0)e^{-i\omega_at}\\
\sigma^-(t)&=\sigma^-(0) \,e^{-i\omega_at}\\
\sigma^+(t)&=\sigma^+(0)e^{+i\omega_at}
\sigma^+(t)&=\sigma^+(0) \,e^{+i\omega_at}
\end{align}
\end{align}
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Diese zeitabhängigen Operatoren setzt man in obige Gleichung für den Wechselwirkungs-Hamiltonian ein (die Nullen in Klammern werden zur Übersichtlichkeit nicht mehr explizit geschrieben).
Diese zeitabhängigen Operatoren setzt man in obige Gleichung für den Wechselwirkungs-Hamiltonian ein (die Nullen in Klammern werden zur Übersichtlichkeit nicht mehr explizit geschrieben).
: <math>
: <math>
H_{int}\approx-dE\left(\sigma^+a^{\dagger}e^{i\left(\omega_a+\omega_L\right)t}+\sigma^+ae^{i\left(\omega_a-\omega_L\right)t}+\sigma^-a^{\dagger}e^{i\left(-\omega_a+\omega_L\right)t}+\sigma^-ae^{-i\left(\omega_a+\omega_L\right)t}\right)
H_\mathrm{int}(t) = -dE_0\left( \sigma^+ a^{\dagger} \,e^{i\left(\omega_a+\omega_L\right)t} + \sigma^+ a \,e^{i\left(\omega_a-\omega_L\right)t} + \sigma^- a^{\dagger} \,e^{i\left(-\omega_a+\omega_L\right)t} + \sigma^- a \,e^{-i\left(\omega_a+\omega_L\right)t}\right)
</math>
</math>


In der letzten Formel wird ein [[|Ungefährzeichen]] (<math>\approx</math>) verwendet, weil die Exponenten aus der Zeitentwicklung der einzelnen Operatoren ohne Wechselwirkung im Allgemeinen nicht einfach addiert werden können. Die exakte Lösung kann mit der bereits erwähnten Baker-Campbell-Hausdorff-Formel hergeleitet werden. Diese erste Näherung ist nur für eine schwache Kopplung ([[Störungstheorie (Quantenmechanik)|Störung]]) zwischen Atom und elektromagnetischem Feld gültig. Man vernachlässigt dabei Effekte wie eine mögliche Entartung der Niveaus, die von einem starken Feld aufgehoben werden könnte.
Mit dieser Wechselwirkung wird nun die Zeitentwicklung des Zustands berechnet ([[Schrödingergleichung|zeitabhängige Schrödingergleichung]])
: <math>
{\rm i} \hbar \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}t } | \psi(t) \rangle = H_\mathrm{int}(t) | \psi(t) \rangle
</math>
Für eine schwache Kopplung ([[Störungstheorie (Quantenmechanik)|Störung]]) zwischen Atom und elektromagnetischem Feld darf man annehmen, dass sich der Zustand <math>\psi(t)</math> als Funktion der Zeit langsam ändert (auf der Zeitskala <math>1/\omega_a</math>). Man vernachlässigt dabei Effekte in starken Feldern, die etwa eine mögliche Entartung von Niveaus aufheben könnten.


Die Stärke der Kopplung lässt sich mit einer Kopplungskonstanten <math>g</math> ausdrücken, die deutlich kleiner als die Frequenz des elektromagnetischen Feldes <math>\omega_L</math> sein muss, damit die Näherung sinnvoll bleibt.
Die Stärke der Kopplung lässt sich mit einer Kopplungskonstanten <math>g</math> ausdrücken, die deutlich kleiner als die Frequenz des elektromagnetischen Feldes <math>\omega_L</math> sein muss, damit die Näherung sinnvoll bleibt.


: <math>g=-\frac{\left|\vec{d}\vec{E}\right|}{\hbar}\ll \omega_L</math>
: <math>g=-\frac{d E_0}{\hbar}\,, \qquad |g| \ll \omega_L</math>
 
=== Durchführen der Näherung ===


=== Durchführen der ''Rotating Wave Approximation'' ===
[[Datei:TLSRWA.gif|mini|Bahn des Bloch-Vektors zwischen Grund- und angeregtem Zustand eines Atoms mit (blau) und ohne (grün) die Näherung, wobei das EM feld in Resonanz mit der Übergangsfrequenz des Atoms ist.]]
 
Die ''Rotating Wave Approximation'' besteht nun darin, die schnell oszillierenden Terme in <math>H_\mathrm{int}(t)</math> mit <math>\pm\left(\omega_a+\omega_L\right)t</math> im Exponenten der <math>e</math>-Funktion zu vernachlässigen:
 
: <math>
H_\mathrm{int}(t) \approx -dE_0\left( \sigma^+ a \,e^{i\left(\omega_a-\omega_L\right)t} + \sigma^- a^{\dagger} \,e^{i\left(-\omega_a+\omega_L\right)t} \right)
</math>


Die ''Rotating Wave Approximation'' besteht nun darin, die schnell oszillierenden Terme mit <math>\left(\omega_a+\omega_L\right)</math> im Exponenten der <math>e</math>-Funktion zu vernachlässigen. Hierzu argumentiert man, dass die schnell oszillierenden Terme sich vergleichsweise schnell zu <math>0</math> wegmitteln, sodass sie auf Zeitskalen der relevanten Prozesse wie atomarer Übergänge oder Zerfällen von Zuständen nicht von Bedeutung sind. In der letzten Gleichung des vorherigen Abschnitts sind die vernachlässigten Terme der erste und letzte Summand, die einer Anregung des Atoms bei gleichzeitiger Erzeugung eines Photons bzw. dem Relaxieren des Atoms in den Grundzustand bei gleichzeitiger Absorption eines Photons entsprechen. Diese Prozesse spielen nur auf sehr kurzen Zeitskalen eine Rolle.
Hierzu argumentiert man, dass diese Oszillationen sich vergleichsweise schnell zu <math>0</math> wegmitteln, sodass sie auf Zeitskalen der relevanten Prozesse wie atomarer Übergänge oder Zerfällen von Zuständen nicht von Bedeutung sind. In der letzten Gleichung des vorherigen Abschnitts enthalten die vernachlässigten Terme (erster und letzter Summand) die Operatorprodukte <math>\sigma^+a^{\dagger}</math> und <math>\sigma^-a</math>, die einer Anregung des Atoms bei gleichzeitiger Erzeugung eines Photons bzw. dem Relaxieren des Atoms in den Grundzustand bei gleichzeitiger Absorption eines Photons entsprechen. Diese Prozesse spielen nur auf sehr kurzen Zeitskalen eine Rolle. Es bleiben in der ''Rotating Wave Approximation'' nur diejenigen Prozesse übrig, in denen ein Atom durch Absorption eines Photons angeregt wird (<math>\sigma^+ a</math>) oder ein Photon emittiert und dabei in den energetische tieferen Zustand springt (<math>\sigma^- a^{\dagger}</math>).


Bezieht man die schnell rotierenden Terme in einer genaueren Rechnung mit ein, erhält man Korrekturen, die beispielsweise den [[Bloch-Siegert-Effekt]] erklären.<ref>{{Literatur | Autor=Leslie Allen, J. H. Eberly | Titel=Optical Resonance and Two-Level-Atoms | Auflage=1 | Verlag=Wiley-Interscience| Ort=New York | Jahr=1975 | ISBN=0471023272 | Seiten=47ff}}</ref>
Bezieht man die schnell rotierenden Terme in einer genaueren Rechnung mit ein, erhält man Korrekturen, die beispielsweise die Frequenz einer Spinresonanz verschieben ([[Bloch-Siegert-Effekt]]).<ref>{{Literatur | Autor=Leslie Allen, J. H. Eberly | Titel=Optical Resonance and Two-Level-Atoms | Auflage=1 | Verlag=Wiley-Interscience| Ort=New York | Jahr=1975 | ISBN=0471023272 | Seiten=47ff}}</ref>


== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==

Aktuelle Version vom 18. Juni 2021, 10:50 Uhr

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Dieser Artikel wurde den Mitarbeitern der Redaktion Physik zur Qualitätssicherung aufgetragen. Wenn du dich mit dem Thema auskennst, bist du herzlich eingeladen, dich an der Prüfung und möglichen Verbesserung des Artikels zu beteiligen. Der Meinungsaustausch darüber findet derzeit nicht auf der Artikeldiskussionsseite, sondern auf der Qualitätssicherungs-Seite der Physik statt.

Der englische Begriff {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:149: attempt to index field 'data' (a nil value) (RWA, dt. Drehwellennäherung) bezeichnet eine Näherungsmethode der Quantenoptik. In dieser Näherung werden die Einflüsse schnell rotierender Terme im Hamilton-Operator eines Systems vernachlässigt. Schnell bedeutet in diesem Zusammenhang schnell im Vergleich zu den Lebensdauern atomarer Zustände. Die Drehwellennäherung wird in zahlreichen Modellen angewandt, wie z. B. im Jaynes-Cummings-Modell, in Bewegungsgleichungen der Dichtematrix beim optischen Pumpen, zum Lösen des Rabi-Problems oder bei magnetischen Resonanzphänomenen.

Sie ist gerechtfertigt, solange das System einer nur vergleichsweise schwachen Störung unterliegt. Außerdem muss die Frequenz des Lichtfeldes $ \omega _{L} $ nahe der atomaren Resonanzfrequenz $ \omega _{a} $ liegen bzw. die Verstimmung klein gegen die atomare Resonanzfrequenz sein:

$ \Delta \omega :=\left|\omega _{a}-\omega _{L}\right|\ll \left|\omega _{a}+\omega _{L}\right|\approx 2\omega _{\mathrm {a} } $

Der Name der Näherung stammt vom Übergang in ein mit der Lichtfrequenz $ \omega _{L} $ rotierendes Bezugssystem, in dem der Blochvektor des mit dem Licht wechselwirkenden Atoms im Falle exakter Resonanz nicht mehr präzediert.[1] Dann können die Einflüsse der schnell rotierenden Terme vernachlässigt werden.[2]

Herleitung

Dieser Abschnitt behandelt die Wechselwirkungen zwischen einem Atom, das als Zwei-Niveau-System angesehen wird, und einem elektromagnetischen Feld. Sowohl das Atom als auch das Photon werden in zweiter Quantisierung beschrieben.

Hamiltonian ohne Wechselwirkung

Der Hamilton-Operator des Gesamtsystems beinhaltet einen Anteil $ H_{0} $, der das Atom und die Photonen jeweils einzeln und ohne Wechselwirkung beschreibt:

$ H_{0}=\hbar \omega _{a}\sigma ^{+}\sigma ^{-}+\hbar \omega _{L}a^{\dagger }a $

Hierbei ist $ \hbar \omega _{a} $ die Energiedifferenz zwischen dem Grundzustand $ |g\rangle $ und dem angeregten Zustand $ |e\rangle $ des Atoms. $ \hbar \omega _{L} $ ist die Energie des Photons. $ \sigma ^{+}=|e\rangle \langle g| $ und $ \sigma ^{-}=|g\rangle \langle e| $ sind die Auf- und Absteigeoperatoren des Atoms und $ a^{\dagger } $ und $ a $ die bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Photonen.

Beschreibung der Wechselwirkung

Zusätzlich zu $ H_{0} $ gibt ein Hamiltonian $ H_{\mathrm {int} } $ Aufschluss über die Wechselwirkungen zwischen Photon und Atom. Dieser setzt sich aus dem Dipol-Operator $ {\vec {d}} $ und dem elektrischen Feldvektor $ {\vec {E}} $ mit der Polarisation $ {\vec {\epsilon }} $ zusammen.

$ {\vec {E}}={\vec {\epsilon }}\underbrace {\sqrt {\frac {\hbar \omega _{L}}{\epsilon _{0}V}}} _{E_{0}}\left(a^{\dagger }+a\right) $

Damit lässt sich der Wechselwirkungs-Hamiltonian schreiben als:

$ {\begin{aligned}H_{\mathrm {int} }&=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}\\&=-dE_{0}\left(\sigma ^{+}+\sigma ^{-}\right)\cdot \left(a^{\dagger }+a\right)\\&=-dE_{0}\left(\sigma ^{+}a^{\dagger }+\sigma ^{+}a+\sigma ^{-}a^{\dagger }+\sigma ^{-}a\right)\end{aligned}} $

Aufgrund von Paritätsüberlegungen wurde hier angenommen, dass $ \langle e|{\vec {d}}|e\rangle =0=\langle g|{\vec {d}}|g\rangle $. Das Übergangs-Dipolmoment $ {\vec {d}}_{eg}=\langle e|{\vec {d}}|g\rangle $ ist reellwertig angenommen, und $ d={\vec {d}}_{eg}\cdot {\vec {\epsilon }} $ ist seine Projektion auf den Polarisationsvektor.[3]

Die Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Operators $ A $ wird im Wechselwirkungsbild durch den Zeitentwicklungsoperator $ U_{0}(t)=\exp[-{\rm {i}}H_{0}t/\hbar ] $ des “freien” Systems (ohne Wechselwirkung) bestimmt:

$ A(t)=U_{0}^{\dagger }(t)A(0)U(t) $

Mit der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel ergibt sich dann folgende Zeitentwicklung der Auf-, Absteiger und Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:[4]

$ {\begin{aligned}a(t)&=a(0)\,e^{-i\omega _{L}t}\\a^{\dagger }(t)&=a^{\dagger }(0)\,e^{+i\omega _{L}t}\\\sigma ^{-}(t)&=\sigma ^{-}(0)\,e^{-i\omega _{a}t}\\\sigma ^{+}(t)&=\sigma ^{+}(0)\,e^{+i\omega _{a}t}\end{aligned}} $

Diese zeitabhängigen Operatoren setzt man in obige Gleichung für den Wechselwirkungs-Hamiltonian ein (die Nullen in Klammern werden zur Übersichtlichkeit nicht mehr explizit geschrieben).

$ H_{\mathrm {int} }(t)=-dE_{0}\left(\sigma ^{+}a^{\dagger }\,e^{i\left(\omega _{a}+\omega _{L}\right)t}+\sigma ^{+}a\,e^{i\left(\omega _{a}-\omega _{L}\right)t}+\sigma ^{-}a^{\dagger }\,e^{i\left(-\omega _{a}+\omega _{L}\right)t}+\sigma ^{-}a\,e^{-i\left(\omega _{a}+\omega _{L}\right)t}\right) $

Mit dieser Wechselwirkung wird nun die Zeitentwicklung des Zustands berechnet (zeitabhängige Schrödingergleichung)

$ {\rm {i}}\hbar {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}|\psi (t)\rangle =H_{\mathrm {int} }(t)|\psi (t)\rangle $

Für eine schwache Kopplung (Störung) zwischen Atom und elektromagnetischem Feld darf man annehmen, dass sich der Zustand $ \psi (t) $ als Funktion der Zeit langsam ändert (auf der Zeitskala $ 1/\omega _{a} $). Man vernachlässigt dabei Effekte in starken Feldern, die etwa eine mögliche Entartung von Niveaus aufheben könnten.

Die Stärke der Kopplung lässt sich mit einer Kopplungskonstanten $ g $ ausdrücken, die deutlich kleiner als die Frequenz des elektromagnetischen Feldes $ \omega _{L} $ sein muss, damit die Näherung sinnvoll bleibt.

$ g=-{\frac {dE_{0}}{\hbar }}\,,\qquad |g|\ll \omega _{L} $

Durchführen der Näherung

Bahn des Bloch-Vektors zwischen Grund- und angeregtem Zustand eines Atoms mit (blau) und ohne (grün) die Näherung, wobei das EM feld in Resonanz mit der Übergangsfrequenz des Atoms ist.

Die Rotating Wave Approximation besteht nun darin, die schnell oszillierenden Terme in $ H_{\mathrm {int} }(t) $ mit $ \pm \left(\omega _{a}+\omega _{L}\right)t $ im Exponenten der $ e $-Funktion zu vernachlässigen:

$ H_{\mathrm {int} }(t)\approx -dE_{0}\left(\sigma ^{+}a\,e^{i\left(\omega _{a}-\omega _{L}\right)t}+\sigma ^{-}a^{\dagger }\,e^{i\left(-\omega _{a}+\omega _{L}\right)t}\right) $

Hierzu argumentiert man, dass diese Oszillationen sich vergleichsweise schnell zu $ 0 $ wegmitteln, sodass sie auf Zeitskalen der relevanten Prozesse wie atomarer Übergänge oder Zerfällen von Zuständen nicht von Bedeutung sind. In der letzten Gleichung des vorherigen Abschnitts enthalten die vernachlässigten Terme (erster und letzter Summand) die Operatorprodukte $ \sigma ^{+}a^{\dagger } $ und $ \sigma ^{-}a $, die einer Anregung des Atoms bei gleichzeitiger Erzeugung eines Photons bzw. dem Relaxieren des Atoms in den Grundzustand bei gleichzeitiger Absorption eines Photons entsprechen. Diese Prozesse spielen nur auf sehr kurzen Zeitskalen eine Rolle. Es bleiben in der Rotating Wave Approximation nur diejenigen Prozesse übrig, in denen ein Atom durch Absorption eines Photons angeregt wird ($ \sigma ^{+}a $) oder ein Photon emittiert und dabei in den energetische tieferen Zustand springt ($ \sigma ^{-}a^{\dagger } $).

Bezieht man die schnell rotierenden Terme in einer genaueren Rechnung mit ein, erhält man Korrekturen, die beispielsweise die Frequenz einer Spinresonanz verschieben (Bloch-Siegert-Effekt).[5]

Einzelnachweise

  1. Mark Fox: Quantum Optics – An Introduction. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 2006, ISBN 978-0-19-856672-4, S. 189.
  2. Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg: Atom Photon Interaction – Basic Processes and Applications. 1. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2004, ISBN 978-0-471-29336-1, S. 361.
  3. Christopher C. Gerry: Introductory Quantum Optics. 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge/New York 2008, ISBN 978-0-521-52735-4, S. 90–93.
  4. Christopher C. Gerry: Introductory Quantum Optics. 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge/New York 2008, ISBN 978-0-521-52735-4, S. 13,92.
  5. Leslie Allen, J. H. Eberly: Optical Resonance and Two-Level-Atoms. 1. Auflage. Wiley-Interscience, New York 1975, ISBN 0-471-02327-2, S. 47 ff.