Quelltext der Seite Weg-Zeit-Gesetz

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Ein '''Weg-Zeit-Gesetz'''<ref name="Müller2010">{{cite book|author=Rainer Müller|title=Klassische Mechanik: Vom Weitsprung zum Marsflug|url=https://books.google.de/books?id=FcQ7eXuTzlsC&pg=PA58&hl=de|date=22. September 2010|publisher=Walter de Gruyter|isbn=978-3-11-025003-9|pages=58}}</ref><ref name="StuartKlages2013">{{cite book|author=Herbert A. Stuart, Gerhard Klages|title=Kurzes Lehrbuch der Physik|url=https://books.google.de/books?id=h3b1BQAAQBAJ&pg=PA10&hl=de|date=14. März 2013|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-662-08228-7|pages=10}}</ref><ref name="HeringMartin2013">{{cite book|author=Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer|title=Physik für Ingenieure|url=https://books.google.de/books?id=50IjBgAAQBAJ&pg=PA349&hl=de|date=1. Juli 2013|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-662-09314-6|pages=349–}}</ref> beschreibt in der klassischen Physik den Ablauf der [[Bewegung (Physik)|Bewegung]] eines [[Massenpunkt]]s. Es gilt jeweils für eine bestimmte Bewegung, indem es den Ort des Massenpunkts als Funktion der Zeit angibt. Es stellt somit den zeitlichen Verlauf der Bewegung eines Körpers auf seiner [[Trajektorie (Physik)|Bahnkurve (Trajektorie)]] dar und wird daher auch als '''Zeit-Ort-Funktion''' bezeichnet. Bei gegebenen äußeren [[Kraft|Kräften]] ist sie die durch die [[Anfangsbedingung]]en für Ort und Geschwindigkeit festgelegte spezielle Lösung der [[Bewegungsgleichung]] des Massenpunkts.

Ist die Bewegung durch [[Zwangsbedingung]]en von vorneherein auf eine bestimmte Linie festgelegt, wie beispielsweise die Bewegung einer Lokomotive durch die Schienen, so genügt als Ortsangabe die [[Bogenlänge]] längs der Bahn, die dann meist als ''Weg'' bzw. ''Wegstrecke'' bezeichnet wird. Der Nullpunkt des Weges ist frei wählbar. Die Bewegung kann dann in einem als ''Zeit-Ort-Diagramm'' bezeichneten [[Funktionsgraph]]en dargestellt werden. In allen anderen Fällen gibt die Zeit-Ort-Funktion die unabhängigen [[Koordinaten]] des Massenpunkts relativ zu einem frei gewählten [[Bezugssystem]] zur gegebenen Zeit an und ist daher [[Vektorwertige Funktion|vektorwertig]].

Das Formelzeichen für den Wert der Weg-Zeit-Funktion ist oft <math>\vec{r}(t)</math>, <math>\vec {X}(t)</math> oder Ähnliches. Dies soll zum Ausdruck bringen, dass der Ort <math>\vec r</math> eine eindeutige Funktion der Zeit <math>t</math> ist, welche im mathematischen Sinne eine freie Variable darstellt. Jedem Zeitpunkt ist also ''genau ein'' Ort zugeordnet, wo sich der Massepunkt gerade befindet. Die Umkehrung gilt nicht: Ein Massenpunkt kann sich sehr wohl zu verschiedenen Zeiten an ein und demselben Ort befinden. Die Weg-Zeit-Funktion ist [[Stetige Funktion|stetig]], da der Massepunkt nicht ohne Zeitverlust von einem Ort zu einem anderen „springen“ kann. Mathematisch ausgedrückt: Die Wegstrecke, die der Massepunkt zurücklegen kann, geht gegen Null, wenn das zur Verfügung stehende Zeitintervall ebenfalls gegen Null geht. Ferner ist die Weg-Zeit-Funktion – mindestens abschnittsweise – einmal [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]]; falls sich die Geschwindigkeit nicht ruckartig ändert, sogar zweimal. Die erste [[Differentialrechnung|Ableitung]] nach der Zeit, nach [[Isaac Newton]] oft mit <math> \dot{\vec {r}}(t)</math> bezeichnet, ist die [[Geschwindigkeit#Definition|Momentangeschwindigkeit]] <math>\vec {v}(t) =\dot{\vec {r}}(t)</math>. Diese Funktion wird auch '''Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz''' oder '''Zeit-Geschwindigkeits-Funktion''' genannt. Die zweite Ableitung ergibt die [[Beschleunigung]] <math>\vec {a}(t) =\dot{\vec {v}}(t) =\ddot{\vec {r}}(t)</math>.

Die Darstellung der Koordinaten des Orts hängt vom gewählten [[Koordinatensystem]] ab. So ist für eine Bewegung in einer Ebene etwa <math>\vec{r}(t)= ( x(t),y(t) )</math> in einem zweidimensionalen [[kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]], oder alternativ <math>\vec{r}(t)= ( r(t),\varphi(t) )</math> in [[Polarkoordinaten]]. Die Anzahl der Komponenten von <math>\vec{r}(t)</math> ist gleich der Anzahl der Dimensionen des Raums, in dem die Bewegung stattfindet.

== Beispiele ==
Die folgenden Beispiele beschreiben idealisiert vereinfachte Verläufe. Alle Bewegungen starten zum Zeitpunkt <math>t=0</math> am durch <math>\vec r_0</math> bezeichneten [[Startwert|Startpunkt]].

* Im Stillstand hängt die Position nicht von der Zeit ab und der Massenpunkt bleibt für immer am Startpunkt <math>\vec r_0</math>:
::<math>\vec r(t) = \vec r_0 = \mathrm{konst.}</math>
* [[Gleichförmige Bewegung|Gleichförmig geradlinige Bewegung]] mit Geschwindigkeit <math>\vec v</math>:
::<math>\vec r(t) = \vec v t + \vec r_0</math>.
* [[Gleichmäßig beschleunigte Bewegung]]:
::<math>\vec r(t) = \frac 1 2 \vec a  t^2 + \vec v_0 t + \vec r_0</math>.
:Falls die (konstante) Beschleunigung <math>\vec a</math> und Anfangsgeschwindigkeit <math>\vec v_0</math> parallel bzw. antiparallel sind, handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte bzw. verzögerte ''geradlinige'' Bewegung. Ansonsten ist es eine [[Parabel (Mathematik)|parabelförmige]] Bewegung wie etwa beim [[Schiefer Wurf|schiefen Wurf]].
* [[Harmonische Schwingung]], wie sie etwa die Masse an einem [[Federpendel]] entlang der Achse der Feder ausführt, wenn sie um <math>\vert \vec A_0 \vert</math> aus der Gleichgewichtslage <math>\vec r_0</math> schwingt:
::<math>\vec r(t) = \vec r_0 + \vec A_0\cdot \sin(\omega t)</math>.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Kinematik]]
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