Tangentialbeschleunigung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 21. August 2021, 11:47 Uhr

Die Tangentialbeschleunigung ${\vec {a}}_{\mathrm {T} }$ (auch Bahnbeschleunigung genannt) bezeichnet die vektorielle Geschwindigkeitsänderung pro Zeit, die ein Massepunkt auf einer Bahn tangential zu dieser erfährt:

{\vec {a}}_{\mathrm {T} }={\frac {\vec {v}}{v}}{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}

mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ und deren Betrag $$ v $$ .

Sie ist das Produkt aus der Winkelbeschleunigung ${\vec {\alpha }}$ und dem Krümmungsradius $$ r $$ am betreffenden Bahnpunkt:

{\vec {a}}_{\mathrm {T} }=r\cdot {\vec {\alpha }}

Wir betrachten hier als Beispiel eine Kreisbahn.

Betrachtet man nur den Betrag der Tangentialbeschleunigung, so gilt:

a_{\mathrm {T} }={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\omega \cdot r)}{\mathrm {d} t}}=r\cdot {\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}=r\cdot \alpha

mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ .

Die Tangentialbeschleunigung steht senkrecht zur Zentripetalbeschleunigung, welche zum Kreismittelpunkt hin gerichtet ist. Die Gesamtbeschleunigung ist die Summe der Vektoren von Tangential- und Zentripetal- bzw. Normalbeschleunigung. Diese Möglichkeit zur Aufteilung des Beschleunigungsvektors entdeckte Huygens.^[1]

Beispiel

Ein Karussell fängt an, sich zu drehen. Es erfährt also eine Winkelbeschleunigung. Bei gleicher Winkelbeschleunigung erfährt eine Person, die nahe an der Drehachse steht, eine geringere Tangentialbeschleunigung (kleiner Abstand zur Drehachse) als eine Person, die am äußeren Rand des Karussells steht (großer Abstand zur Drehachse). Die Tangentialbeschleunigung verhält sich also proportional zum Radius des Karussells (Formel s. o.).

Einzelnachweise

↑ Carl Snell, Galileo Galilei: Ueber Galilei als Begruender der mechanischen Physik und ueber die Methode derselben. W. Ratz, Universität Gent 1864 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

en:Acceleration#Tangential and centripetal acceleration

[1] Carl Snell, Galileo Galilei: Ueber Galilei als Begruender der mechanischen Physik und ueber die Methode derselben. W. Ratz, Universität Gent 1864 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[1]

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-Die '''Tangentialbeschleunigung''' (auch '''Bahnbeschleunigung''' genannt) bezeichnet die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit, die ein Massepunkt auf einer gekrümmten Bahn, tangential zu dieser, erfährt. Sie ist das Produkt aus der [[Winkelbeschleunigung]] und dem [[Krümmungsradius]] am betreffenden Bahnpunkt. Wir betrachten hier als Beispiel eine Kreisbahn.
+Die '''Tangentialbeschleunigung''' <math>\vec a_\mathrm{T}</math> (auch '''Bahnbeschleunigung''' genannt) bezeichnet die [[vektor]]ielle Geschwindigkeits[[Zeitableitung|änderung pro Zeit]], die ein Massepunkt auf einer Bahn [[tangential]] zu dieser erfährt:
-Betrachtet man nur den Betrag der Tangentialbeschleunigung, so gilt:
+:<math>\vec a_\mathrm{T} = \frac{\vec v}{v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}</math>
-<math>{{a}_{T}} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} (\omega \cdot r)}{\mathrm{d} t}=r \cdot \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}= r \cdot {\alpha} </math>
+mit der [[Geschwindigkeit]] <math>\vec v</math> und deren Betrag <math>v</math>.
-Dabei ist <math>{a}_{T}</math> der Betrag der Tangentialbeschleunigung, v die Bahngeschwindigkeit, <math>\omega</math> die Winkelgeschwindigkeit, r der Radius der Kreisbahn und <math>\alpha</math> die Winkelbeschleunigung.
+Sie ist das Produkt aus der [[Winkelbeschleunigung]] <math>\vec \alpha</math> und dem [[Krümmungsradius]] <math>r</math> am betreffenden Bahnpunkt:
-Die Tangentialbeschleunigung ist nicht zu verwechseln mit der [[Zentripetalbeschleunigung]], welche nicht tangential zum Kreis wirkt, sondern zum Kreismittelpunkt hin gerichtet ist. Die Gesamtbeschleunigung ist die Summe der [[Vektor]]en von Tangentialbeschleunigung und Zentripetalbeschleunigung.
+:<math>\vec a_\mathrm{T} = r \cdot \vec \alpha</math>
-Die Möglichkeit zur Aufteilung des Beschleunigungsvektors in Tangential- und Normalbeschleunigung entdeckte erstmals [[Christiaan Huygens|Huygens]].<ref>{{Literatur
+Wir betrachten hier als Beispiel eine [[Kreisbahn]].
+Betrachtet man nur den [[Vektor #Länge/Betrag_eines_Vektors|Betrag]] der Tangentialbeschleunigung, so gilt:
+:<math>a_\mathrm{T} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} (\omega \cdot r)}{\mathrm{d} t} = r \cdot \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} = r \cdot \alpha</math>
+mit der [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\omega</math>.
+Die Tangentialbeschleunigung steht senkrecht zur [[Zentripetalbeschleunigung]], welche zum Kreismittelpunkt hin gerichtet ist. Die Gesamtbeschleunigung ist die [[Vektor #Addition_und_Subtraktion|Summe der Vektoren]] von Tangential- und Zentripetal- bzw. [[Normalbeschleunigung]]. Diese Möglichkeit zur Aufteilung des Beschleunigungsvektors entdeckte [[Christiaan Huygens|Huygens]].<ref>{{Literatur
 | Autor=Carl Snell, Galileo Galilei
 | Titel=Ueber Galilei als Begruender der mechanischen Physik und ueber die Methode derselben
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 == Beispiel ==
+Ein [[Karussell]] fängt an, sich zu drehen. Es erfährt also eine Winkelbeschleunigung. Bei gleicher Winkelbeschleunigung erfährt eine Person, die nahe an der [[Drehachse]] steht, eine geringere Tangentialbeschleunigung (kleiner Abstand zur Drehachse) als eine Person, die am äußeren Rand des Karussells steht (großer Abstand zur Drehachse). Die Tangentialbeschleunigung verhält sich also [[proportional]] zum Radius des Karussells (Formel s.&nbsp;o.).
-Ein [[Karussell]] fängt an, sich zu drehen. Es erfährt also eine [[Beschleunigung]]. Bei gleicher Winkelbeschleunigung erfährt eine Person, die nahe an der [[Drehachse]] steht, eine geringere Tangentialbeschleunigung (kleiner Abstand zur Drehachse), als eine Person, die am äußeren Rand des Karussells steht (großer Abstand zur Drehachse).
-Die Tangentialbeschleunigung <math>a_T(t)</math> verhält sich also proportional zum Radius <math>r</math> des Karussells:
-:<math>{a}_{T} = r \cdot \alpha(t) </math>
 == Einzelnachweise ==