Wigner-Theorem: Unterschied zwischen den Versionen
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Das '''Wigner-Theorem''', bewiesen von [[Eugene Paul Wigner]] 1931<ref>E. P. Wigner | {{Begriffsklärungshinweis|Das Wigner-Theorem darf nicht mit dem [[Wigner-Eckart-Theorem]] verwechselt werden.}} | ||
Das '''Wigner-Theorem''', bewiesen von [[Eugene Paul Wigner]] 1931,<ref>E. P. Wigner: ''Gruppentheorie.'' Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1931, S. 251–254; ''Group Theory.'' Academic Press, New York, 1959, S. 233–236.</ref> ist ein Meilenstein der mathematischen Grundlagen der [[Quantenphysik]]. Das Theorem beschreibt, wie [[Symmetrie (Physik)|Symmetrien]] im [[Hilbertraum]] der [[Zustand (Quantenmechanik)|quantenmechanischen Zustände]] operieren. Beispiele für solche Symmetrien sind Rotationen, Verschiebungen im Ortsraum, [[Spezielle Lorentztransformation|Lorentz-Boosts]], [[Punktsymmetrie]]n oder die [[CPT-Theorem|CPT-Symmetrie]]. Dem Theorem zufolge kann dabei jede Symmetrie als unitärer Operator oder antiunitärer Operator des Hilbertraums dargestellt werden. | |||
Exakt ausgedrückt, besagt es, dass jede [[Surjektivität|surjektive]] (jedoch nicht notwendig lineare) Abbildung <math>T \colon H\to H</math>, die auf einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> der Bedingung | Exakt ausgedrückt, besagt es, dass jede [[Surjektivität|surjektive]] (jedoch nicht notwendig lineare) Abbildung <math>T \colon H\to H</math>, die auf einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> der Bedingung | ||
:<math>|\langle Tx,Ty\rangle|=|\langle x,y\rangle|</math> | :<math>|\langle Tx,Ty\rangle|=|\langle x,y\rangle|</math> | ||
für alle <math>x,y \in H</math> genügt, die Form <math>Tx=\varphi Ux</math> für alle <math>x\in H</math> hat. Dabei hat <math>\varphi\in | für alle <math>x,y \in H</math> genügt, die Form <math>Tx=\varphi Ux</math> für alle <math>x\in H</math> hat. Dabei hat <math>\varphi\in \mathbb{C}</math> den [[Betragsfunktion|Betrag]] eins und <math>U \colon H\rightarrow H</math> ist ein unitärer oder antiunitärer Operator. | ||
Das Wigner-Theorem | == Beweisskizze == | ||
Der Beweis basiert auf der Tatsache, dass Vektoren des Hilbertraums, die sich nur durch einen komplexen Vorfaktor des Betrags eins unterscheiden, aufgrund der [[Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] physikalisch gleiche Zustände beschreiben. Durch eine geeignete Wahl für diese Vorfaktoren kann dann jede Abbildung <math>T</math> unitär oder antiunitär gemacht werden.<ref>Hendrik van Hees: ''Das Wigner-Theorem.'' [https://itp.uni-frankfurt.de/~hees/faq-pdf/zeitum.pdf (itp.uni-frankfurt.de)]</ref> | |||
== Kontinuierliche Symmetrien in der Quantenmechanik == | |||
==Kontinuierliche Symmetrien in der Quantenmechanik== | |||
Mit dem Wigner-Theorem kann man annehmen, dass die Gruppenelemente <math>U(\varphi_i)</math> einer kontinuierlichen Symmetrie unitär sind. Ausgehend vom Einselement <math>I</math> der Gruppe werden diese dann in der Nähe des Einselements mit den Generatoren <math>J_i</math> der kontinuierlichen Gruppe parametrisiert dargestellt ([[Lie-Theorie]]): | Mit dem Wigner-Theorem kann man annehmen, dass die Gruppenelemente <math>U(\varphi_i)</math> einer kontinuierlichen Symmetrie unitär sind. Ausgehend vom Einselement <math>I</math> der Gruppe werden diese dann in der Nähe des Einselements mit den Generatoren <math>J_i</math> der kontinuierlichen Gruppe parametrisiert dargestellt ([[Lie-Theorie]]): | ||
:<math>U(\varphi_i) = \exp(i \varphi_i J_i)</math> | :<math>U(\varphi_i) = \exp(i \varphi_i J_i)</math> | ||
Wenn diese Gruppenelemente unitär sind, dann sind die <math>J_i</math> notwendig [[ | Wenn diese Gruppenelemente unitär sind, dann sind die <math>J_i</math> notwendig [[Hermitescher Operator|hermitesche Operatoren]] des Hilbertraums und damit Observable. Im Allgemeinen sind diese untereinander nicht vertauschbar, aber es können Operatoren konstruiert werden, die mit allen <math>J_i</math> kommutieren ([[Casimir-Operator]]en). Das heißt, dank des Theorems kann jeder kontinuierlichen Symmetrie direkt ein Satz von erhaltenen Größen zugeordnet werden. Umgekehrt lässt sich aus der Existenz von Erhaltungsgrößen auch eine zugrunde liegende physikalische Symmetrie des Problems erraten, was erfolgreich zur Konstruktion von physikalischen Theorien genutzt wurde (Beispiel: [[Eightfold Way]]). | ||
== Literatur == | == Literatur == | ||
* | * V. Bargmann: ''Note on Wigner's Theorem on Symmetry Operations.'' In: ''Journal of Mathematical Physics.'' Vol 5, no. 7, Juli 1964. | ||
* Mouchet | * Amaury Mouchet: ''An alternative proof of Wigner theorem on quantum transformations based on elementary complex analysis.'' In: ''Physics Letters A.'' Band 377, 2013, S. 2709–2711. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00807644 (hal.archives-ouvertes.fr)] | ||
* Molnar | * Lajos Molnar: ''An Algebraic Approach to Wigner's Unitary-Antiunitary Theorem.'' {{arXiv|math/9808033}} | ||
* | * R. Simon, N. Mukunda, S. Chaturvedi, V. Srinivasan: ''Two elementary proofs of the Wigner theorem on symmetry in quantum mechanics.'' In: ''Phys. Lett. A.'' Band 372, 2008, S. 6847–6852. | ||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
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Aktuelle Version vom 3. Mai 2021, 16:31 Uhr
Das Wigner-Theorem, bewiesen von Eugene Paul Wigner 1931,[1] ist ein Meilenstein der mathematischen Grundlagen der Quantenphysik. Das Theorem beschreibt, wie Symmetrien im Hilbertraum der quantenmechanischen Zustände operieren. Beispiele für solche Symmetrien sind Rotationen, Verschiebungen im Ortsraum, Lorentz-Boosts, Punktsymmetrien oder die CPT-Symmetrie. Dem Theorem zufolge kann dabei jede Symmetrie als unitärer Operator oder antiunitärer Operator des Hilbertraums dargestellt werden.
Exakt ausgedrückt, besagt es, dass jede surjektive (jedoch nicht notwendig lineare) Abbildung $ T\colon H\to H $, die auf einem komplexen Hilbertraum $ H $ der Bedingung
- $ |\langle Tx,Ty\rangle |=|\langle x,y\rangle | $
für alle $ x,y\in H $ genügt, die Form $ Tx=\varphi Ux $ für alle $ x\in H $ hat. Dabei hat $ \varphi \in \mathbb {C} $ den Betrag eins und $ U\colon H\rightarrow H $ ist ein unitärer oder antiunitärer Operator.
Beweisskizze
Der Beweis basiert auf der Tatsache, dass Vektoren des Hilbertraums, die sich nur durch einen komplexen Vorfaktor des Betrags eins unterscheiden, aufgrund der Wahrscheinlichkeitsinterpretation physikalisch gleiche Zustände beschreiben. Durch eine geeignete Wahl für diese Vorfaktoren kann dann jede Abbildung $ T $ unitär oder antiunitär gemacht werden.[2]
Kontinuierliche Symmetrien in der Quantenmechanik
Mit dem Wigner-Theorem kann man annehmen, dass die Gruppenelemente $ U(\varphi _{i}) $ einer kontinuierlichen Symmetrie unitär sind. Ausgehend vom Einselement $ I $ der Gruppe werden diese dann in der Nähe des Einselements mit den Generatoren $ J_{i} $ der kontinuierlichen Gruppe parametrisiert dargestellt (Lie-Theorie):
- $ U(\varphi _{i})=\exp(i\varphi _{i}J_{i}) $
Wenn diese Gruppenelemente unitär sind, dann sind die $ J_{i} $ notwendig hermitesche Operatoren des Hilbertraums und damit Observable. Im Allgemeinen sind diese untereinander nicht vertauschbar, aber es können Operatoren konstruiert werden, die mit allen $ J_{i} $ kommutieren (Casimir-Operatoren). Das heißt, dank des Theorems kann jeder kontinuierlichen Symmetrie direkt ein Satz von erhaltenen Größen zugeordnet werden. Umgekehrt lässt sich aus der Existenz von Erhaltungsgrößen auch eine zugrunde liegende physikalische Symmetrie des Problems erraten, was erfolgreich zur Konstruktion von physikalischen Theorien genutzt wurde (Beispiel: Eightfold Way).
Literatur
- V. Bargmann: Note on Wigner's Theorem on Symmetry Operations. In: Journal of Mathematical Physics. Vol 5, no. 7, Juli 1964.
- Amaury Mouchet: An alternative proof of Wigner theorem on quantum transformations based on elementary complex analysis. In: Physics Letters A. Band 377, 2013, S. 2709–2711. (hal.archives-ouvertes.fr)
- Lajos Molnar: An Algebraic Approach to Wigner's Unitary-Antiunitary Theorem. arxiv:math/9808033
- R. Simon, N. Mukunda, S. Chaturvedi, V. Srinivasan: Two elementary proofs of the Wigner theorem on symmetry in quantum mechanics. In: Phys. Lett. A. Band 372, 2008, S. 6847–6852.
Einzelnachweise
- ↑ E. P. Wigner: Gruppentheorie. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1931, S. 251–254; Group Theory. Academic Press, New York, 1959, S. 233–236.
- ↑ Hendrik van Hees: Das Wigner-Theorem. (itp.uni-frankfurt.de)
