Transkritische Bifurkation
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Die transkritische Bifurkation beschreibt einen Vorgang, bei dem die Stabilität („anziehend“ oder „abstoßend“) zweier Ruhelagen eines Systems vertauscht wird.
Sie ist damit ein bestimmter Typ einer Bifurkation eines nichtlinearen Systems.
Die Normalform der transkritischen Bifurkation ist:
- $ {\frac {dx}{dt}}=\mu x-x^{2} $ (I)
wobei $ \mu $ der Bifurkationsparameter ist.
Die transkritische Bifurkation hat folgende Gleichgewichtspunkte:
- $ {x_{1}}^{*}=0 $
- $ {x_{2}}^{*}=\mu $
Setzt man $ x=(x_{1/2}^{*}+\delta ) $ mit $ \delta \ll 1 $ in die Normalform ein (d. h. man stört den Fixpunkt) und vernachlässigt den $ \delta ^{2} $-Term, erhält man
- $ {\frac {d\delta }{dt}}={\begin{cases}\;\;\mu \delta \;\;\;\mathrm {bei} \;x_{1}^{*}\\-\mu \delta \;\;\;\mathrm {bei} \;x_{2}^{*}\end{cases}} $
für die zeitliche Entwicklung der Störung $ \delta $.
Für $ \mu <0 $ ist also $ x_{1}^{*} $ ein stabiler Fixpunkt (d. h. die Störung nimmt mit der Zeit ab) und $ x_{2}^{*} $ ein instabiler (die Störung wächst). Für $ \mu >0 $ ist es umgekehrt.
Bei dem kritischen Wert des Bifurkationsparameters $ \mu =0 $ ist der (in diesem Fall einzige) Fixpunkt $ x^{*}=0 $ indifferent stabil.
Diskretes System
Für ein diskretes System wird aus (I):
- $ x_{t+1}=x_{t}+\mu \cdot x_{t}-x_{t}^{2} $
Die Lage der Fixpunkte bleibt gegenüber dem kontinuierlichen System unverändert.
