Kompressionsmodul: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 15. Februar 2022, 22:21 Uhr

Verformung unter gleichmäßigem Druck

Kompressionsmodul einiger Stoffe
Stoff	Kompressionsmodul in GPa
Luft (unter Normalbedingung)	001,01·10⁻⁴ (isotherm) 001,42·10⁻⁴ (adiabatisch)
Helium (fest)	000,05 (geschätzt)
Methanol	000,823
Ethanol	000,896
Aceton	000,92
Öl	001…1,6^[1]
Caesium	001,6
Wasser	002,08 (000,1 MPa) 002,68 (100,0 MPa)
Rubidium	002,5
Glycerin	004,35
Natrium	006,3
Iod	007,7
Methanhydrat	009,1 (Mittelwert im Bereich 10…100 MPa)
Barium	009,6
Lithium	011
Quecksilber	028,5
Bismut	031
Glas	035…55
Blei	046
Aluminium	076
Stahl	160
Gold	180
Borcarbid	271
Magnesiumoxid	277
Bor	320
Rhodium	380
Diamant	442
Osmium	462
Aggregierte Diamant- Nanostäbchen (ADNR)	491 (härtestes 2008 bekanntes Material^[2])
Hintergrundfarben: Gase Flüssigkeiten Feststoffe

Der Kompressionsmodul (Formelzeichen K) ist eine intensive und stoffeigene physikalische Größe aus der Elastizitätslehre. Er beschreibt, welche allseitige Druckänderung nötig ist, um eine bestimmte Volumenänderung hervorzurufen (dabei darf kein Phasenübergang auftreten). Die SI-Einheit des Kompressionsmoduls ist daher Pascal bzw. Newton pro Quadratmeter.

Dass Stoffe einer Kompression (Verdichtung, Komprimierung) Widerstand entgegensetzen, beruht in erster Linie auf Wechselwirkungen der enthaltenen Elektronen.

Allgemeines

Die Kompression ist ein (allseitiges) Zusammendrücken eines Körpers/massegefüllten Raumes, welcher sein Volumen verringert und seine Dichte (Massendichte) erhöht. Körper werden nur als kompressibel bezeichnet, wenn die auftretenden Druckveränderungen ausreichen, um merkliche Dichteänderungen zu verursachen, was meist (nur) bei Gasen der Fall ist. Wenn keine merklichen Dichteänderungen auftreten, nennt man die Körper inkompressibel (siehe auch inkompressibles Fluid).

In der Festigkeitslehre wird im Allgemeinen jeder Festkörper als verformbar angenommen (sowohl in Form (reiner Schub) als auch bzgl. hydrostatischer Volumenveränderungen (kompressibel)). Nach dem Vorgang ist der Körper verdichtet (komprimiert). In der Regel erfolgt nur eine elastische Verformung, d. h., beim Nachlassen des Drucks kehrt sich die Verdichtung wieder um, der Körper dehnt sich wieder aus (Expansion). Abhängig vom Material kann aber auch eine bleibende Änderung der Struktur eintreten (z. B. plastische Verformung, Zerbröseln von Beton, Kornumlagerungen im Grundbau).

Der Kompressionsmodul beschreibt nur den spontan elastischen Anteil (des hydrostatischen Anteiles) der Volumenänderung, weder plastische noch bruchmechanische noch viskoelastische Anteile gehen ein, auch eventuelle thermische Verformungen werden vorher abgezogen.

Die Beziehung zwischen dem Volumen eines Festkörpers und dem auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Druck wird beschrieben durch die Gleichungen nach Murnaghan und Birch.

Definition

Der Kompressionsmodul ist definiert über die spontan elastische Veränderung des Volumens (und damit der Dichte) zufolge eines Drucks bzw. mechanischer Spannung:

K:=-V\cdot \underbrace {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} V}} _{<0}=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} V/V}}>0

Dabei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:

$ V $

– Volumen

\mathrm {d} p

– infinitesimale Druckänderung

\mathrm {d} V

– infinitesimale Volumenänderung

\mathrm {d} V/V

– relative Volumenänderung.

Das negative Vorzeichen wurde gewählt, da Druckzuwachs das Volumen verringert ( $\mathrm {d} V/\mathrm {d} p$ ist negativ), praktischerweise $$ K $$ aber positiv sein sollte. Der Kompressionsmodul hängt u. a. von der Temperatur und vom Druck ab.

Der Kompressionsmodul stellt eine Spannung bzw. jenen fiktiven Druck dar, bei dem das Volumen zu Null werden würde, wenn lineare Elastizität, d. h. $\mathrm {d} p/\mathrm {d} V=\mathrm {const}$ , und geometrische Linearität in den Ortskoordinaten (somit nicht in den Materialkoordinaten) gegeben wäre, also der Kompressionsmodul bei höheren Drücken nicht ansteigen würde.

Kompressibilität

Kompressibilität ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel. Zum Kompressibilitätsfaktor Z als Maß der Abweichung von der Zustandsgleichung des idealen Gases siehe Kompressibilitätsfaktor.

Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile auf den Kompressionsmodul eines speziellen Basisglases.^[3]

Bei Gasen und Flüssigkeiten wird statt des Kompressionsmoduls oft sein Kehrwert verwendet. Dieser wird Kompressibilität (Formelzeichen: κ oder χ) oder auch Kompressibilitätskoeffizient genannt:

\kappa ={\frac {1}{K}}=-{\frac {\mathrm {d} V/V}{\mathrm {d} p}}=-{\frac {1}{V}}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} p}}

.

Man unterscheidet

isotherme Kompressibilität $\kappa _{T}$ (bei konstanter Temperatur $$ T $$ und konstanter Teilchenzahl $$ N $$ ), wobei $$ F(T,V,N) $$ die Freie Energie ist:
$\kappa _{T}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T,N}={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial V^{2}}}\right)_{T,N}^{-1}$
adiabatische Kompressibilität $\kappa _{S}$ (bei konstanter Entropie $$ S $$ und konstanter Teilchenzahl $$ N $$ ), wobei $$ U(S,V,N) $$ die Innere Energie ist:
$\kappa _{S}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{S,N}={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial V^{2}}}\right)_{S,N}^{-1}\;.$

In der Näherung eines idealen Gases berechnet sich

die isotherme Kompressibilität nach dem Boyle-Mariotte-Gesetz: $\kappa _{T}={\frac {1}{p}}$
die adiabatische Kompressibilität nach der Adiabatengleichung für ein ideales Gas: $\kappa _{S}={\frac {1}{\gamma \cdot p}}\;,$

wobei $\gamma$ (oft auch als $\kappa$ bezeichnet) der Isentropenexponent ist.

Die Kompressibilität von Flüssigkeiten wurde lange bezweifelt, bis sie John Canton 1761, Jacob Perkins 1820 und Hans Christian Oersted 1822 durch Messungen nachweisen konnten.

Kompressionsmodul von Festkörpern mit isotropem Materialverhalten

Unter Voraussetzung linear-elastischen Verhaltens und isotropen Materials kann man den Kompressionsmodul $$ K $$ aus anderen Elastizitätskonstanten berechnen:

K={\frac {E}{3-6\nu }}={\frac {GE}{9G-3E}}={\frac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}

mit

$ E $

– Elastizitätsmodul

$ G $

– Schubmodul

\nu

– Poissonzahl

Wasser

Wasserdruck mit und ohne Kompressibilität

Der Kompressionsmodul von Wasser beträgt bei einer Temperatur von 10 °C unter Normaldruck 2,08·10⁹ Pa bei 0,1 MPa und 2,68·10⁹ Pa bei 100 MPa.

Bezieht man die Kompressibilität des Wassers in die Berechnung des Drucks mit ein, ergibt sich mit der Kompressibilität

\kappa =-{\frac {\mathrm {d} V}{V\cdot \mathrm {d} p}}=0{,}5{\frac {1}{\mathrm {GPa} }}

das rechte Diagramm.

Bei einer Dichte von 1000 kg/m³ an der Oberfläche erhöht sich durch die Kompressibilität des Wassers die Dichte in 12 km Tiefe auf dort 1051 kg/m³. Der zusätzliche Druck durch die höhere Dichte von Wasser in der Tiefe beläuft sich auf etwa 2,6 Prozent gegenüber dem Wert bei Vernachlässigung der Kompressibilität. Hierbei bleiben jedoch die im Meer weiterhin vorherrschenden Einflüsse von Temperatur, Gas- und Salzgehalten unberücksichtigt.

Neutronensterne

Bei Neutronensternen sind unter dem Druck der Gravitation alle Atomhüllen zusammengebrochen und aus Elektronen der Hüllen und Protonen der Atomkerne sind Neutronen entstanden. Neutronen sind die inkompressibelste Form der Materie, die bekannt ist. Ihr Kompressionsmodul liegt 20 Größenordnungen über dem von Diamant unter Normalbedingung.

Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten

	…ergibt sich aus:^[4]
Der Modul…	$(K,\,E)$	$(K,\,\lambda )$	$(K,\,G)$	$(K,\,\nu )$	$(E,\,\lambda )$	$(E,\,G)$	$(E,\,\nu )$	$(\lambda ,\,G)$	$(\lambda ,\,\nu )$	$(G,\,\nu )$	$(G,\,M)$
Kompressionsmodul $K\,$	$$ K $$	$$ K $$	$$ K $$	$$ K $$	$(E+3\lambda )+{\frac {\sqrt {(E+3\lambda )^{2}-4\lambda E}}{6}}$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\frac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$
Elastizitätsmodul $E\,$	$$ E $$	${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$	${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$3K(1-2\nu )\,$	$$ E $$	$$ E $$	$$ E $$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$	${\frac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$
1. Lamé-Konstante $\lambda \,$	${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	$\lambda$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	$\lambda$	${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$	${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	$\lambda$	$\lambda$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$	$M-2G\,$
Schubmodul $$ G $$ bzw. $\mu$ (2. Lamé-Konstante)	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	$$ G $$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$	$(E-3\lambda )+{\frac {\sqrt {(E-3\lambda )^{2}+8\lambda E}}{4}}$	$$ G $$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$	$$ G $$	${\frac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$	$$ G $$	$$ G $$
Poissonzahl $\nu \,$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$\nu$	$-(E+\lambda )+{\frac {\sqrt {(E+\lambda )^{2}+8\lambda ^{2}}}{4\lambda }}$	${\tfrac {E}{2G}}-1$	$\nu$	${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\nu$	$\nu$	${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
Longitudinalmodul $M\,$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$	$3K-2\lambda \,$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$		${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$	${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	$\lambda +2G\,$		${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$	$$ M $$

Siehe auch

thermische Zustandsgleichung
Kontinuumsmechanik
Elastizitätslehre

Einzelnachweise

↑ Dieter Will, Norbert Gebhardt, Reiner Nollau, Dieter Herschel, Hubert Ströhl: Druckflüssigkeiten. In: Dieter Will, Norbert Gebhardt (Hrsg.): Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen. 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17243-4, S. 13–40, hier: 21 f., doi:10.1007/978-3-642-17243-4_3 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter: Aggregated diamond nanorods, the densest and least compressible form of carbon. In: Applied Physics Letters. Band 87, Nr. 8, 16. August 2005, S. 083106, doi:10.1063/1.2034101.
↑ Glassproperties.com Calculation of the Bulk Modulus for Glasses
↑ G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin: The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-54344-4 (paperback).

[WillGebhardt2011-1] Dieter Will, Norbert Gebhardt, Reiner Nollau, Dieter Herschel, Hubert Ströhl: Druckflüssigkeiten. In: Dieter Will, Norbert Gebhardt (Hrsg.): Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen. 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17243-4, S. 13–40, hier: 21 f., doi:10.1007/978-3-642-17243-4_3 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[Dubrovinskaia_et_al._2005-2] Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter: Aggregated diamond nanorods, the densest and least compressible form of carbon. In: Applied Physics Letters. Band 87, Nr. 8, 16. August 2005, S. 083106, doi:10.1063/1.2034101.

[3] Glassproperties.com Calculation of the Bulk Modulus for Glasses

[4] G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin: The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-54344-4 (paperback).

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-Der '''Kompressionsmodul''' ([[Formelzeichen]]: ''K'') ist eine [[Intensive Größe|intensive]] und stoffeigene [[Physik|physikalische Größe]] aus der [[Elastizität (Mechanik)|Elastizitätslehre]]. Er beschreibt, welche allseitige [[Druck (Physik)|Druck]]<nowiki />änderung nötig ist, um eine bestimmte [[Volumen]]<nowiki />änderung hervorzurufen (dabei darf kein Phasenübergang auftreten). Die Eigenschaft von Stoffen, dass sie einer Komprimierung Widerstand entgegensetzen, beruht in erster Linie auf Wechselwirkungen der in ihnen enthaltenen Elektronen.
+[[Datei:Isostatic pressure deformation.svg|300px|mini|Verformung unter gleichmäßigem Druck]]
-Die ''Kompression'', ''Verdichtung'', ''Komprimierung'' ist ein (allseitiges) ''Zusammendrücken'' eines Körpers, welches dessen Volumen verringert und seine [[Dichte (Physik)|Dichte (Massendichte)]] erhöht. Körper werden nur als kompressibel bezeichnet, wenn die auftretenden Druckveränderungen ausreichen, um merkliche Dichteänderungen zu verursachen, was meist (nur) bei Gasen der Fall ist. In der [[Festigkeitslehre]] wird im Allgemeinen jeder Festkörper als verformbar (in Form (reiner Schub) als auch hydrostatische Volumsveränderungen (kompressibel)) angenommen. Nach dem Vorgang ist der Körper verdichtet (komprimiert). In der Regel erfolgt nur eine elastische Verformung und die Verdichtung kehrt sich beim Nachlassen des Drucks wieder um, der Körper dehnt sich wieder aus (Ausdehnung&nbsp;= Expansion). Bei Festkörpern kann abhängig von Material eine bleibende Änderung der Struktur eintreten (z.&nbsp;B. Zerbröseln des Betons, Kornumlagerungen im Grundbau). Der Kompressionsmodul beschreibt nur den spontan elastischen Anteil (des hydrostatischen Anteiles) der Volumensänderung, weder plastische noch bruchmechanische noch viskoelastische Anteile gehen ein. Der Kompressionsmodul wird ausschließlich über die spontan elastische Veränderung der Massendichte zufolge mechanischer Spannung definiert, also nach Abzug eventueller thermischer Verformungen.
-== Definition ==
 {| class="wikitable float-right"
 |+ Kompressionsmodul einiger Stoffe
@@ Zeile 9: / Zeile 5: @@
 ! Stoff
 ! Kompressionsmodul in GPa
+|- style="background:#FFFFC0;"
+| [[Luft]] (unter<br />[[Normalbedingung]])
+| {{0|00}}1,01·10<sup>−4</sup> (isotherm)<br />{{0}}{{0}}1,42·10<sup>−4</sup> (adiabatisch)
 |-
-| style="background-color:#FFFFF5;" | [[Luft]] &nbsp; (unter<br>[[Normalbedingung]])
+| [[Helium]] (fest)
-| style="background-color:#FFFFF5;" | {{0}}{{0}}1,01·10<sup>−4</sup> (isotherm)<br>{{0}}{{0}}1,42·10<sup>−4</sup> (adiabatisch)
+| {{0|00}}0,05 <small>(geschätzt)</small><!--http://www3.interscience.wiley.com/cgi-bin/abstract/105558571/ABSTRACT-->
-|-
+|- style="background:#DDFFDD"
-| [[Helium]] &nbsp; (fest)
+| [[Methanol]]
-| {{0}}{{0}}0,05<small>&nbsp;(geschätzt)</small><!--http://www3.interscience.wiley.com/cgi-bin/abstract/105558571/ABSTRACT-->
+| {{0|00}}0,823
-|-
+|- style="background:#DDFFDD"
-| style="background-color:#EEF;" | [[Methanol]]
+| [[Ethanol]]
-| style="background-color:#EEF;" | {{0}}{{0}}0,823
+| {{0|00}}0,896
-|-
+|- style="background:#DDFFDD"
-| style="background-color:#EEF;" | [[Ethanol]]
+| [[Aceton]]
-| style="background-color:#EEF;" | {{0}}{{0}}0,896
+| {{0|00}}0,92
-|-
+|- style="background:#DDFFDD"
-| style="background-color:#EEF;" | [[Aceton]]
+| [[Öle|Öl]]
-| style="background-color:#EEF;" | {{0}}{{0}}0,92
+| {{0|00}}1…1,6<ref name="WillGebhardt2011">{{Literatur |Autor = Dieter Will, Norbert Gebhardt, Reiner Nollau, Dieter Herschel, Hubert Ströhl |Herausgeber = Dieter Will, Norbert Gebhardt |Titel = Druckflüssigkeiten |Sammelwerk = Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen |Ort = Berlin/Heidelberg |Verlag = Springer |Datum = 2011|Auflage=5. |ISBN = 978-3-642-17243-4 |Seiten = 13–40, hier: 21 f. |DOI= 10.1007/978-3-642-17243-4_3|Online = {{Google Buch|BuchID=7Fwan8O6ULYC|Seite=21}}}}</ref>
-|-
-| style="background-color:#EEF;" | [[Öl]]
-| style="background-color:#EEF;" | {{0}}{{0}}1 ... 1,6 <ref name="WillGebhardt2011">{{cite book|author=Dieter Will, Norbert Gebhardt|title=Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen|url=http://books.google.com/books?id=7Fwan8O6ULYC&pg=PA21|date=1 June 2011|publisher=Springer DE|isbn=978-3-642-17242-7|pages=21–}}</ref>
 |-
 | [[Caesium]]
 | {{0}}{{0}}1,6
-|-
+|- style="background:#DDFFDD"
-| style="background-color:#EEF;" | [[Wasser]]
+| [[Wasser]]
-| style="background-color:#EEF;" | {{0}}{{0}}2,08 (0,1 MPa)<br>{{0}}{{0}}2,68 (100 MPa)<!--http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/permot3.html, Perry's Handbook, Seventh Ed'n, p. 2-149, http://www.mhhe.com/engcs/civil/finnemore/graphics/ch02.pdf-->
+| {{0|00}}2,08 ({{0|00}}0,1 MPa)<br />{{0|00}}2,68 (100{{0|,0}} MPa)<!--http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/permot3.html, Perry's Handbook, Seventh Ed'n, p. 2–149, http://www.mhhe.com/engcs/civil/finnemore/graphics/ch02.pdf-->
 |-
 | [[Rubidium]]
-| {{0}}{{0}}2,5
+| {{0|00}}2,5
-|-
+|- style="background:#DDFFDD"
-| style="background-color:#EEF;" | [[Glycerin]]
+| [[Glycerin]]
-| style="background-color:#EEF;" | {{0}}{{0}}4,35
+| {{0|00}}4,35
 |-
 | [[Natrium]]
-| {{0}}{{0}}6,3
+| {{0|00}}6,3
 |-
 | [[Iod]]
@@ Zeile 47: / Zeile 43: @@
 |-
 | [[Methanhydrat]]
-| {{0}}{{0}}9,1<!--http://ediss.uni-goettingen.de/handle/11858/00-1735-0000-0006-B693-A--> <small>&nbsp;(Mittelwert im Bereich 10...100 MPa)</small><!--REF: Klapproth, Alice: Strukturuntersuchungen an Methan- und Kohlenstoffdioxid-Clathrat-Hydraten, Diss. 2002/2004, p 90-->
+| {{0|00}}9,1<!--http://ediss.uni-goettingen.de/handle/11858/00-1735-0000-0006-B693-A--> <small>(Mittelwert im Bereich 10…100 MPa)</small><!--REF: Klapproth, Alice: Strukturuntersuchungen an Methan- und Kohlenstoffdioxid-Clathrat-Hydraten, Diss. 2002/2004, p 90-->
 |-
 | [[Barium]]
-| {{0}}{{0}}9,6
+| {{0|00}}9,6
 |-
 | [[Lithium]]
 | {{0}}11
-|-
+|- style="background:#DDFFDD"
-| style="background-color:#EEF;" | Quecksilber
+| [[Quecksilber]]
-| style="background-color:#EEF;" | {{0}}28,5
+| {{0}}28,5
 |-
 | [[Bismut]]
@@ Zeile 62: / Zeile 58: @@
 |-
 | [[Glas]]
-| {{0}}35 ... 55
+| {{0}}35…55
 |-
 | [[Blei]]
@@ Zeile 94: / Zeile 90: @@
 | 462
 |-
-| [[Aggregierte Diamant-Nanostäbchen|Aggregierte Diamant-<br>Nanostäbchen]] (ADNR)
+| [[Aggregierte Diamant-Nanostäbchen|Aggregierte Diamant-<br />Nanostäbchen]] (ADNR)
-| 491<small>&nbsp;(härtestes 2008 bekanntes Material<ref name="Dubrovinskaia et al. 2005">Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter. ''Aggregated diamond nanorods, the densest and least compressible form of carbon.'' Applied Physics Letters, 22. August 2005.</ref>)</small>
+| 491 <small>(härtestes 2008 bekanntes Material<ref name="Dubrovinskaia et al. 2005">{{Literatur |Autor = Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter |Titel = Aggregated diamond nanorods, the densest and least compressible form of carbon |Sammelwerk = Applied Physics Letters |Band = 87 |Datum = 2005-08-16 |Nummer = 8 |Seiten = 083106 |DOI= 10.1063/1.2034101}}</ref>)</small>
-|-
+|- style="background:#FFFFFF;"
+| colspan="2" style="text-align:center;" | Hintergrundfarben: {{Farbindex|FFFFC0|Gase|5=g}} {{Farbindex|DDFFDD|Flüssigkeiten|5=g}} {{Farbindex|F8F9FA|Feststoffe|5=g}}
 |}
-Der Kompressionsmodul ist definiert als:
-: <math>K := - V \cdot \frac {  \mathrm d p} {\mathrm d V} = - \frac {\mathrm d p} {\mathrm d V/V}</math>
-Das negative [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wurde gewählt, da Druckzuwachs das Volumen verringert (<math>\mathrm{d}V/\mathrm{d}p</math> ist negativ), praktischerweise <math>K</math> aber positiv sein sollte. Die [[SI-Einheitensystem|SI-Einheit]] des Kompressionsmoduls ist [[Pascal (Einheit)|Pascal]] bzw. [[Newton (Einheit)|Newton]] pro [[Quadratmeter]]. Der Kompressionsmodul ist eine [[Materialkonstante]], die unter anderem von der [[Temperatur]] und vom [[Druck (Physik)|Druck]] abhängig ist. Der Kompressionsmodul stellt eine Spannung (z.&nbsp;B. in <math>\mathrm{\tfrac{N}{m^2}}</math>) dar, welche jenen fiktiven Druck darstellt, bei dem das Volumen zu Null werden würde, wenn lineare Elastizität, d.&nbsp;h. <math>\mathrm{d}p/\mathrm{d}V = \mathrm{const}</math>, und geometrische Linearität in den Ortskoordinaten (somit nicht in den Materialkoordinaten) gegeben wäre, also der Kompressionsmodul bei höheren Drücken nicht ansteigen würde.
+Der '''Kompressionsmodul''' ([[Formelzeichen]]&nbsp;''K'') ist eine [[Intensive Größe|intensive]] und [[Stoffeigene Größe|stoffeigene]] [[physikalische Größe]] aus der [[Elastizität (Mechanik)|Elastizitäts]]<nowiki />lehre. Er beschreibt, welche allseitige [[Druck (Physik)|Druck]]<nowiki />änderung nötig ist, um eine bestimmte [[Volumen]]<nowiki />änderung hervorzurufen (dabei darf ''kein'' [[Phasenübergang]] auftreten). Die [[SI-Einheitensystem|SI-Einheit]] des Kompressionsmoduls ist daher [[Pascal (Einheit)|Pascal]] bzw. [[Newton (Einheit)|Newton]] pro [[Quadratmeter]].
+Dass Stoffe einer Kompression ''(Verdichtung, Komprimierung)'' Widerstand entgegensetzen, beruht in erster Linie auf Wechselwirkungen der enthaltenen Elektronen.
+== Allgemeines ==
+Die '''Kompression''' ist ein (allseitiges) ''Zusammendrücken'' eines Körpers/massegefüllten Raumes, welcher sein Volumen verringert und seine [[Dichte (Physik)|Dichte (Massendichte)]] erhöht. Körper werden nur als kompressibel bezeichnet, wenn die auftretenden Druckveränderungen ausreichen, um merkliche Dichteänderungen zu verursachen, was meist (nur) bei Gasen der Fall ist. Wenn keine merklichen Dichteänderungen auftreten, nennt man die Körper [[Inkompressibilität|inkompressibel]] (siehe auch [[inkompressibles Fluid]]).
+In der [[Festigkeitslehre]] wird im Allgemeinen jeder [[Festkörper]] als [[Verformung|verformbar]] angenommen (sowohl in Form (reiner Schub) als auch bzgl. hydrostatischer Volumenveränderungen (kompressibel)). Nach dem Vorgang ist der Körper verdichtet (komprimiert). In der Regel erfolgt nur eine [[elastische Verformung]], d.&nbsp;h., beim Nachlassen des Drucks kehrt sich die Verdichtung wieder um, der Körper dehnt sich wieder aus (Expansion). Abhängig vom Material kann aber auch eine bleibende Änderung der Struktur eintreten (z.&nbsp;B. [[plastische Verformung]], Zerbröseln von Beton, Kornumlagerungen im [[Grundbau]]).
+Der Kompressionsmodul beschreibt nur den spontan elastischen Anteil (des hydrostatischen Anteiles) der Volumenänderung, weder plastische noch [[Bruchmechanik|bruchmechanische]] noch [[viskoelastisch]]e Anteile gehen ein, auch eventuelle [[thermische Verformung]]en werden vorher abgezogen.
+Die Beziehung zwischen dem Volumen eines Festkörpers und dem auf ihn wirkenden äußeren [[Spannungszustand #Hydrostatischer Spannungszustand|hydrostatischen Druck]] wird beschrieben durch die  [[Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan|Gleichungen nach Murnaghan und Birch]].
+== Definition ==
+Der Kompressionsmodul ist definiert über die spontan elastische Veränderung des Volumens (und damit der Dichte) zufolge eines Drucks bzw. mechanischer Spannung:
-Hierbei stehen die einzelnen [[Formelzeichen]] für folgende [[Physikalische Größen und ihre Einheiten|Größen]]:
+: <math>K := - V \cdot \underbrace {\frac{\mathrm d p} {\mathrm d V}}_{< 0} = - \frac {\mathrm d p} {\mathrm d V/V} > 0</math>
-:<math>V</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; – Volumen
-:<math>\mathrm{d} p</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; – [[Infinitesimalzahl|infinitesimale]] Druckänderung
-:<math>\mathrm{d} V</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; – infinitesimale Volumenänderung
-:<math>\mathrm{d} V / V</math> – relative Volumenänderung
-== Kompressibilität ==
+Dabei stehen die einzelnen [[Formelzeichen]] für folgende Größen:
-[[Datei:Glaskompressionsmodul.gif|upright=1.61|mini|Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile auf den Kompressionsmodul eines speziellen Basisglases.<ref>[http://www.glassproperties.com/bulk_modulus/ Glassproperties.com ''Calculation of the Bulk Modulus for Glasses'']</ref>]]
+: <math>V</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; – Volumen
+: <math>\mathrm{d} p</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; – [[Infinitesimalzahl|infinitesimale]] Druckänderung
+: <math>\mathrm{d} V</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; – infinitesimale Volumenänderung
+: <math>\mathrm{d} V / V</math> – relative Volumenänderung.
-Der Kehrwert des Kompressionsmoduls ist die '''Kompressibilität''' (Formelzeichen: [[Kappa|''κ'']] oder [[Chi|χ]]), auch '''Kompressibilitätskoeffizient'''. Dieser wird oft bei [[Gas]]en und [[Flüssigkeit]]en anstatt des Kompressionsmoduls verwendet.
+Das negative [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wurde gewählt, da Druckzuwachs das Volumen verringert (<math>\mathrm{d}V/\mathrm{d}p</math> ist negativ), praktischerweise <math>K</math> aber positiv sein sollte. Der Kompressionsmodul hängt u.&nbsp;a. von der [[Temperatur]] und vom Druck ab.
-: <math>\kappa = \frac{1}{K} = - \frac{\mathrm d V/V}{\mathrm d p} = - \frac{1}{V} \frac{\mathrm d V}{\mathrm d p}</math>.
+Der Kompressionsmodul stellt eine [[Mechanische Spannung|Spannung]] bzw. jenen fiktiven Druck dar, bei dem das Volumen zu Null werden würde, wenn lineare Elastizität, d.&nbsp;h. <math>\mathrm{d}p/\mathrm{d}V = \mathrm{const}</math>, und geometrische Linearität in den Ortskoordinaten (somit nicht in den Materialkoordinaten) gegeben wäre, also der Kompressionsmodul bei höheren Drücken nicht ansteigen würde.
-Man unterscheidet zwischen '''isothermer Kompressibilität''' <math>\kappa_{T}</math> (konstante [[Temperatur]] <math>T</math> und konstante [[Teilchenzahl]] <math>N</math>), wobei <math>F(T,V,N)</math> die [[Freie Energie]] ist
+== Kompressibilität ==
+{{Weiterleitungshinweis|Kompressibilität|Zum Kompressibilitätsfaktor ''Z'' als Maß der Abweichung von der Zustandsgleichung des idealen Gases siehe [[Kompressibilitätsfaktor]].}}
+[[Datei:Glaskompressionsmodul.gif|mini|Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile auf den Kompressionsmodul eines speziellen Basisglases.<ref>[http://www.glassproperties.com/bulk_modulus/ Glassproperties.com ''Calculation of the Bulk Modulus for Glasses'']</ref>]]
-: <math>\kappa_{T} = - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{T,N} = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial^{2} F}{\partial V^{2}} \right)^{-1}_{T,N}</math>
+Bei [[Gas]]en und [[Flüssigkeit]]en wird statt des Kompressionsmoduls oft sein Kehrwert verwendet. Dieser wird '''Kompressibilität''' (Formelzeichen: [[Kappa|''κ'']] oder [[Chi|χ]]) oder auch '''Kompressibilitätskoeffizient''' genannt:
-und '''adiabatischer Kompressibilität''' <math>\kappa_{S}</math> (konstante [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] <math>S</math> und konstante Teilchenzahl <math>N</math>), wobei <math>U(S,V,N)</math> die [[Innere Energie]] ist
+: <math>\kappa = \frac{1}{K} = - \frac{\mathrm d V/V}{\mathrm d p} = - \frac{1}{V} \frac{\mathrm d V}{\mathrm d p}</math>.
-: <math>\kappa_{S} = - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{S,N} = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial^{2} U}{\partial V^{2}} \right)^{-1}_{S,N}\;.</math>
+Man unterscheidet
-In der Näherung eines [[Ideales_Gas|idealen Gases]] berechnet sich die isotherme Kompressibilität nach dem [[Boyle-Mariotte-Gesetz]] und die adiabatische Kompressibilität nach der [[adiabatische Zustandsänderung|Adiabatengleichung für ein ideales Gas]] zu:
+* '''[[isotherm]]e Kompressibilität''' <math>\kappa_{T}</math> (bei konstanter [[Temperatur]] <math>T</math> und konstanter [[Teilchenzahl]] <math>N</math>), wobei <math>F(T,V,N)</math> die [[Freie Energie]] ist:
-: <math>
+*: <math>\kappa_{T} = - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{T,N} = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial^{2} F}{\partial V^{2}} \right)^{-1}_{T,N}</math>
-\kappa_T=1/p\,
+* '''[[adiabatisch]]e Kompressibilität''' <math>\kappa_{S}</math> (bei konstanter [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] <math>S</math> und konstanter Teilchenzahl <math>N</math>), wobei <math>U(S,V,N)</math> die [[Innere Energie]] ist:
-</math>
+*:<math>\kappa_{S} = - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{S,N} = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial^{2} U}{\partial V^{2}} \right)^{-1}_{S,N} \; .</math>
-: <math>
+In der Näherung eines [[Ideales Gas|idealen Gases]] berechnet sich
-\kappa_S=1/(\gamma\, p)\;,
+* die isotherme Kompressibilität nach dem [[Boyle-Mariotte-Gesetz]]: <math>\kappa_T = \frac 1 p</math>
-</math>
+* die adiabatische Kompressibilität nach der [[Adiabatische Zustandsänderung|Adiabatengleichung für ein ideales Gas]]: <math>\kappa_S = \frac 1 {\gamma \cdot p} \; ,</math>
 wobei <math>\gamma</math> (oft auch als <math>\kappa</math> bezeichnet) der [[Isentropenexponent]] ist.
@@ Zeile 138: / Zeile 148: @@
 == Kompressionsmodul von Festkörpern mit isotropem Materialverhalten ==
-Unter Voraussetzung linear-elastischen Verhaltens und [[Isotropie|isotropen]] Materials kann man den Kompressionsmodul <math>K</math> aus anderen Elastizitätskonstanten berechnen:
+Unter Voraussetzung [[Linear-elastisches Verhalten|linear-elastischen Verhaltens]] und [[Isotropie|isotropen]] Materials kann man den Kompressionsmodul <math>K</math> aus anderen Elastizitätskonstanten berechnen:
 : <math>K = \frac {E} {3 - 6\nu} = \frac {GE} {9G - 3E} = \frac {2G(1+\nu)} {3(1-2\nu)}</math>
 mit
@@ Zeile 146: / Zeile 156: @@
 === Wasser ===
-[[Datei:Wasserdruck kompressibilitaet.png|mini|554px]]
+[[Datei:Wasserdruck kompressibilitaet.png|mini|Wasserdruck mit und ohne Kompressibilität]]
-Der Kompressionsmodul von [[Wasser]] beträgt bei einer Temperatur von 10&nbsp;°C unter Normaldruck 2,08·10<sup>9</sup>&nbsp;Pa bei 0,1 MPa und 2,68·10<sup>9</sup>&nbsp;Pa bei 100 MPa.
+Der Kompressionsmodul von [[Wasser]] beträgt bei einer Temperatur von 10&nbsp;°C unter Normaldruck 2,08·10<sup>9</sup>&nbsp;Pa bei 0,1&nbsp;MPa und 2,68·10<sup>9</sup>&nbsp;Pa bei 100&nbsp;MPa.
 Bezieht man die Kompressibilität des Wassers in die Berechnung des [[Druck (Physik)|Drucks]] mit ein, ergibt sich mit der Kompressibilität
-:<math>\kappa = - \frac{\mathrm d V}{V \cdot \mathrm d p} = 0{,}5 \frac{1}{\mathrm{GPa}}</math>
+: <math>\kappa = - \frac{\mathrm d V}{V \cdot \mathrm d p} = 0{,}5 \frac{1}{\mathrm{GPa}}</math>
 das rechte Diagramm.
-Bei einer Dichte von 1000&nbsp;kg/m³ an der Oberfläche erhöht sich durch die Kompressibilität des Wassers die Dichte in 12 km Tiefe auf dort 1051&nbsp;kg/m³. Der zusätzliche Druck durch die höhere Dichte von Wasser in der Tiefe beläuft sich auf etwa 2,6 Prozent gegenüber dem Wert bei Vernachlässigung der Kompressibilität. Hierbei bleiben jedoch die im Meer weiterhin vorherrschenden Einflüsse von Temperatur, Gas- und Salzgehalten unberücksichtigt.
+Bei einer Dichte von 1000&nbsp;kg/m³ an der Oberfläche erhöht sich durch die Kompressibilität des Wassers die Dichte in 12&nbsp;km Tiefe auf dort 1051&nbsp;kg/m³. Der zusätzliche Druck durch die höhere Dichte von Wasser in der Tiefe beläuft sich auf etwa 2,6 Prozent gegenüber dem Wert bei Vernachlässigung der Kompressibilität. Hierbei bleiben jedoch die im Meer weiterhin vorherrschenden Einflüsse von Temperatur, Gas- und Salzgehalten unberücksichtigt.
 === Neutronensterne ===
 Bei [[Neutronenstern]]en sind unter dem Druck der Gravitation alle Atomhüllen zusammengebrochen und aus Elektronen der Hüllen und Protonen der Atomkerne sind [[Neutron]]en entstanden. Neutronen sind die inkompressibelste Form der Materie, die bekannt ist. Ihr Kompressionsmodul liegt 20 [[Größenordnung]]en über dem von [[Diamant]] unter Normalbedingung.
+{{:Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten}}
-{{:Zusammenhänge zwischen Elastizitätsmoduln}}
 == Siehe auch ==
-* [[Kompression]] (Begriffsklärung)
-* [[Inkompressibilität]] und [[Inkompressibles Fluid]]
 * thermische [[Zustandsgleichung]]
-* [[Boyle-Mariotte-Gesetz]], [[Ideales Gas]]
-* [[Schubmodul]]
-* [[Poissonzahl]]
-* [[Elastizitätsmodul]] (Zugmodul, Youngscher Modul)
 * [[Kontinuumsmechanik]]
-* [[Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan]]
+* [[Elastizitätslehre]]
 == Einzelnachweise ==