R-Matrix

In der statistischen Physik werden Matrizen $ R\in Mat(n) $, welche der Yang-Baxter-Gleichung

$ R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12} $

genügen, als R-Matrizen bezeichnet.

In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.

Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten

Veranschaulichung der Yang-Baxter-Gleichung

Eine $ n^{2}\times n^{2} $-Matrix $ R $ mit Einträgen $ r_{ij}^{kl} $ kann als Endomorphismus des $ \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n} $ mit Basis $ e_{i}\otimes e_{j} $ aufgefasst werden, also

$ R(e_{i}\otimes e_{j})=\sum _{k,l}r_{ij}^{kl}e_{k}\otimes e_{l} $.

Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als

$ R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12} $,

wobei $ R^{ij} $ der Endomorphismus von $ \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n} $ ist, der auf den Faktoren $ i,j $ als $ R $ wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also

$ R^{12}=R\otimes id,R^{23}=id\otimes R $

und

$ R^{13}(e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{k})=\sum _{a,b}r_{ik}^{ab}e_{a}\otimes e_{j}\otimes e_{b} $.

R-Matrizen in der Quantenmechanik

Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.

R-Matrizen in der Knotentheorie

Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.

Literatur

• Yang-Baxter equation. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• J. Park, H. Au-Yang: Yang-Baxter equations. In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematical Physics. Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473.
• M. Jimbo: Quantum R matrix for the generalized Toda system. In: Comm. Math. Phys. 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547.