Richtungsquantelung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 13. April 2021, 17:42 Uhr

Quantisierung des Drehimpulses entlang der Quantisierungsachse

$ z $

. Die Kegel (und die Ebene) zeigen die möglichen Orientierungen (Winkel) des Drehimpulsvektors relativ zur Achse für

$ J=2 $

und

m_{j}=-2,-1,0,1,2

.

Richtungsquantelung oder Richtungsquantisierung ist die Tatsache, dass der Winkel $\theta _{m}$ zwischen dem Drehimpulsvektor eines quantenmechanischen Systems und einer beliebig gewählten Richtung nur bestimmte, diskrete Werte annehmen kann.

Die Zustände mit wohldefiniertem Winkel zwischen dem Drehimpuls und einer ausgezeichneten Achse, der Quantisierungsachse, werden auch als an der Achse ausgerichtet bezeichnet.

Betroffen sind u. a.

Spin und Bahndrehimpuls freier Teilchen und
ausnahmslos alle freien Atome, Moleküle etc. in ihren Energieeigenzuständen.

Mathematische Beschreibung

Bei einem Gesamtdrehimpuls ${\vec {J}}$ , dessen Betrag gegeben ist mit ${\sqrt {J(J+1)}}\,\hbar$ , kann die Drehimpulskomponente längs der gewählten Richtung nur Werte $m_{j}\,\hbar$ annehmen.

Darin ist

$J=0,\,{\frac {1}{2}},\,1,\,{\frac {3}{2}},\,\ldots$ die halb- oder ganzzahlige Gesamtdrehimpuls-Quantenzahl
$\hbar$ das (reduzierte) Plancksche Wirkungsquantum
$m_{j}=-J,\,-(J-1),\,\ldots ,\,(J-1),\,J$ die Richtungsquantenzahl des Gesamtdrehimpulses.

Die möglichen Winkel $\theta _{m}$ ergeben sich zu:

{\begin{alignedat}{3}-1&<\cos \theta _{m}&&={\frac {m_{j}}{\sqrt {J(J+1)}}}&&&<1\\\Rightarrow 180^{\circ }&>\theta _{m}&&=\arccos {\frac {m_{j}}{\sqrt {J(J+1)}}}&&&>0^{\circ }\end{alignedat}}

.

Sie liegen symmetrisch zu 90°. Weil dabei 0° und 180° ausgeschlossen sind, wird stattdessen oft der Drehimpuls in den beiden Zuständen mit maximaler Komponente ( $m_{j}{\mathord {=}}\pm J$ ) als parallel bzw. antiparallel zur Achse bezeichnet.

Die zur Achse senkrechte Komponente des Drehimpulses ist in ausgerichteten Zuständen in ihrer Richtung nicht weiter festgelegt, vielmehr sind alle Richtungen (senkrecht zur Achse) gleich wahrscheinlich. Jedoch lassen sich aus den $$ 2J+1 $$ ausgerichteten Zuständen durch quantenmechanische Superposition sämtliche Zustände bilden, die das System bei gleichem inneren Zustand überhaupt annehmen kann. So lässt sich z. B. auch ein Zustand, der an einer beliebigen anderen (auch schräg liegenden) Richtung ausgerichtet ist, immer als eine Superposition der Zustände darstellen, die an der ursprünglich gewählten Achse ausgerichtet sind.

Geschichte

Die Richtungsquantelung wurde 1916 im Rahmen des Bohr-Sommerfeldschen Atommodells theoretisch vorhergesagt. Sie erlaubt die quantenphysikalische Deutung der Aufspaltung der Energieniveaus im Magnetfeld, wie sie beim Zeeman-Effekt beobachtet wird. Direkt beobachtet wurde die Richtungsquantelung zuerst 1922 durch magnetische Ablenkung von Silberatomen mit verschieden orientierten Drehimpulsen im Stern-Gerlach-Experiment.

In beiden Fällen entsprechen die Quantenzahlen $$ m $$ verschiedenen Energieniveaus im Magnetfeld, woher sich auch der Name magnetische Quantenzahl und die Wahl des Buchstabens $$ m $$ ableitet.

Siehe auch

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-'''Richtungsquantelung''' oder '''Richtungsquantisierung''' ist die Tatsache, dass der Winkel zwischen dem [[Drehimpuls]]vektor eines quantenmechanischen Systems und einer beliebig gewählten Richtung nur bestimmte, [[Diskrete Teilmenge|diskret]]e Werte annehmen kann. Genauer ausgedrückt kann bei einem Drehimpuls, dessen Betrag mit <math>\hbar \sqrt{J(J+1)}</math> gegeben ist, die Drehimpulskomponente längs der gewählten Richtung nur Werte <math>\hbar m</math> mit den Richtungsquantenzahlen <math>m = -J,\,-(J-1),\,\ldots,\,(J-1),\, J \ </math> haben. Darin ist <math>\hbar </math> das [[Plancksches Wirkungsquantum|(reduzierte) Plancksche Wirkungsquantum]] und  <math>J =  0,\, \frac12,\,1,\,\frac{3}{2},\,\ldots</math> die halb- oder ganzzahlige [[Drehimpulsquantenzahl]].
+[[Datei:Vector model of orbital angular momentum.svg|250px|right|mini|Quantisierung des Drehimpulses entlang der [[Quantisierungsachse]] <math>z</math>. Die Kegel (und die Ebene) zeigen die möglichen Orientierungen (Winkel) des Drehimpulsvektors relativ zur Achse für <math>J=2</math> und <math>m_j = -2,-1,0,1,2</math>.]]
+'''Richtungs[[quantelung]]''' oder '''Richtungs[[Quantisierung (Physik)|quantisierung]]''' ist die Tatsache, dass der Winkel <math>\theta_m</math> zwischen dem [[Drehimpuls]]vektor eines [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] Systems und einer beliebig gewählten Richtung nur bestimmte, [[Diskrete Teilmenge|diskret]]e Werte annehmen kann.
-Betroffen sind u.a.
+Die Zustände mit wohldefiniertem Winkel zwischen dem Drehimpuls und einer ausgezeichneten Achse, der [[Quantisierungsachse]], werden auch als ''an der Achse ausgerichtet'' bezeichnet.
-*[[Spin]] und Bahndrehimpuls von freien [[Teilchen]]
-*und ausnahmslos alle freien [[Atom]]e, [[Molekül]]e etc. in ihren [[Energieeigenzustand|Energieeigenzustände]]n
-Diese Zustände mit wohldefiniertem Winkel zwischen dem Drehimpuls und einer ausgezeichneten Achse werden auch als "an der Achse ausgerichtet" bezeichnet. Für die möglichen Winkel <math>\theta_m </math> gilt
-:<math>\cos \theta_m = \frac{m}{\sqrt{J(J\mathord +1)}} </math>.
-Die Winkel liegen symmetrisch zu 90°. Obwohl 0° und 180° dabei immer ausgeschlossen sind, wird der Drehimpuls in den beiden Zuständen mit maximaler Komponente (<math>m \mathord = \pm J</math>) oft als parallel bzw. antiparallel zur Achse bezeichnet. Die zur Achse senkrechte Komponente des Drehimpulses ist in ausgerichteten Zuständen in ihrer Richtung nicht weiter festgelegt, vielmehr sind alle Richtungen (senkrecht zur Achse) gleich wahrscheinlich. Jedoch lassen sich aus den <math>2J+1</math> ausgerichteten Zuständen durch quantenmechanische [[Superposition_(Physik)#Quantenmechanik|Superposition]] sämtliche Zustände bilden, die das System bei gleichem inneren Zustand überhaupt annehmen kann. So lässt sich z.&nbsp;B. auch ein Zustand, der an einer beliebigen anderen (auch schräg liegenden) Richtung ausgerichtet ist, immer als eine Superposition der Zustände darstellen, die an der ursprünglich gewählten Achse ausgerichtet sind.
-Die Richtungsquantelung wurde 1916 im Rahmen des [[Bohr-Sommerfeldsches Atommodell|Bohr-Sommerfeldschen Atommodells]] theoretisch vorhergesagt. Sie erlaubt die quantenphysikalische Deutung der Aufspaltung der Energieniveaus im Magnetfeld, wie sie beim [[Zeeman-Effekt]] beobachtet wird. Direkt beobachtet wurde die Richtungsquantelung zuerst 1922 durch magnetische Ablenkung von Silberatomen mit verschieden orientierten Drehimpulsen im [[Stern-Gerlach-Experiment]]. In beiden Fällen entsprechen die Quantenzahlen <math>m</math> verschiedenen Energieniveaus im Magnetfeld, woher sich auch der Name '''magnetische Quantenzahl''' und die Wahl des Buchstabens ''m'' ableitet.
+Betroffen sind u.&nbsp;a.
+*[[Spin]] und Bahndrehimpuls [[Freies Teilchen|freier Teilchen]] und
+*ausnahmslos alle freien [[Atom]]e, [[Molekül]]e etc. in ihren [[Energieeigenzustand|Energieeigenzustände]]n.
+== Mathematische Beschreibung ==
+Bei einem [[Gesamtdrehimpuls]] <math>\vec J</math>, dessen [[Vektor #Länge/Betrag_eines_Vektors|Betrag]] gegeben ist mit <math>\sqrt{J(J+1)} \, \hbar</math>, kann die Drehimpulskomponente längs der gewählten Richtung nur Werte <math>m_j \, \hbar</math> annehmen.
+Darin ist
+* <math>J =  0, \, \frac12, \, 1, \, \frac32, \, \ldots</math> die halb- oder ganzzahlige [[Quantenzahl #Gesamtdrehimpulsquantenzahl|Gesamtdrehimpuls-Quantenzahl]]
+* <math>\hbar </math> das [[Plancksches Wirkungsquantum|(reduzierte) Plancksche Wirkungsquantum]]
+* <math>m_j = -J, \, -(J-1), \, \ldots, \, (J-1), \, J</math> die [[Quantenzahl #Magnetische Quantenzahl des Bahndrehimpulses|Richtungsquantenzahl]] des Gesamtdrehimpulses.
+Die möglichen Winkel <math>\theta_m </math> ergeben sich zu:
+:<math>\begin{alignat}{3}
+             -1       &< \cos \theta_m &&=         \frac{m_j}{\sqrt{J(J + 1)}} &&&< 1\\
+\Rightarrow 180^\circ &>      \theta_m &&= \arccos \frac{m_j}{\sqrt{J(J + 1)}} &&&> 0^\circ
+\end{alignat}</math>.
+Sie liegen symmetrisch zu&nbsp;90°. Weil dabei&nbsp;0° und&nbsp;180° ausgeschlossen sind, wird stattdessen oft der Drehimpuls in den beiden Zuständen mit maximaler Komponente (<math>m_j \mathord = \pm J</math>) als ''parallel'' bzw. ''antiparallel'' zur Achse bezeichnet.
+Die zur Achse senkrechte Komponente des Drehimpulses ist in ausgerichteten Zuständen in ihrer Richtung nicht weiter festgelegt, vielmehr sind alle Richtungen (senkrecht zur Achse) gleich wahrscheinlich. Jedoch lassen sich aus den <math>2J+1</math> ausgerichteten Zuständen durch quantenmechanische [[Superposition (Physik)#Quantenmechanik|Superposition]] sämtliche Zustände bilden, die das System bei gleichem inneren Zustand überhaupt annehmen kann. So lässt sich z.&nbsp;B. auch ein Zustand, der an einer beliebigen anderen (auch schräg liegenden) Richtung ausgerichtet ist, immer als eine Superposition der Zustände darstellen, die an der ursprünglich gewählten Achse ausgerichtet sind.
+== Geschichte ==
+Die Richtungsquantelung wurde 1916 im Rahmen des [[Bohr-Sommerfeldsches Atommodell|Bohr-Sommerfeldschen Atommodells]] theoretisch vorhergesagt. Sie erlaubt die [[quantenphysik]]alische Deutung der Aufspaltung der [[Energieniveau]]s im [[Magnetfeld]], wie sie beim [[Zeeman-Effekt]] beobachtet wird. Direkt beobachtet wurde die Richtungsquantelung zuerst 1922 durch magnetische Ablenkung von Silberatomen mit verschieden orientierten Drehimpulsen im [[Stern-Gerlach-Experiment]].
+In beiden Fällen entsprechen die Quantenzahlen <math>m</math> verschiedenen Energieniveaus im Magnetfeld, woher sich auch der Name ''magnetische Quantenzahl'' und die Wahl des Buchstabens <math>m</math> ableitet.
 <!--
 == Magnetische Quantenzahl und erlaubte Winkel ==
@@ Zeile 16: / Zeile 38: @@
 -->
 == Siehe auch ==
 *[[Spinpolarisation]]
 *[[Spin-Bahn-Wechselwirkung]]
 *[[Kernspinresonanz]]
+*[[Multiplizität]]
 <!--
@@ Zeile 28: / Zeile 52: @@
 Im einfachsten Fall ''S''= ½ ergeben sich die beiden Werte ''m''<sub>s</sub> = -½ und ''m''<sub>s</sub> = +½ (Muliplizität&nbsp;2: Dublett). Diese quantenmechanisch verschiedenen [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] unterscheiden sich normalerweise nicht in ihrer Energie, sind also [[Entartung (Quantenmechanik)|"entartet"]]. In einem [[Ensemble (Physik) #Ensemble in der Quantenstatistik|Ensemble]] gleichartiger Teilchen sind die Zustände daher normalerweise bis auf zufällige statistische Schwankungen gleich stark besetzt. Weicht die Besetzung der Spinrichtungen jedoch von der [[Gleichverteilung|gleichmäßigen Verteilung]] ab, wird dies [[Spinpolarisation]] oder einfach Polarisation genannt.
-Die Richtungsquantelung im [[Magnetfeld]] wurde erstmals 1922 im [[Stern-Gerlach-Versuch]] nachgewiesen. Ein [[Teilchenstrahl|Strahl]] neutraler [[Silber]]atome (Spin ½) durchläuft ein Magnetfeld, das quer zur Strahlrichtung stark [[Feld (Physik) #Einteilung_von_Feldern|inhomogen]] ist. Die Atome erfahren dadurch je nach ihrer Ausrichtung zum Feld eine nach der einen oder der anderen Seite wirkende Ablenkkraft. Der Strahl wird nicht, wie nach der [[Klassische Physik|klassischen Physik]] zu erwarten, breit verschmiert, sondern in zwei Teilstrahlen aufgespalten. Jeder der beiden Teilstrahlen ist ein spinpolarisiertes Ensemble. Auf Weiterentwicklungen des Stern-Gerlach-Konzepts beruhen spezielle [[Ionenquelle]]n, die polarisierte Teilchenstrahlen für [[kernphysik]]alische Experimente liefern.<ref>L. W. Anderson and W. Haeberli (eds.): ''Polarized Ion Sources and Polarized Gas Targets'' (Konferenzbericht, Madison, Wisconsin 1993). American Inst. of Physics, 1994</ref>
+Die Richtungsquantelung im [[Magnetfeld]] wurde erstmals 1922 im [[Stern-Gerlach-Versuch]] nachgewiesen. Ein [[Teilchenstrahl|Strahl]] neutraler [[Silber]]atome (Spin ½) durchläuft ein Magnetfeld, das quer zur Strahlrichtung stark [[Feld (Physik) #Einteilung von Feldern|inhomogen]] ist. Die Atome erfahren dadurch je nach ihrer Ausrichtung zum Feld eine nach der einen oder der anderen Seite wirkende Ablenkkraft. Der Strahl wird nicht, wie nach der [[Klassische Physik|klassischen Physik]] zu erwarten, breit verschmiert, sondern in zwei Teilstrahlen aufgespalten. Jeder der beiden Teilstrahlen ist ein spinpolarisiertes Ensemble. Auf Weiterentwicklungen des Stern-Gerlach-Konzepts beruhen spezielle [[Ionenquelle]]n, die polarisierte Teilchenstrahlen für [[kernphysik]]alische Experimente liefern.<ref>L. W. Anderson and W. Haeberli (eds.): ''Polarized Ion Sources and Polarized Gas Targets'' (Konferenzbericht, Madison, Wisconsin 1993). American Inst. of Physics, 1994</ref>
 === Anwendungen ===