Schwingungsmembran
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- Schwingungsdynamik
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Eine Schwingungsmembran oder Oszillationsmembrane (Membran, von mittelhochdeutsch Membrane „(Stück) Pergament“; von lateinisch membrana „Häutchen“ bzw. membrum „Körperglied“), ist eine dünne Haut oder Folie, die Schwingungen erzeugen oder modifizieren soll.
Jede Membran besitzt mehrere Eigenresonanzen (Partialschwingungen), die aber häufig stark gedämpft sind. In deren Umgebung können die Amplituden besonders hohe Werte erreichen. Die Membran kann in einem festen Rahmen eingespannt sein wie bei einer Trommel, ihr Rand kann aber auch frei schwingen wie bei einem Lautsprecher. Beide Varianten unterscheiden sich sehr deutlich bezüglich möglicher Moden und Frequenzen.
Sie kann zur Erzeugung, Verstärkung, Aufnahme, Dämpfung oder Messung der Schwingung dienen. Die Anregung zu Membranschwingungen setzt voraus, dass eine andauernd einwirkende äußere Kraft vorhanden ist, die durch die Zugspannung durch eine Randeinspannung gegeben ist. Die Schwingungsanregung kann auf sehr unterschiedliche Weise erfolgen, etwa durch Auftreffen von Luftschall, z. B. Trommelfell, durch Aufschlagen mit einem Schlegel, etwa bei Membranophonen, oder auf elektrischem Wege, etwa durch Anregung einer Lautsprechermembran.
Solche schwingenden Membranen spielen in der Akustik auf zahlreichen Gebieten eine außerordentlich wichtige Rolle, so vorwiegend bei den elektroakustischen Wandlern, wo sie zur Umwandlung von mechanischer Schallenergie in elektrische Energie dienen, z. B. beim Mikrofon, oder umgekehrt zur Wandlung von elektrischer Energie in Schallenergie, z. B. beim Lautsprecher oder beim Kopfhörer, beim Hörvorgang, sowie bei bestimmten Musikinstrumenten, z. B. den Membranophonen. Im Bruststück des Stethoskops ist ebenfalls eine Membran eingebaut.
Technische Schwingungsmembranen finden beispielsweise in Druckmessgeräten, Membranpumpen und Musikinstrumenten Verwendung. Ein Beispiel für eine biologische Schwingungsmembran ist das Trommelfell.
Mathematische Beschreibung von Membran-Schwingungen
Schwingung der ungedämpften Kreis-Membrane
Die Schwingung der ungedämpften Kreismembrane lässt sich mit der d'Alembert'schen Schwingungsgleichung in Polarkoordinaten beschreiben. Dabei gilt, dass die Membrane beim Radius $ a $ eingespannt und somit die Auslenkung $ u $ gleich Null ist. Im Sinne der Theorie der partiellen Differentialgleichungen entspricht dies der homogenen Dirichlet-Randbedingung. Damit lässt sich diese Problemstellung wie folgt beschreiben:
- $ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0\quad {\text{mit}}\quad u(a,\varphi ,t)=0\quad {\text{und}}\quad u(r,0,t)=u(r,2\pi ,t) $
Die Herangehensweise an ein solches Problem ist in der Regel ein Separationsansatz welcher besagt, dass sich die gesuchte Funktion $ u(r,\varphi ,t) $ aus separaten Funktionen $ f(r),g(\varphi ),h(t) $ zusammensetzt. Aufgrund dessen, dass die Membrane am Rand eingespannt ist, sind in erster Linie nur bestimmte Schwingungsformen, die sogenannten Eigenschwingungen (auch Moden), möglich. Durch Superposition dieser Eigenschwingungen lassen sich jedoch wiederum auch andere Schwingungsformen darstellen. Die Lösung setzt sich im Falle von Zylinder- bzw. Kreis-Geometrien einerseits aus komplexen Exponentialfunktionen (bzw. trigonometrischen Funktionen) und andererseits aus den sogenannten Zylinderfunktionen (auch Bessel-Funktionen) zusammen. Im Folgenden ist nun eine mögliche Darstellung der Lösung abgebildet.
- $ u(r,\varphi ,t)=\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }\left({\underline {A}}_{\nu ,n}\cdot J_{\nu }(k_{n}\cdot r)\cdot \operatorname {e} ^{\operatorname {j} (\omega _{n}t-\nu \varphi )}\right)\quad {\text{mit}}\quad k_{n}={\frac {\omega _{n}}{c}}\quad {\text{und}}\quad J_{\nu }\left({\frac {\omega _{n}}{c}}\cdot a\right){\stackrel {!}{=}}0 $
Hierbei ist das Nullstellenproblem die Bedingung dafür, dass eine Schwingungsform mit der Kreisfrequenz $ \omega _{n} $ eine mögliche Lösung ist. Gesucht sind also die Nullstellen der verwendeten Besselfunktion.
Schwingung der ungedämpften Rechteck-Membrane
Bei der Beschreibung einer ungedämpften Rechteck-Membrane verwendet man die d'Alembert'schen Schwingungsgleichung in kartesischen Koordinaten. Als Randbedingung gilt hier auch die homogene Dirichlet-Randbedingung. Somit sieht die Differentialgleichung wie folgt aus:
- $ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0\quad {\text{mit}}\quad u(a,y,t)=u(x,b,t)=0 $
In diesem Fall besteht die Lösung ausschließlich aus Trigonometrischen Funktionen welche wie folgt als Reihe darstellbar ist:
- $ u(x,y,t)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\left(A_{n,m}\cdot \sin \left(k_{n}x\right)\cdot \sin(k_{m}y)\cdot \cos(\omega _{nm}t-\phi )\right)\quad {\text{mit}}\quad k_{n}={\frac {\pi n}{a}}\quad k_{m}={\frac {\pi m}{b}}\quad \omega _{nm}=c\cdot {\sqrt {k_{n}^{2}+k_{m}^{2}}} $
- Die Teil-Funktionen für unterschiedliche n,m bezeichnet man als Moden bzw. Eigenschwingungen. Durch Festlegung der jeweiligen Amplitudenwerte $ A_{n,m} $ können alle möglichen Schwingungsformen dargestellt werden, welche z.B. nicht Sinusförmig sind.
