imported>Kuebi (falschen Parameter raus) |
imported>Mabschaaf (Volltext ggf. nicht (mehr) frei verfügbar, -toter Link) |
||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
Die '''Kramers-Heisenberg-Formel''' oder | Die '''Kramers-Heisenberg-Formel''' oder '''Kramers-Heisenberg-Dispersionsformel''' ist ein [[Mathematik|mathematischer Ausdruck]] zur Beschreibung des [[Wirkungsquerschnitt]]s bei der [[Streuung (Physik)|Streuung]] von [[Photon]]en an einem [[Elektron]], das an ein [[Atom]] gebunden ist. [[Hendrik Anthony Kramers|Hendrik Kramers]] und [[Werner Heisenberg]] wandten sie 1925<ref name=KH>{{cite journal | ||
| last = Kramers | | last = Kramers | ||
| first = H. A. | | first = H. A. | ||
| Zeile 11: | Zeile 11: | ||
| pages = 681–708 | | pages = 681–708 | ||
| date = Feb 1925 | | date = Feb 1925 | ||
| doi = 10.1007/BF02980624 | | doi = 10.1007/BF02980624 | ||
|bibcode = 1925ZPhy...31..681K }}</ref>, basierend auf dem [[Korrespondenzprinzip]] auf die klassische Dispersionsformel für Licht | | bibcode = 1925ZPhy...31..681K }}</ref>, basierend auf dem [[Korrespondenzprinzip]], auf die klassische Dispersionsformel für Licht an. | ||
Die quantenmechanische Ableitung | Die quantenmechanische Ableitung leitete [[Paul Dirac]] im Jahr 1927<ref>{{cite journal | ||
| last = Dirac. | | last = Dirac. | ||
| first = P. A. M. | | first = P. A. M. | ||
| Zeile 25: | Zeile 24: | ||
| year = 1927 | | year = 1927 | ||
| doi = 10.1098/rspa.1927.0039 | | doi = 10.1098/rspa.1927.0039 | ||
|bibcode = 1927RSPSA.114..243D }}</ref><ref>{{cite journal | | bibcode = 1927RSPSA.114..243D }}</ref><ref>{{cite journal | ||
| last = Dirac. | | last = Dirac. | ||
| first = P. A. M. | | first = P. A. M. | ||
| Zeile 36: | Zeile 35: | ||
| year = 1927 | | year = 1927 | ||
| doi = 10.1098/rspa.1927.0071 | | doi = 10.1098/rspa.1927.0071 | ||
|bibcode = 1927RSPSA.114..710D }}</ref>, noch vor der Etablierung der [[Quantenmechanik]], | | bibcode = 1927RSPSA.114..710D }}</ref>, noch vor der Etablierung der [[Quantenmechanik]], ab. | ||
Die Kramers-Heisenberg-Formel war zum Zeitpunkt der Veröffentlichung eine bedeutende Errungenschaft, denn sie erklärt unter | Die Kramers-Heisenberg-Formel war zum Zeitpunkt der Veröffentlichung eine bedeutende Errungenschaft, denn sie erklärt unter anderem die Vorstellung der „negativen Absorption“ ([[stimulierte Emission]]), die [[Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel]] sowie die [[inelastische Streuung]] – bei der die [[Energie]] des gestreuten Photons <math> \hbar \omega_k^\prime </math> größer oder kleiner als die des einfallenden Photons <math> \hbar \omega_k </math> ist. Damit wird auch der Zusammenhang zum [[Raman-Effekt]] herstellt.<ref>{{Cite journal | ||
| last = Breit | | last = Breit | ||
| first = G. | | first = G. | ||
| Zeile 47: | Zeile 46: | ||
| pages = 504–576 | | pages = 504–576 | ||
| year = 1932 | | year = 1932 | ||
| doi = 10.1103/RevModPhys.4.504 | | doi = 10.1103/RevModPhys.4.504 | ||
|bibcode = 1932RvMP....4..504B }}</ref> | | bibcode = 1932RvMP....4..504B }}</ref> | ||
== Formel == | == Formel == | ||
| Zeile 55: | Zeile 53: | ||
:<math> \frac{d^2 \sigma}{d\Omega_{k^\prime}d(\hbar \omega_k^\prime)}=\frac{\omega_k^\prime}{\omega_k}\sum_{|f\rangle}\left | \sum_{|n\rangle} \frac{\langle f | T^\dagger | n \rangle \langle n | T | i \rangle}{E_i - E_n + \hbar \omega_k + i \frac{\Gamma_n}{2}}\right |^2 \delta (E_i - E_f + \hbar \omega_k - \hbar \omega_k^\prime)</math> | :<math> \frac{d^2 \sigma}{d\Omega_{k^\prime}d(\hbar \omega_k^\prime)}=\frac{\omega_k^\prime}{\omega_k}\sum_{|f\rangle}\left | \sum_{|n\rangle} \frac{\langle f | T^\dagger | n \rangle \langle n | T | i \rangle}{E_i - E_n + \hbar \omega_k + i \frac{\Gamma_n}{2}}\right |^2 \delta (E_i - E_f + \hbar \omega_k - \hbar \omega_k^\prime)</math> | ||
Sie macht eine Aussage über die [[Wahrscheinlichkeit]] der Emission von Photonen der Energie <math> \hbar \omega_k^\prime </math> in den Raumwinkel <math>d\Omega_{k^\prime}</math> (zentriert in der <math>k^\prime</math>-Richtung), nach der Anregung des Systems mit Photonen der Energie <math> \hbar \omega_k</math>. Dabei ist <math>|i\rangle</math> der Anfangszustand, <math>|n\rangle </math> der intermediäre Zustand und <math>|f\rangle</math> der Endzustand des Systems mit der Energie <math>E_i , E_n , E_f</math>. Die Delta-Funktion <math>\delta (E) </math> sorgt dabei, wie auch in [[ | Sie macht eine Aussage über die [[Wahrscheinlichkeit]] der Emission von Photonen der Energie <math> \hbar \omega_k^\prime </math> in den Raumwinkel <math>d\Omega_{k^\prime}</math> (zentriert in der <math>k^\prime</math>-Richtung), nach der Anregung des Systems mit Photonen der Energie <math> \hbar \omega_k</math>. Dabei ist <math>|i\rangle</math> der Anfangszustand, <math>|n\rangle </math> der intermediäre Zustand und <math>|f\rangle</math> der Endzustand des Systems mit der Energie <math>E_i , E_n , E_f</math>. Die Delta-Funktion <math>\delta (E) </math> sorgt dabei, wie auch in [[Fermis Goldene Regel|„Fermis Goldener Regel“]], für die [[Energieerhaltung]] während des gesamten Streuprozesses. <math>T</math> ist dabei die Übergangsmatrix oder auch Übergangoperator. <math>\Gamma_n </math> ist die intrinsische Linienbreite (natürliche Linienbreite) des intermediären Zustandes. | ||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
Die Kramers-Heisenberg-Formel oder Kramers-Heisenberg-Dispersionsformel ist ein mathematischer Ausdruck zur Beschreibung des Wirkungsquerschnitts bei der Streuung von Photonen an einem Elektron, das an ein Atom gebunden ist. Hendrik Kramers und Werner Heisenberg wandten sie 1925[1], basierend auf dem Korrespondenzprinzip, auf die klassische Dispersionsformel für Licht an. Die quantenmechanische Ableitung leitete Paul Dirac im Jahr 1927[2][3], noch vor der Etablierung der Quantenmechanik, ab.
Die Kramers-Heisenberg-Formel war zum Zeitpunkt der Veröffentlichung eine bedeutende Errungenschaft, denn sie erklärt unter anderem die Vorstellung der „negativen Absorption“ (stimulierte Emission), die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel sowie die inelastische Streuung – bei der die Energie des gestreuten Photons $ \hbar \omega _{k}^{\prime } $ größer oder kleiner als die des einfallenden Photons $ \hbar \omega _{k} $ ist. Damit wird auch der Zusammenhang zum Raman-Effekt herstellt.[4]
Die Kramers-Heisenberg-Formel für Prozesse zweiter Ordnung ist[1][5]
Sie macht eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit der Emission von Photonen der Energie $ \hbar \omega _{k}^{\prime } $ in den Raumwinkel $ d\Omega _{k^{\prime }} $ (zentriert in der $ k^{\prime } $-Richtung), nach der Anregung des Systems mit Photonen der Energie $ \hbar \omega _{k} $. Dabei ist $ |i\rangle $ der Anfangszustand, $ |n\rangle $ der intermediäre Zustand und $ |f\rangle $ der Endzustand des Systems mit der Energie $ E_{i},E_{n},E_{f} $. Die Delta-Funktion $ \delta (E) $ sorgt dabei, wie auch in „Fermis Goldener Regel“, für die Energieerhaltung während des gesamten Streuprozesses. $ T $ ist dabei die Übergangsmatrix oder auch Übergangoperator. $ \Gamma _{n} $ ist die intrinsische Linienbreite (natürliche Linienbreite) des intermediären Zustandes.
