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Die '''Kegelfunktionen''' sind spezielle [[ | Die '''Kegelfunktionen''' sind spezielle [[Zugeordnete Legendrepolynome|Kugelfunktionen]], die von [[Gustav Ferdinand Mehler]] 1868 als Lösung des Problems der Potentialbestimmung von auf einer [[Kegel (Geometrie)|Kegelfläche]] verteilten [[Elektrische Ladung|elektrischen Ladungen]] eingeführt wurden. | ||
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Die ursprünglich von Mehler eingeführten Funktionen <math>K^\mu (x)</math> sind durch Kugelfunktionen darstellbar, und zwar [[zugeordnete Legendrepolynome]] erster und zweiter Art mit einem speziellen komplexen Index: | Die ursprünglich von Mehler eingeführten Funktionen <math>K^\mu (x)</math> sind durch Kugelfunktionen darstellbar, und zwar [[zugeordnete Legendrepolynome]] erster und zweiter Art mit einem speziellen komplexen Index: | ||
:<math>P^\mu_{-(1/2)+i\lambda}(x)</math> und <math>Q^\mu_{-(1/2)+i\lambda}(x)</math>. | : <math>P^\mu_{-(1/2)+i\lambda}(x)</math> und <math>Q^\mu_{-(1/2)+i\lambda}(x)</math>. | ||
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:<math> P_{-(1/2)+i\lambda}( \cos \theta ) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\theta} \frac { \cosh ( \lambda t )} {\sqrt{2 (\cos t - \cos \theta)}} dt </math> | : <math> P_{-(1/2)+i\lambda}( \cos \theta ) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\theta} \frac { \cosh ( \lambda t )} {\sqrt{2 (\cos t - \cos \theta)}} dt </math> | ||
:<math> Q_{-(1/2) \mp i \lambda}(\cos \theta) =\pm i \sinh \lambda \pi \int_0^{\infty} \frac {\cos ( \lambda t)}{\sqrt {2 (\cosh t + \cos \theta )}} dt + \int_0^{\infty} \frac {\cosh ( \lambda t)}{\sqrt{2 (\cosh t - \cos \theta )}} dt </math> | :<math> Q_{-(1/2) \mp i \lambda}(\cos \theta) =\pm i \sinh \lambda \pi \int_0^{\infty} \frac {\cos ( \lambda t)}{\sqrt {2 (\cosh t + \cos \theta )}} dt + \int_0^{\infty} \frac {\cosh ( \lambda t)}{\sqrt{2 (\cosh t - \cos \theta )}} dt </math> | ||
==Literatur== | == Literatur == | ||
*Abramowitz, Stegun ''Handbook of Mathematical Functions'' | * Abramowitz, Stegun: ''Handbook of Mathematical Functions''. Dover 1972, S. 337 (Abschnitt 8.12) | ||
*G. F. Mehler: Über die Vertheilung der statischen Elektricität in einem von zwei Kugelkalotten begrenzten Körper | * G. F. Mehler: ''Über die Vertheilung der statischen Elektricität in einem von zwei Kugelkalotten begrenzten Körper''. In: ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', Band 68, 1868, S. 134, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0068 Online] | ||
*G. F. | * G. F. Mehler: ''Über eine mit den Kugel- und Cylinderfunctionen verwandte Function und ihre Anwendung in der Theorie der Elektricitätsvertheilung''. In: ''Mathematische Annalen'', Band 18, 1881, S. 161, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0018 Online] | ||
*[[Carl Gottfried Neumann]]: Über die | * [[Carl Gottfried Neumann]]: ''Über die Mehler’schen Kegelfunctionen und deren Anwendung auf elektrostatische Probleme''. In: ''Mathematische Annalen'', Band 18, 1881, S. 195, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0018 Online] | ||
* G. Leonhardt: Integraleigenschaften der adjungirten Kegelfunctionen | * G. Leonhardt: ''Integraleigenschaften der adjungirten Kegelfunctionen''. In: ''Mathematische Annalen'', Band 19, 1882, S. 578, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0019 Online] | ||
==Weblinks== | == Weblinks == | ||
*{{MathWorld|title=Conical Function | * {{MathWorld |id=ConicalFunction |title=Conical Function}} | ||
[[Kategorie:Elektrostatik]] | [[Kategorie:Elektrostatik]] | ||
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Die Kegelfunktionen sind spezielle Kugelfunktionen, die von Gustav Ferdinand Mehler 1868 als Lösung des Problems der Potentialbestimmung von auf einer Kegelfläche verteilten elektrischen Ladungen eingeführt wurden.
Die ursprünglich von Mehler eingeführten Funktionen $ K^{\mu }(x) $ sind durch Kugelfunktionen darstellbar, und zwar zugeordnete Legendrepolynome erster und zweiter Art mit einem speziellen komplexen Index:
Dabei ist $ \lambda $ reell und $ \mu $ beliebig. Entsprechend werden heute diese beiden speziellen Legendrefunktionen als Kegelfunktionen bezeichnet. Speziell gilt mit $ x=\cos(\theta ) $ und $ \mu =0 $:
