Der Carnot-Wirkungsgrad $ \eta _{c} $, auch Carnot-Faktor genannt, ist der höchste theoretisch mögliche Wirkungsgrad bei der Umwandlung von thermischer Energie in mechanische Energie.[1] Er beschreibt den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses, eines vom französischen Physiker Nicolas Léonard Sadi Carnot erdachten idealen Kreisprozesses.[2]
Berechnung
Der Wert des Carnot-Wirkungsgrades hängt ab von den Kelvin-Temperaturen $ T_{h} $ (heiß) und $ T_{k} $ (kalt) der Reservoirs, zwischen denen die Wärmekraftmaschine arbeitet:[1]
- $ \eta _{c}={\frac {T_{h}-T_{k}}{T_{h}}}=1-{\frac {T_{k}}{T_{h}}} $
Der Carnot-Wirkungsgrad ist umso größer, je höher $ T_{h} $ und je tiefer $ T_{k} $ ist. Da $ T_{h} $ nach oben und $ T_{k} $ nach unten begrenzt sind, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.
Beispiel
Der Carnot-Wirkungsgrad eines Prozesses, der zwischen 800 °C (1073,15 K) und 100 °C (373,15 K) abläuft, beträgt:
- $ \eta _{c}=1-{\frac {373{,}15}{1073{,}15}}=0{,}652=65{,}2\ \% $
Theoretische Grundlage
Eine Wärmekraftmaschine entnimmt Energie in Form von Wärme $ Q_{h} $ aus einem Wärmespeicher hoher Temperatur $ T_{h} $ und gibt einen Teil davon als Nutzarbeit $ W $ (z. B. in Form von mechanischer Arbeit) ab. Der übrige Teil der entnommenen Energie fließt als Wärme $ Q_{k} $ in einen Wärmespeicher niedrigerer Temperatur $ T_{k} $. Der Wirkungsgrad $ \eta $ der Wärmekraftmaschine ist definiert als Verhältnis der abgegebenen Nutzarbeit zur aufgenommenen Wärmemenge:[3]
- $ \eta ={\frac {W}{Q_{h}}} $
Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine wird durch den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik begrenzt: Bei der isothermen Entnahme der Wärme aus dem heißen Reservoir wird die Entropie $ S_{h}={\frac {Q_{h}}{T_{h}}} $ auf die Maschine übertragen; auf der kalten Seite der Maschine wird die Entropie $ S_{k}={\frac {Q_{k}}{T_{k}}} $ auf das kalte Reservoir übertragen.
Da in selbständig ablaufenden Prozessen die Entropie niemals abnimmt, muss gelten:
- $ S_{k}\geq S_{h} $.
Entsprechend gilt für die Wärme:
- $ \Rightarrow Q_{k}\geq Q_{h}\,{\frac {T_{k}}{T_{h}}} $
Berücksichtigt man außerdem, dass die gesamte Energiebilanz neutral ist
- $ Q_{k}=Q_{h}-W $,
so folgt für die Nutzarbeit:
- $ \Rightarrow W\leq Q_{h}(1-{\frac {T_{k}}{T_{h}}}) $
und entsprechend für den Wirkungsgrad:
- $ \eta \leq \eta _{c} $.
In der Praxis sind isotherme Wärmeübergänge nicht realisierbar, und die Prozesstemperaturen weichen von den Reservoirtemperaturen ab. Technisch werden daher je nach Kreisprozess nur maximale Wirkungsgrade von über zwei Drittel des Carnot-Wirkungsgrades erreicht.
Analoge Größen für Wärmepumpen und Kältemaschinen
In Wärmepumpen und Kältemaschinen wird der entgegengesetzte Prozess betrieben: mechanische bzw. elektrische Energie wird aufgewendet, um thermische Energie von niedrigen auf höhere Temperaturen zu heben. Daher beschreibt der Carnot-Wirkungsgrad hier nicht die maximal erzielbare, sondern die mindestens aufzuwendende elektrische Energie:
- Wärmepumpe: $ W_{\mathrm {el} }>(1-{\frac {T_{k}}{T_{h}}})\,Q_{h} $
- Kältemaschine: $ W_{\mathrm {el} }>({\frac {T_{h}}{T_{k}}}-1)\,Q_{k} $.
Die Effizienz dieser Maschinen wird folglich nicht durch den Wirkungsgrad, sondern durch Leistungszahlen $ \epsilon $ beschrieben.
Bei einer Wärmepumpe (WP) wird die auf dem oberen Temperaturniveau von der Wärmepumpe abgegebene Wärme $ Q_{h} $ genutzt:
- $ \epsilon _{\mathrm {WP} }={\frac {Q_{h}}{W_{\mathrm {el} }}}<\epsilon _{\mathrm {WP,c} } $
mit
- $ \epsilon _{\mathrm {WP,c} }={\frac {1}{\eta _{c}}}={\frac {T_{h}}{T_{h}-T_{k}}}>1 $.
Bei einer Kältemaschine (KM) ist die bei der niedrigen Temperatur durch die Kältemaschine aufgenommene Wärme $ Q_{k} $ die Nutzgröße:
- $ \epsilon _{\mathrm {KM} }={\frac {Q_{k}}{W_{\mathrm {el} }}}<\epsilon _{\mathrm {KM,c} } $
mit:
- $ \epsilon _{\mathrm {KM,c} }={\frac {1}{\eta _{c}}}-1={\frac {T_{k}}{T_{h}-T_{k}}} $.
Weblinks
- Interaktive Berechnung des Carnot-Wirkungsgrads. In: GeoGebra.
Einzelnachweise
- ↑ 1,0 1,1 Jürgen U. Keller: Technische Thermodynamik in Beispielen / Grundlagen. Walter de Gruyter, 2011, ISBN 978-3-11-084335-4, S. 188 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik für Studierende der Naturwissenschaften und Technik. Springer-Verlag, 2019, ISBN 978-3-662-58281-7, S. 621 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Freund, Hans-Joachim.: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. 6., vollst. überarb. u. aktualis. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-32909-0.
en:Carnot efficiency
