Die Bernoulli-Abbildung (oder Bernoulli-Shift) wird als eindimensionales zeitdiskretes dynamisches System mit stückweiser-definierter Systemfunktion definiert durch die Vorschrift $ x_{n+1}=ax_{n}{\bmod {1}} $ mit dem Parameter $ a>0 $.
Für $ a=2 $ liefert die Bernoulli-Abbildung interessante Eigenschaften. Man erhält die Iterationsvorschrift $ x_{n+1}=2x_{n}{\bmod {1}} $, also $ 2x_{n} $ für $ x_{n}<0{,}5 $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2x_{n} - 1 für $ x_{n}>0{,}5 $.
Die Bernoulli-Abbildung ist chaotisch.
Mit dem Startwert $ x_{0}=0{,}4 $ erhält man folgende Iterationswerte:
Dezimalsystem | Binärsystem | |
$ x_{0} $ | 0,4 | 0,01100110 |
$ x_{1} $ | 0,8 | 0,11001100 |
$ x_{2} $ | 0,6 | 0,10011001 |
$ x_{3} $ | 0,2 | 0,00110011 |
An dieser Stelle wird nun klar, warum die Bernoulli-Abbildung auch als Bernoulli-Shift bezeichnet wird: die binäre Ziffer wird nach links geshiftet und die Vorkommastelle wird abgeschnitten. D.h. nach jedem Iterationsschritt vergisst das System genau eine Ziffer der binären Darstellung ergo geht ein Bit an Information verloren.
In der binären Darstellung sieht man weiter deutlich, dass die Bernoulli-Abbildung bei der Parametereinstellung $ a=2 $ mehrere invariante Mengen besitzt.