Isotherme Zustandsänderung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 26. Februar 2022, 14:31 Uhr

Gegenüberstellung der isotherme und isentropen Zustandsänderung eines idealen Gases im p-V-Diagramm

Die isotherme Zustandsänderung (oder isothermer Prozess) ist eine thermodynamische Zustandsänderung, bei der die Temperatur des betrachteten Systems unverändert bleibt. Die exakt isotherme Zustandsänderung ist ein theoretischer Idealfall, der in der Realität im Allgemeinen mithilfe eines Wärmebads nur näherungsweise erreicht werden kann. Beispiele für isotherme Prozesse sind isotherme Expansion oder Kompression, isotherme chemische Reaktionen (z. B. isotherme Verbrennung, Stoffwechsel von Lebewesen), isotherme Magnetisierung etc.

Isotherme Prozesse dienen oft als theoretische Modellprozesse zur Berechnung von Energieumsätzen bei Zustandsänderungen. Beispielsweise besteht der Carnotsche Kreisprozess, der den theoretischen Idealfall der Wärmekraftmaschine beschreibt, aus zwei isothermen Prozessen bei zwei verschiedenen Temperaturen und zwei adiabatischen Prozessen.

Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte gilt für die isotherme Zustandsänderung idealer Gase bei gleichbleibender Stoffmenge:

p\cdot V={\text{const}}\qquad \qquad {\frac {p_{1}}{p_{2}}}={\frac {V_{2}}{V_{1}}}

Isotherme Volumenänderung beim idealen Gas

Bei einer gegebenen Menge eines idealen Gases hängt die Innere Energie $$ U $$ nur von der Temperatur ab, bleibt bei einem isothermen Prozess also konstant. Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik gilt daher für die Arbeit $$ W $$ und die Wärme $$ Q $$ , die bei einer isothermen Volumenänderung anfallen,

$ W+Q=0 $

.

Ist $$ p $$ der Druck im Gas und wird das Volumen von $V_{1}$ zu $V_{2}$ verändert, gilt für die Arbeit

W=-\int _{V_{1}}^{V_{2}}p\,\mathrm {d} V

Nach der Thermischen Zustandsgleichung für eine Gasmenge von $$ n $$ Molen bei der Temperatur $$ T $$ ändert sich der Druck dabei gemäß

p={\frac {n\ R\ T}{V}}

Dabei ist $$ R $$ die allgemeine Gaskonstante. Nach Einsetzen ergibt das Integral

W=n\,R\,T\ln \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)

.

Die am Gas zu leistende Arbeit $$ W $$ ist positiv bei Kompression $V_{1}>V_{2}$ , und negativ (d. h. das Gas leistet Arbeit) bei Expansion $V_{1}<V_{2}$ . Für die Aufrechterhaltung konstanter Temperatur ist eine gleich große Wäme $$ Q $$ abzuführen (Kompressionswärme) bzw. — bei Expansion — zuzuführen. Somit ist die isotherme Expansion des idealen Gases ein Prozess, bei dem eine zugeführte Wärmemenge vollständig in Arbeit umgewandelt wird. Allerdings lässt sich dieser Prozess nicht einfach wiederholen, ohne dass das Gas durch erneuten Einsatz von zugeführter Arbeit und abgeführter Wärme wieder in seinen Ausgangszustand versetzt wird. Daher besteht kein Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.

Siehe auch

Johnson-Mehl-Avrami-Kolmogorow-Gleichung,
Stirlingmotor

Weblinks

Commons: Isothermal processes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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-[[Datei:Isothermal and isentropic process.svg|hochkant=1.4|mini|Gegenüberstellung der isotherme und [[Isentrope_Zustandsänderung|isentropen]] Zustandsänderung im [[p-v-Diagramm|p-V-Diagramm]]]]
+[[Datei:Isothermal and isentropic process.svg|hochkant=1.4|mini|Gegenüberstellung der isotherme und [[Isentrope_Zustandsänderung|isentropen]] Zustandsänderung eines idealen Gases im [[p-v-Diagramm|p-V-Diagramm]]]]
-Die '''isotherme Zustandsänderung''' ist eine [[Thermodynamik|thermodynamische]] [[Zustandsänderung]], bei der die [[Temperatur]] unverändert bleibt:
+Die '''isotherme Zustandsänderung''' (oder ''isothermer Prozess'') ist eine [[Thermodynamik|thermodynamische]] [[Zustandsänderung]], bei der die [[Temperatur]] des betrachteten Systems unverändert bleibt. Die exakt isotherme Zustandsänderung ist ein theoretischer Idealfall, der in der Realität im Allgemeinen mithilfe eines [[Wärmebad]]s nur näherungsweise erreicht werden kann. Beispiele für isotherme Prozesse sind isotherme [[Ausdehnungskoeffizient|Expansion]] oder [[Kompressionsmodul#Allgemeines|Kompression]], isotherme [[chemische Reaktion]]en (z.&nbsp;B. isotherme [[Verbrennung (Chemie)|Verbrennung]], [[Stoffwechsel]] von Lebewesen), isotherme [[Magnetisierung]] etc.
-:<math>T = \text{const.} \quad \Leftrightarrow \quad T_1 = T_2</math>
+Isotherme Prozesse dienen oft als theoretische Modellprozesse zur Berechnung von Energieumsätzen bei Zustandsänderungen. Beispielsweise besteht der [[Carnot-Prozess|Carnotsche Kreisprozess]], der den theoretischen Idealfall der [[Wärmekraftmaschine]] beschreibt, aus zwei isothermen Prozessen bei zwei verschiedenen Temperaturen und zwei [[adiabatische  Zustandsänderung|adiabatischen Prozessen]].
-Darin bezeichnen <math>T_1</math> und <math>T_2</math> die Temperaturen vor bzw. nach der Zustandsänderung. Bei einer Verdichtung eines [[Gas]]es muss also die [[Kompressionswärme]] abgeführt bzw. bei einer [[Wärmeausdehnung|Expansion]] [[Wärme]] zugeführt werden. Dies kann durch ein [[Wärmebad]] näherungsweise erreicht werden.
+Nach dem [[Gesetz von Boyle-Mariotte]] gilt für die isotherme Zustandsänderung [[Ideales Gas|idealer Gase]] bei gleichbleibender Stoffmenge:
-== Ideales Gas ==
-Nach dem [[Gasgesetz|Gesetz von Boyle-Mariotte]] und der [[Ideales Gas#Kalorische Zustandsgleichung|Kalorischen Zustandsgleichung]] eines [[Ideales Gas|idealen Gases]] bleiben bei konstanter Temperatur <math>T</math> das Produkt aus [[Druck (Physik)|Druck]] <math>p</math> und [[Volumen]] <math>V</math> sowie die [[Innere Energie]] <math>U</math> konstant:
-:<math>
+:<math>p \cdot V = \text{const} \qquad \qquad \frac{p_1}{p_2} = \frac{V_2}{V_1}</math>
-p \cdot V = n \cdot R \cdot T = \text{const.} \quad \Leftrightarrow \quad p \sim \frac{1}{V}
-</math>.
-Daraus folgt auch, dass sich die Drücke umgekehrt proportional zu den entsprechenden Volumina verhalten:
+== Isotherme Volumenänderung beim idealen Gas ==
+Bei einer gegebenen Menge eines idealen Gases hängt die [[Innere Energie]] <math>U</math> nur von der Temperatur ab, bleibt bei einem isothermen Prozess also konstant. Nach dem [[1. Hauptsatz der Thermodynamik]] gilt daher für die [[Arbeit (Physik)|Arbeit]] <math>W</math> und die [[Wärme]] <math>Q</math>, die bei einer isothermen Volumenänderung anfallen,
+:<math>W+Q=0</math>.
+Ist <math>p</math> der Druck im Gas und wird das Volumen von <math>V_1</math> zu <math>V_2</math> verändert, gilt für die Arbeit
+:<math>W = -\int_{V_1}^{V_2} p \, \mathrm dV</math>
+Nach der [[Ideales Gas#Thermische Zustandsgleichung|Thermischen Zustandsgleichung]]  für eine Gasmenge von <math>n</math> Molen bei der Temperatur <math>T</math> ändert sich der Druck dabei gemäß
+:<math>p  = \frac{n \ R \ T }{V}</math>
+Dabei ist <math>R</math> die [[allgemeine Gaskonstante]].
+Nach Einsetzen ergibt das Integral
+:<math> W = n \, R \, T\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right) </math>.
-:<math>
+Die am Gas zu leistende Arbeit <math>W</math> ist positiv bei Kompression <math>V_1 > V_2</math>, und negativ (d.&nbsp;h. das Gas leistet Arbeit) bei Expansion <math>V_1 < V_2</math>. Für die Aufrechterhaltung konstanter Temperatur ist eine gleich große Wäme <math>Q</math> abzuführen ([[Kompressionswärme]]) bzw. — bei Expansion — zuzuführen. Somit ist die isotherme Expansion des idealen Gases ein Prozess, bei dem eine zugeführte Wärmemenge vollständig in Arbeit umgewandelt wird. Allerdings lässt sich dieser Prozess nicht einfach wiederholen, ohne dass das Gas durch erneuten Einsatz von zugeführter Arbeit und abgeführter Wärme wieder in seinen Ausgangszustand versetzt wird. Daher besteht kein Widerspruch zum [[2. Hauptsatz der Thermodynamik]].
-\frac{V_1}{V_2} = \frac{p_2}{p_1}
-</math>
-Für die verrichtete [[Arbeit (Physik)|Arbeit]] <math>\ W</math> gilt bei einer isothermen Kompression oder Expansion von <math>n</math> [[mol]] eines idealen Gases:
-:<math>
-\ W = n \, R \, T_1\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right) = n \, R \, T_1 \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = p_1 \, V_1 \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)
-</math>,
-wobei <math>R</math> die [[Universelle Gaskonstante]] bezeichnet.
-Wegen <math>T_2 = T_1</math> ist <math>\Delta U=0</math>. Nach dem [[Erster Hauptsatz der Thermodynamik|ersten Hauptsatz der Thermodynamik]] (<math>\Delta U = Q + W</math>) folgt, dass die zugeführte bzw. entzogene Wärme direkt der verrichteten Arbeit entspricht (<math>\ Q = - W</math>).
 == Siehe auch ==