Schwingungsmembran: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 8. Dezember 2021, 22:05 Uhr

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Membran eines elektrodynamischen Lautsprechers

Stehende Welle einer rechteckigen eingespannten Membran

Steinitz Querstrommikrofon (1927)

Eine Schwingungsmembran oder Oszillationsmembran ist eine Membran, die dazu bestimmt ist, Schwingungen auszuführen.

Die Membran kann zur Erzeugung, Verstärkung, Detektierung oder Messung insbesondere von Schall dienen. Die Membran-Eigenschwingungen setzen eine Rückstellkraft voraus, die auch durch eine Randeinspannung gegeben sein kann.

Eigenresonanzen (Partialschwingungen) sind oft unerwünscht und werden daher teilweise gedämpft. Bei den zugehörigen charakteristischen Frequenzen können die Amplituden besonders hohe Werte erreichen und führen zu linearen Verzerrungen des Frequenzganges.

Bedeutung

Schwingende Membranen spielen unter anderem in der Akustik eine Rolle:

Schallwandler
- zur Umwandlung mechanischer Schallenergie in elektrische Energie (Mikrofon)
- Wandlung elektrischer Energie in Schallenergie (Lautsprecher, Kopfhörer)
im Ohr (Trommelfell)
bei vielen Musikinstrumenten, z. B. Membranophon, Trommel, Pauke, Banjo, Becken, im weiteren Sinne auch bei der Zimbel.

Arten

Die Membran kann in einem starren Rahmen eingespannt sein wie bei einer Trommel oder ihr Rand kann frei schwingen.

Beide Varianten unterscheiden sich bezüglich möglicher Moden und Frequenzen.

Die Schwingungsanregung kann auf unterschiedliche Weise erfolgen, etwa

durch Auftreffen von Luftschall, z. B. beim Trommelfell,
durch Aufschlagen mit einem Schlägel, etwa bei Membranophonen
elektrisch, zum Beispiel durch elektrostatische Kraft oder durch elektrodynamischen Antrieb.

Im Bruststück des Stethoskops ist eine Membran eingebaut.

Mathematische Beschreibung

Schwingung der ungedämpften Kreis-Membran

Die Schwingung der ungedämpften Kreismembran lässt sich mit der d'Alembert'schen Schwingungsgleichung in Polarkoordinaten beschreiben. Dabei gilt, dass die Membran beim Radius $$ a $$ eingespannt und somit die Auslenkung $$ u $$ gleich Null ist. Im Sinne der Theorie der partiellen Differentialgleichungen entspricht dies der homogenen Dirichlet-Randbedingung. Damit lässt sich diese Problemstellung wie folgt beschreiben:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0\quad {\text{mit}}\quad u(a,\varphi ,t)=0\quad {\text{und}}\quad u(r,0,t)=u(r,2\pi ,t)

Die Herangehensweise an ein solches Problem ist in der Regel ein Separationsansatz, welcher besagt, dass sich die gesuchte Funktion $u(r,\varphi ,t)$ aus separaten Funktionen $f(r),g(\varphi ),h(t)$ zusammensetzt. Da die Membran am Rand eingespannt ist, sind in erster Linie nur bestimmte Schwingungsformen möglich, die Eigenschwingungen (auch Moden genannt). Durch Superposition dieser Eigenschwingungen lassen sich jedoch auch andere Schwingungsformen darstellen.

Die Lösung setzt sich im Falle von Zylinder- bzw. Kreis-Geometrien zusammen einerseits aus komplexen Exponentialfunktionen (bzw. trigonometrischen Funktionen) und andererseits aus den Zylinderfunktionen (auch Bessel-Funktionen genannt). Im Folgenden ist eine mögliche Darstellung der Lösung abgebildet:

u(r,\varphi ,t)=\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }\left({\underline {A}}_{\nu ,n}\cdot J_{\nu }(k_{n}\cdot r)\cdot \operatorname {e} ^{\operatorname {j} (\omega _{n}t-\nu \varphi )}\right)\quad {\text{mit}}\quad k_{n}={\frac {\omega _{n}}{c}}\quad {\text{und}}\quad J_{\nu }\left({\frac {\omega _{n}}{c}}\cdot a\right){\stackrel {!}{=}}0

Hierbei ist das Nullstellenproblem die Bedingung dafür, dass eine Schwingungsform mit der Kreisfrequenz $\omega _{n}$ eine mögliche Lösung ist. Gesucht sind also die Nullstellen der verwendeten Besselfunktion.

Schwingung der ungedämpften Rechteck-Membran

Zweidimensionale stehende Welle in einem rechteckigen Rahmen bei größtmöglicher Wellenlänge

Bei der Beschreibung einer ungedämpften Rechteck-Membran verwendet man die d'Alembert'schen Schwingungsgleichung in kartesischen Koordinaten. Als Randbedingung gilt auch hier die homogene Dirichlet-Randbedingung. Somit sieht die Differentialgleichung wie folgt aus:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0\quad {\text{mit}}\quad u(a,y,t)=u(x,b,t)=u(0,y,t)=u(x,0,t)=0

In diesem Fall besteht die Lösung ausschließlich aus Trigonometrischen Funktionen, welche wie folgt als Reihe darstellbar ist:

u(x,y,t)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\left(A_{n,m}\cdot \sin \left(k_{n}x\right)\cdot \sin(k_{m}y)\cdot \cos(\omega _{nm}t-\phi )\right)\quad {\text{mit}}\quad k_{n}={\frac {\pi n}{a}}\quad k_{m}={\frac {\pi m}{b}}\quad \omega _{nm}=c\cdot {\sqrt {k_{n}^{2}+k_{m}^{2}}}

Die Teil-Funktionen für unterschiedliche n,m bezeichnet man als Moden bzw. Eigenschwingungen. Durch Festlegung der jeweiligen Amplitudenwerte $A_{n,m}$ können alle möglichen Schwingungsformen dargestellt werden, welche z. B. nicht sinusförmig sind.

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-[[Datei:Lautsprechermembran.jpg|mini|Membran eines [[Subwoofer]]s]]
+[[Datei:Lautsprechermembran.jpg|mini|Membran eines elektrodynamischen [[Lautsprecher]]s]]
-[[Datei:Two dim standing wave.gif|mini|Zweidimensionale stehende Oberwelle in einem rechteckigen Rahmen]]
+[[Datei:Two dim standing wave.gif|mini|[[Stehende Welle]] einer rechteckigen eingespannten Membran]]
-[[Datei:Membrane exampleA.gif|mini|links|Zweidimensionale [[stehende Welle]] in einem rechteckigen Rahmen bei größtmöglicher Wellenlänge]]
 [[Datei:Steinitz Querstrommikrofon 1927.jpg|mini|Steinitz Querstrommikrofon (1927)]]
-Eine '''Schwingungsmembran''' oder Oszillationsmembrane (''Membran'', von mittelhochdeutsch ''Membrane'' „(Stück) [[Pergament]]“; von [[latein]]isch membrana „Häutchen“ bzw. ''membrum'' „Körperglied“), ist eine dünne Haut oder Folie, die [[Schwingung]]en erzeugen oder modifizieren soll.
+Eine '''Schwingungsmembran''' oder '''Oszillationsmembran''' ist eine [[Membran]], die dazu bestimmt ist, [[Schwingung]]en auszuführen.
-Jede Membran besitzt mehrere [[Eigenresonanz]]en ([[Partialschwingung]]en), die aber häufig stark [[Dämpfung|gedämpft]] sind. In deren Umgebung können die Amplituden besonders hohe Werte erreichen. Die Membran kann in einem festen Rahmen eingespannt sein wie bei einer Trommel, ihr Rand kann aber auch frei schwingen wie bei einem [[Lautsprecher]]. Beide Varianten unterscheiden sich sehr deutlich bezüglich möglicher [[Moden]] und [[Frequenz]]en.
+Die Membran kann zur Erzeugung, Verstärkung, Detektierung oder Messung insbesondere von [[Schall]] dienen. Die Membran-Eigenschwingungen setzen eine Rückstellkraft voraus, die auch durch eine Randeinspannung gegeben sein kann.
-Sie kann zur Erzeugung, Verstärkung, Aufnahme, Dämpfung oder Messung der Schwingung dienen. Die Anregung zu Membranschwingungen setzt voraus, dass eine andauernd einwirkende äußere Kraft vorhanden ist, die durch die Zugspannung durch eine Randeinspannung gegeben ist. Die Schwingungsanregung kann auf sehr unterschiedliche Weise erfolgen, etwa durch Auftreffen von Luftschall, z.&nbsp;B. Trommelfell, durch Aufschlagen mit einem Schlegel, etwa bei Membranophonen, oder auf elektrischem Wege, etwa durch Anregung einer Lautsprechermembran.
+[[Eigenresonanz]]en ([[Partialschwingung]]en) sind oft unerwünscht und werden daher teilweise [[Dämpfung|gedämpft]]. Bei den zugehörigen charakteristischen Frequenzen können die [[Amplitude]]n besonders hohe Werte erreichen und führen zu linearen Verzerrungen des [[Frequenzgang]]es.
-Solche schwingenden Membranen spielen in der [[Akustik]] auf zahlreichen Gebieten eine außerordentlich wichtige Rolle, so vorwiegend bei den [[Schallwandler|elektroakustischen Wandlern]], wo sie zur Umwandlung von mechanischer [[Schallenergie]] in [[elektrische Energie]] dienen, z.&nbsp;B. beim [[Mikrofon]], oder umgekehrt zur Wandlung von elektrischer Energie in Schallenergie, z.&nbsp;B. beim Lautsprecher oder beim [[Kopfhörer]], beim [[Auditive Wahrnehmung|Hörvorgang]], sowie bei bestimmten Musikinstrumenten, z.&nbsp;B. den [[Membranophon]]en. Im Bruststück des [[Stethoskop]]s ist ebenfalls eine Membran eingebaut.
+== Bedeutung ==
+Schwingende Membranen spielen unter anderem in der [[Akustik]] eine Rolle:
+* [[Schallwandler]]
+** zur Umwandlung mechanischer [[Schallenergie]] in [[elektrische Energie]] ([[Mikrofon]])
+** Wandlung elektrischer Energie in Schallenergie ([[Lautsprecher]], [[Kopfhörer]])
+* im [[Ohr]] ([[Trommelfell]])
+* bei vielen Musikinstrumenten, z.&nbsp;B. [[Membranophon]], [[Trommel]], [[Pauke]], [[Banjo]], [[Becken (Musikinstrument)|Becken]], im weiteren Sinne auch bei der [[Zimbel]].
-Technische Schwingungsmembranen finden beispielsweise in [[Druckmessgerät#Plattenfeder-Manometer|Druckmessgeräten]], [[Membranpumpe]]n und [[Musikinstrument]]en Verwendung. Ein Beispiel für eine biologische Schwingungsmembran ist das [[Trommelfell]].
+== Arten ==
+Die Membran kann in einem starren Rahmen eingespannt sein wie bei einer Trommel oder ihr Rand kann frei schwingen.
-== Mathematische Beschreibung von Membran-Schwingungen ==
+Beide Varianten unterscheiden sich bezüglich möglicher [[Moden]] und [[Frequenz]]en.
-=== Schwingung der ungedämpften Kreis-Membrane ===
+Die Schwingungsanregung kann auf unterschiedliche Weise erfolgen, etwa
-Die Schwingung der ungedämpften Kreismembrane lässt sich mit der [[Wellengleichung|d'Alembert'schen Schwingungsgleichung]] in [[Polarkoordinaten]] beschreiben. Dabei gilt, dass die Membrane beim Radius <math>a</math> eingespannt und somit die Auslenkung <math>u</math> gleich Null ist. Im Sinne der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] entspricht dies der homogenen [[Dirichlet-Randbedingung]]. Damit lässt sich diese Problemstellung wie folgt beschreiben:
+* durch Auftreffen von [[Luftschall]], z.&nbsp;B. beim [[Trommelfell]],
+* durch Aufschlagen mit einem [[Schlägel (Musik)|Schlägel]], etwa bei [[Membranophon]]en
+* elektrisch, zum Beispiel durch [[elektrostatisch]]e Kraft oder durch [[Dynamischer Lautsprecher|elektrodynamisch]]en Antrieb.
-:<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u }{\partial t^2} = 0 \quad \text{mit} \quad u(a,\varphi, t) = 0 \quad \text{und} \quad u(r, 0, t) = u(r, 2\pi, t) </math>
+Im Bruststück des [[Stethoskop]]s ist eine Membran eingebaut.<!--warum???-->
-Die Herangehensweise an ein solches Problem ist in der Regel ein [[Separationsansatz]] welcher besagt, dass sich die gesuchte Funktion <math>u(r,\varphi, t) </math> aus separaten Funktionen <math>f(r), g(\varphi), h(t) </math> zusammensetzt. Aufgrund dessen, dass die Membrane am Rand eingespannt ist, sind in erster Linie nur bestimmte Schwingungsformen, die sogenannten [[Moden|Eigenschwingungen]] (auch Moden), möglich. Durch Superposition dieser Eigenschwingungen lassen sich jedoch wiederum auch andere Schwingungsformen darstellen. Die Lösung setzt sich im Falle von Zylinder- bzw. Kreis-Geometrien einerseits aus [[Komplexe Exponentialfunktion|komplexen Exponentialfunktionen]] (bzw. [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]]) und andererseits aus den sogenannten Zylinderfunktionen (auch [[Besselsche Differentialgleichung|Bessel-Funktionen]]) zusammen. Im Folgenden ist nun eine mögliche Darstellung der Lösung abgebildet.
+== Mathematische Beschreibung ==
+=== Schwingung der ungedämpften Kreis-Membran ===
+Die Schwingung der ungedämpften Kreismembran lässt sich mit der [[Wellengleichung|d'Alembert'schen Schwingungsgleichung]] in [[Polarkoordinaten]] beschreiben. Dabei gilt, dass die Membran beim Radius <math>a</math> eingespannt und somit die [[Auslenkung]] <math>u</math> gleich Null ist. Im Sinne der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] entspricht dies der homogenen [[Dirichlet-Randbedingung]]. Damit lässt sich diese Problemstellung wie folgt beschreiben:
-:<math>u(r,\varphi, t) = \sum_{\nu = - \infty}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty}\left( \underline{A}_{\nu, n} \cdot J_\nu(k_n \cdot r) \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{j}(\omega_n t - \nu \varphi)}\right) \quad \text{mit} \quad k_n = \frac{\omega_n}{c} \quad \text{und} \quad J_\nu\left(\frac{\omega_n}{c}\cdot a\right) \stackrel{!}{=}  0 </math>
+:<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u }{\partial t^2} = 0 \quad \text{mit} \quad u(a,\varphi, t) = 0 \quad \text{und} \quad u(r, 0, t) = u(r, 2\pi, t)</math>
-Hierbei ist das Nullstellenproblem die Bedingung dafür, dass eine Schwingungsform mit der Kreisfrequenz <math>\omega_n </math> eine mögliche Lösung ist. Gesucht sind also die Nullstellen der verwendeten Besselfunktion.
+Die Herangehensweise an ein solches Problem ist in der Regel ein [[Separationsansatz]], welcher besagt, dass sich die gesuchte Funktion <math>u(r, \varphi, t)</math> aus separaten Funktionen <math>f(r), g(\varphi), h(t)</math> zusammensetzt. Da die Membran am Rand eingespannt ist, sind in erster Linie nur bestimmte Schwingungsformen möglich, die [[Moden|Eigenschwingungen]] (auch Moden genannt). Durch [[Superposition (Mathematik)|Superposition]] dieser Eigenschwingungen lassen sich jedoch auch andere Schwingungsformen darstellen.
-=== Schwingung der ungedämpften Rechteck-Membrane ===
+Die Lösung setzt sich im Falle von Zylinder- bzw. Kreis-Geometrien zusammen einerseits aus [[Komplexe Exponentialfunktion|komplexen Exponentialfunktionen]] (bzw. [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]]) und andererseits aus den Zylinderfunktionen (auch [[Besselsche Differentialgleichung|Bessel-Funktionen]] genannt). Im Folgenden ist eine mögliche Darstellung der Lösung abgebildet:
-Bei der Beschreibung einer ungedämpften Rechteck-Membrane verwendet man die [[Wellengleichung|d'Alembert'schen Schwingungsgleichung]] in [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]]. Als Randbedingung gilt hier auch die homogene [[Dirichlet-Randbedingung]]. Somit sieht die Differentialgleichung wie folgt aus:
-:<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0 \quad \text{mit} \quad u(a,y,t) = u(x,b,t)=0</math>
+:<math>u(r,\varphi, t) = \sum_{\nu = - \infty}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty}\left( \underline{A}_{\nu, n} \cdot J_\nu(k_n \cdot r) \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{j}(\omega_n t - \nu \varphi)}\right) \quad \text{mit} \quad k_n = \frac{\omega_n}{c} \quad \text{und} \quad J_\nu\left(\frac{\omega_n}{c}\cdot a\right) \stackrel{!}{=}  0</math>
-In diesem Fall besteht die Lösung ausschließlich aus Trigonometrischen Funktionen welche wie folgt als Reihe darstellbar ist:
+Hierbei ist das [[Nullstelle]]nproblem die Bedingung dafür, dass eine Schwingungsform mit der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega_n </math> eine mögliche Lösung ist. Gesucht sind also die Nullstellen der verwendeten Besselfunktion.
+=== Schwingung der ungedämpften Rechteck-Membran ===
+[[Datei:Membrane exampleA.gif|mini|Zweidimensionale [[stehende Welle]] in einem rechteckigen Rahmen bei größtmöglicher Wellenlänge]]
+Bei der Beschreibung einer ungedämpften Rechteck-Membran verwendet man die [[Wellengleichung|d'Alembert'schen Schwingungsgleichung]] in [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]]. Als [[Randbedingung]] gilt auch hier die homogene [[Dirichlet-Randbedingung]]. Somit sieht die Differentialgleichung wie folgt aus:
+:<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0 \quad \text{mit} \quad u(a,y,t) = u(x,b,t) = u(0,y,t) = u(x,0,t) = 0</math>
+In diesem Fall besteht die Lösung ausschließlich aus Trigonometrischen Funktionen, welche wie folgt als [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] darstellbar ist:
 :<math>u(x,y,t)=\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{m = 0 }^{\infty} \left( A_{n,m} \cdot\sin\left(k_n x \right) \cdot \sin(k_m y) \cdot \cos(\omega_{nm} t- \phi)  \right) \quad \text{mit} \quad k_n = \frac{\pi n}{a} \quad k_m = \frac{\pi m }{b} \quad \omega_{nm} = c \cdot \sqrt{k_n^2+k_m^2}</math>
-:Die Teil-Funktionen für unterschiedliche n,m bezeichnet man als Moden bzw. [[Eigenfrequenz|Eigenschwingungen]]. Durch Festlegung der jeweiligen Amplitudenwerte <math>A_{n,m}</math> können alle möglichen Schwingungsformen dargestellt werden, welche z.B. nicht Sinusförmig sind.
+Die Teil-Funktionen für unterschiedliche n,m bezeichnet man als Moden bzw. [[Eigenfrequenz|Eigenschwingungen]]. Durch Festlegung der jeweiligen Amplitudenwerte <math>A_{n,m}</math> können alle möglichen Schwingungsformen dargestellt werden, welche z.&nbsp;B. ''nicht'' sinusförmig sind.
 [[Kategorie:Schwingungsdynamik]]
 [[Kategorie:Schallwandlung]]