Feldstärketensor

Ein Feldstärketensor beschreibt die Felder in Eichtheorien. Das bekannteste Beispiel ist der elektromagnetische Feldstärketensor für die Eichtheorie der Elektrodynamik, der das elektrische und magnetische Feld beschreibt. Feldstärketensoren werden vor allem in Quantenfeldtheorien angewendet.

Dabei ist der Feldstärketensor kein Tensor im eigentlichen mathematischen Sinne, da seine Komponenten keine reellen Zahlen sind, sondern Elemente der zur Eichgruppe zugehörigen Lie-Algebra.

Allgemein

Wird in einer Eichtheorie die kovariante Ableitung eines Feldes $ \psi $ definiert als

$ D_{\mu }\psi =(\partial _{\mu }+A_{\mu })\psi $,

wobei

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{\mu} ein Matrixpotential der Form $ A_{\mu }=-it^{a}A_{\mu }^{a} $ ist mit
  • hermiteschen Matrizen $ t^{a} $ und
  • reellen Funktionen $ A_{\mu }^{a} $ der Raumzeit,

so ergibt sich der Feldstärketensor dieser Theorie zu

$ {\begin{aligned}F_{\mu \nu }&=D_{\mu }A_{\nu }-D_{\nu }A_{\mu }\\&=-it^{a}(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}),\end{aligned}} $

wobei die reellen Zahlen $ f^{abc} $ aus dem Kommutator $ [t^{a},t^{b}]=if^{abc}t^{c} $ stammen.

Die Lagrangedichte $ L $ für das $ A_{\mu } $-Feld kann dann gewählt werden als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L \propto F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu} , dies ist die Yang-Mills-Lagrangedichte.

Elektromagnetismus

Für die Quantenelektrodynamik entspricht $ A_{\mu } $ dem bekannten Vektorpotential. Da dessen Komponenten vertauschen, vereinfacht sich der Feldstärketensor zur Form

$ F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu } $

Zu dessen weiteren Eigenschaften siehe Elektromagnetischer Feldstärketensor.

Literatur

• V. Parameswaran Nair: Quantum Field Theory - A Modern Perspective, Springer 2005 - Kapitel 10.1