Abstandsgesetz: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. Dezember 2021, 22:29 Uhr

Das Abstandsgesetz oder Entfernungsgesetz beschreibt die Abnahme einer physikalischen Größe mit wachsender Entfernung zur Quelle oder zum Sender. Voraussetzungen sind eine punktförmige Quelle (näherungsweise: kleine Ausdehnung der Quelle im Vergleich zur Entfernung), die isotrop – also nicht gerichtet – emittiert, und ein freies Feld ohne reflektierende Berandung. Somit ist das Abstandsgesetz für praktische Anwendungen nur annäherungsweise nutzbar.

Im Falle von z. B. Lasern oder Parabolantennen sind weitere Einflüsse zu berücksichtigen wie der Divergenzwinkel oder das Antennendiagramm.

Für Energiegrößen – das 1/r²-Gesetz

Zu den Energiegrößen gehören neben Strahlungsintensitäten, z. B. von Röntgenstrahlung, Radioaktivität, Sonnenstrahlung (sichtbare Lichtstrahlung) oder anderen elektromagnetischen Wellen, die sich in alle Richtungen ausbreiten, auch die Schallintensität. Im Zusammenhang mit ionisierender Strahlung wird hierbei häufig vom Abstandsquadratgesetz gesprochen.

Abstandsgesetz für Energiegrößen

Die Energie E, die von einer in den dreidimensionalen Raum gleichmäßig strahlenden Quelle ausgeht, verteilt sich auf eine Kugeloberfläche, die proportional mit dem Quadrat des Abstands r von der Quelle größer wird. Die Strahlungsintensität I, d. h. die "Leistung pro Fläche" (P/A), nimmt daher mit 1/r² ab:

{\begin{aligned}I&\propto {\frac {1}{r^{2}}}\\\Rightarrow {\frac {I_{1}}{I_{2}}}&={\frac {{r_{2}}^{2}}{{r_{1}}^{2}}}\\\Leftrightarrow I_{2}&=I_{1}\cdot \left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}\end{aligned}}

Die Intensität fällt bei Entfernungsverdoppelung also auf ein Viertel des Anfangswertes. Dies entspricht einer Pegelabnahme um 6 dB_RMS.

Allgemein lässt sich die Pegelabnahme folgendermaßen berechnen:

{\begin{alignedat}{2}\Delta L[dB_{\mathrm {RMS} }]={L_{2}}-{L_{1}}&=-10\cdot \lg {\frac {{r_{2}}^{2}}{{r_{1}}^{2}}}=&&-20\cdot \lg {\frac {r_{2}}{r_{1}}}\\\Leftrightarrow L_{2}[dB_{\mathrm {RMS} }]&=L_{1}&&-20\cdot \lg {\frac {r_{2}}{r_{1}}}\end{alignedat}}

Dabei ist lg der Logarithmus zur Basis 10.

Für viele aus dem Alltag bekannte Strahlungsquellen gilt die o. g. Voraussetzung gleichmäßig in den dreidimensionalen Raum strahlend nicht oder nur als grobe Näherung.

Für Effektivwerte linearer Feldgrößen – das 1/r-Gesetz

Zu den linearen Feldgrößen gehören z. B. die akustischen Feldgrößen wie Schalldruck, Schallschnelle und Schallauslenkung als Schallfeldgrößen. Die Effektivwerte dieser Größen nehmen umgekehrt proportional zur Entfernung von der Schallquelle ab, also mit 1/r:

{\begin{aligned}{\tilde {p}}&\propto {\frac {1}{r}}\\\Rightarrow {\frac {{\tilde {p}}_{1}}{{\tilde {p}}_{2}}}&={\frac {r_{2}}{r_{1}}}\\\Leftrightarrow {\tilde {p}}_{2}&={\tilde {p}}_{1}\cdot {\frac {r_{1}}{r_{2}}}\end{aligned}}

Bei Entfernungsverdoppelung fallen die Werte also auf die Hälfte des Anfangswertes. Dies entspricht – wie bei den quadratischen Größen – einer Pegelabnahme um 6 dB. Auch hier gilt also für die Pegeländerung der Effektivwerte in dB_SPL:

{\begin{alignedat}{2}\Delta L[dB_{SPL}]={L_{2}}-{L_{1}}&=&&-20\cdot \lg {\frac {r_{2}}{r_{1}}}\\\Leftrightarrow L_{2}[dB_{SPL}]&=L_{1}&&-20\cdot \lg {\frac {r_{2}}{r_{1}}}\end{alignedat}}

Pegeländerungen können also ohne Kenntnis darüber angegeben werden, ob es sich bei der Messgröße um eine quadratische oder lineare Größe handelt. Für eine Bestimmung der physikalischen Einheiten muss diese Kenntnis jedoch vorhanden sein.

Weblinks

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-Das '''Abstandsgesetz''' oder '''Entfernungsgesetz''' beschreibt die Abnahme einer [[Physikalische Größe|physikalischen Größe]] mit wachsender Entfernung zur Quelle oder zum Sender. Voraussetzungen sind eine punktförmige Quelle (näherungsweise: kleine Ausdehnung der Quelle im Vergleich zur Entfernung), die [[isotrop]], also nicht gerichtet emittiert, und ein freies Feld ohne reflektierende Berandung. Somit ist das Abstandsgesetz für praktische Anwendungen nur annäherungsweise nutzbar. Im Falle von beispielsweise [[Laser|Lasern]] oder [[Parabolantenne|Parabolantennen]] sind weitere Einflüsse zu berücksichtigen wie etwa der [[Strahlqualität|Divergenzwinkel]] oder das [[Antennendiagramm]].
+Das '''Abstandsgesetz''' oder '''Entfernungsgesetz''' beschreibt die Abnahme einer [[Physikalische Größe|physikalischen Größe]] mit wachsender Entfernung zur Quelle oder zum Sender. Voraussetzungen sind eine punktförmige Quelle (näherungsweise: kleine Ausdehnung der Quelle im Vergleich zur Entfernung), die [[isotrop]] – also nicht gerichtet – emittiert, und ein freies Feld ohne reflektierende Berandung. Somit ist das Abstandsgesetz für praktische Anwendungen nur annäherungsweise nutzbar.
+Im Falle von z.&nbsp;B. [[Laser]]n oder [[Parabolantenne]]n sind weitere Einflüsse zu berücksichtigen wie der [[Strahlqualität|Divergenzwinkel]] oder das [[Antennendiagramm]].
 == Für Energiegrößen – das 1/''r''²-Gesetz ==
-Zu diesen Größen gehören neben Strahlungs-Intensitäten ([[Energiegröße]]) z.&nbsp;B. von [[Röntgenstrahlung]], [[Radioaktivität]], Sonnenstrahlung (sichtbare Lichtstrahlung) oder anderen sich in alle Richtungen ausbreitenden [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischen Wellen]] auch die [[Schallintensität]].
+Zu den [[Energiegröße]]n gehören neben [[Strahlungsintensität]]en, z.&nbsp;B. von [[Röntgenstrahlung]], [[Radioaktivität]], [[Sonnenstrahlung]] (sichtbare Lichtstrahlung) oder anderen [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischen Wellen]], die sich in alle Richtungen ausbreiten, auch die [[Schallintensität]]. Im Zusammenhang mit ionisierender Strahlung wird hierbei häufig vom [[Abstandsquadratgesetz]] gesprochen.
-[[Datei:Inverse square law.svg|thumb|Illustration des Abstandsgesetzes für Energiegrößen]]Die [[Energie]] ''E'', die von einer in den dreidimensionalen Raum gleichmäßig strahlenden Quelle ausgeht, verteilt sich auf eine Kugeloberfläche, die proportional mit dem Quadrat des Abstands ''r'' von der Quelle größer wird. Die Strahlungsintensität ''I'', das heißt die "Leistung pro Fläche" (''P''/''A''), nimmt daher mit 1/''r''<sup>2</sup> ab:
+[[Datei:Inverse square law.svg|mini| Abstandsgesetz für Energiegrößen]]
-:<math>
+Die [[Energie]]&nbsp;''E'', die von einer in den dreidimensionalen Raum gleichmäßig strahlenden Quelle ausgeht, verteilt sich auf eine Kugeloberfläche, die proportional mit dem Quadrat des Abstands&nbsp;''r'' von der Quelle größer wird. Die Strahlungsintensität&nbsp;''I'', d.&nbsp;h. die "Leistung pro Fläche"&nbsp;(''P''/''A''), nimmt daher mit&nbsp;1/''r''<sup>2</sup> ab:
-I \propto \frac{1}{r^2} \,
-</math>
-:<math>
-\frac{I_1}{I_2} = \frac{{r_2}^2}{{r_1}^2} \,
-</math>
-:<math>
-I_2 = I_1 \cdot \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \,
-</math>
-Die Intensität fällt bei Entfernungsverdoppelung also auf ''ein Viertel'' des Anfangswertes. Dies entspricht einer Pegelabnahme um 6&nbsp;dB<sub>[[Quadratisches_Mittel|RMS]]</sub>.
+:<math>\begin{align}
+                          I &\propto \frac{1}{r^2}\\
+\Rightarrow \frac{I_1}{I_2} &= \frac{{r_2}^2}{{r_1}^2}\\
+\Leftrightarrow        I_2  &= I_1 \cdot \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2
+\end{align}</math>
-Allgemein lässt sich die [[Logarithmische Größe|Pegel]]<nowiki/>abnahme folgendermaßen berechnen:
+Die Intensität fällt bei Entfernungsverdoppelung also auf ''ein Viertel'' des Anfangswertes. Dies entspricht einer [[Logarithmische Größe|Pegel]]<nowiki/>abnahme um 6&nbsp;dB<sub>[[Quadratisches Mittel|RMS]]</sub>.
-:<math>
-\Delta L  [dB_{RMS}] = {L_2} - {L_1} = -10 \cdot \lg \frac{{r_2}^2}{{r_1}^2} = -20 \cdot \lg \frac{r_2}{r_1} \,
-</math>
-oder
+Allgemein lässt sich die Pegelabnahme folgendermaßen berechnen:
-:<math>
-L_2  [dB_{RMS}] = L_1 - 20 \cdot \lg \frac{r_2}{r_1} \,
-</math>
-Dabei ist lg der [[Logarithmus]] zur Basis 10.
+:<math>\begin{alignat}{2}
+\Delta L [dB_\mathrm{RMS}] = {L_2} - {L_1} &= -10 \cdot \lg \frac{{r_2}^2}{{r_1}^2} = &&- 20 \cdot \lg \frac{r_2}{r_1}\\
+     \Leftrightarrow L_2 [dB_\mathrm{RMS}] &=                                     L_1 &&- 20 \cdot \lg \frac{r_2}{r_1}
+\end{alignat}</math>
-Zu beachten ist, dass für viele aus dem Alltag bekannte Strahlungsquellen die oben genannte Voraussetzung ''gleichmäßig in den dreidimensionalen Raum strahlend'' nicht oder nur als grobe Näherung gilt.
+Dabei ist lg der [[Logarithmus]] zur Basis&nbsp;10.
+Für viele aus dem Alltag bekannte Strahlungsquellen gilt die o.&nbsp;g. Voraussetzung ''gleichmäßig in den dreidimensionalen Raum strahlend'' nicht oder nur als grobe Näherung.
 == Für Effektivwerte linearer Feldgrößen – das 1/''r''-Gesetz ==
-Zu diesen Größen gehören z. B. die akustischen [[Feldgröße]]n wie [[Schalldruck]], [[Schallschnelle]] und [[Schallauslenkung]] als [[Schallfeldgröße]]n. Die [[Effektivwert]]e dieser Größen nehmen umgekehrt proportional mit zunehmender Entfernung von der Schallquelle ab, also mit 1/''r'':
+Zu den linearen [[Feldgröße]]n gehören z.&nbsp;B. die [[akustisch]]en Feldgrößen wie [[Schalldruck]], [[Schallschnelle]] und [[Schallauslenkung]] als [[Schallfeldgröße]]n. Die [[Effektivwert]]e dieser Größen nehmen umgekehrt proportional zur Entfernung von der Schallquelle ab, also mit&nbsp;1/''r'':
-:<math>
-\tilde{p} \propto \frac{1}{r} \,
+:<math>\begin{align}
-</math>
+                                   \tilde{p} &\propto \frac{1}{r}\\
-:<math>
+\Rightarrow \frac{\tilde{p}_1} {\tilde{p}_2} &=                   \frac{r_2}{r_1}\\
-\frac{\tilde{p}_1} {\tilde{p}_2} = \frac{r_2}{r_1} \,
+\Leftrightarrow                 \tilde{p}_2  &= \tilde{p}_1 \cdot \frac{r_1}{r_2}
-</math>
+\end{align}</math>
-:<math>
-\tilde{p}_2 = \tilde{p}_1 \cdot \frac{r_1}{r_2} \,
-</math>
-Bei Entfernungsverdoppelung fallen die Werte also auf ''die Hälfte'' des Anfangswertes. Dies entspricht - wie bei den quadratischen Größen - einer Pegelabnahme um 6 dB. Auch hier gilt also für die Pegeländerung der Effektivwerte in dB<sub>[[Schalldruckpegel|SPL]]</sub>:
+Bei Entfernungsverdoppelung fallen die Werte also auf ''die Hälfte'' des Anfangswertes. Dies entspricht – wie bei den quadratischen Größen – einer Pegelabnahme um 6&nbsp;dB. Auch hier gilt also für die Pegeländerung der Effektivwerte in dB<sub>[[Schalldruckpegel|SPL]]</sub>:
-:<math>
-\Delta L  [dB_{SPL}] = {L_2} - {L_1} = - 20 \cdot \lg \frac{r_2}{r_1} \,
-</math>
-oder
+:<math>\begin{alignat}{2}
-:<math>
+\Delta L [dB_{SPL}] = {L_2} - {L_1} &=       &&- 20 \cdot \lg \frac{r_2}{r_1}\\
-L_2  [dB_{SPL}] = L_1 - 20 \cdot \lg \frac{r_2}{r_1} \,
+\Leftrightarrow L_2 [dB_{SPL}]      &= L_1   &&- 20 \cdot \lg \frac{r_2}{r_1}
-</math>
+\end{alignat}</math>
-Pegeländerungen können also ohne Kenntnis darüber angegeben werden, ob es sich bei der Messgröße um eine quadratische oder lineare Größe handelt. Für eine Bestimmung der physikalischen Einheiten muss diese Kenntnis vorhanden sein.
+Pegeländerungen können also ohne Kenntnis darüber angegeben werden, ob es sich bei der Messgröße um eine quadratische oder lineare Größe handelt. Für eine Bestimmung der [[physikalische Einheit|physikalischen Einheiten]] muss diese Kenntnis jedoch vorhanden sein.
 == Weblinks ==