Volumenarbeit
Die Volumenarbeit oder Volumenänderungsarbeit ist die an einem geschlossenen System zu leistende Arbeit $ W $, um ein Volumen $ V_{1} $ auf das Volumen $ V_{2} $ zu verändern:
- bei der Volumenverkleinerung $ (V_{2}<V_{1}) $ durch Kompression wird Kompressionsarbeit geleistet, d. h. dem System zugeführt (in der Abbildung ist dies die Arbeit, die der Kolben an dem im Zylinder enthaltenen Gas verrichtet): $ W>0 $
- bei der Volumenvergrößerung $ (V_{2}>V_{1}) $ durch Expansion wird Arbeit – d. h. Energie – frei, d. h. vom System abgegeben: $ W<0. $
Die Formel für die Volumenarbeit lautet:
- $ W_{1,2}=-\int \limits _{s}F(s)\cdot \mathrm {d} s $.
Hierbei ist $ F(s) $ die Kraft, die längs eines Weges $ s $ wirkt; dieser wird in Expansionsrichtung positiv gezählt (in der Abbildung entgegen der gezeigten Kompressionskraft $ F_{p} $).
Das Minuszeichen in der Formel ist eine Konvention; so wird erreicht, dass dem System zugeführte Arbeit wie oben beschrieben positiv ist, freiwerdende Energie dagegen ein negatives Vorzeichen erhält. Bei der dargestellten Kompression hat der zurückgelegte Weg ein negatives Vorzeichen $ \left(\mathrm {d} s<0\right), $ welches durch das zusätzliche Minuszeichen in der Formel für die Volumenarbeit kompensiert wird.
Reibungsloser Vorgang
Die reibungsfrei und quasistatisch zugeführte Arbeit ist in dem dargestellten Zylinder mit dem Querschnitt $ A $ $ \left(\Rightarrow \mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} V}{A}}\right) $
wegen $ F=p\cdot A $ (Reibungsfreiheit):
- $ \Rightarrow W_{\mathrm {1,2} }=-\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}p\cdot \mathrm {d} V $
mit
- $ p $: Druck
- $ dV $: Volumenänderung.
Diese Zustandsänderung verläuft im p-V-Diagramm vom Punkt 1 zum Punkt 2, bei der dargestellten Kompression also in negativer Volumenrichtung $ \left(\mathrm {d} V<0\right); $ daher hätte die Kompressionsarbeit ohne das Minuszeichen in der Formel ein negatives Vorzeichen.
Der Integralwert, der der Fläche unter dem Zustandsverlauf entspricht, lässt sich berechnen, wenn die Funktion p = f(V) bekannt ist (s. u.).
Reibungsbehafteter Vorgang
Im realen Fall, wenn zwischen dem Kolben und dem Zylinder eine Reibungskraft wirkt, muss beim Komprimieren zusätzlich zur Volumenänderungsarbeit die Reibungsarbeit $ W_{R} $ aufgebracht werden. Diese erhöht die innere Energie des Systems und damit den Druck gegenüber dem reibungsfreien Vorgang (wenn sie nicht durch Kühlung als Wärme nach außen abgeführt wird):
- $ {p_{2}}'>p_{2} $
Im p-V-Diagramm verläuft die Zustandsänderung nun vom Punkt 1 zum Punkt 2’. Das heißt, dass auch die Volumenänderungsarbeit, die der Fläche unter dem Verlauf entspricht, größer wird, ohne dass darin die Reibungsarbeit selbst enthalten ist:
- $ \Rightarrow W_{1,2'}>W_{1,2} $
Die von außen aufzubringende Arbeit ist also die Summe aus der nunmehr größeren Volumenänderungsarbeit und der Reibungsarbeit:
- $ W_{\mathrm {ext} }=W_{1,2'}+W_{R} $
Berechnungsbeispiel
Angenommen sei die isotherme Verdichtung eines idealen Gases $ \left(T={\text{konst.}}\right). $
Dann lässt sich durch Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase:
- $ p(V)=n\cdot R\cdot T\cdot {\frac {1}{V}} $
mit
- n die Stoffmenge
- R die allgemeine Gaskonstante
- T die absolute Temperatur
das Integral für die Volumenarbeit lösen:
- $ {\begin{aligned}\Rightarrow W_{\mathrm {1,2} }&=-&n\cdot R\cdot T\cdot \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\\&=&n\cdot R\cdot T\cdot \ln {\frac {V_{1}}{V_{2}}}\end{aligned}} $
Anhand dieser Gleichung sieht man, dass bei der Expansion eines idealen Gases die Volumenarbeit negativ ist, also Energie frei wird; dies folgt aus dem Logarithmus, der für Zahlen kleiner eins negativ und für Zahlen größer eins positiv ist:
- $ {\begin{aligned}V_{2}>V_{1}\\\Leftrightarrow {\frac {V_{2}}{V_{1}}}>1\\\Leftrightarrow \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}>0\\\Rightarrow W_{\mathrm {1,2} }<0\end{aligned}} $
Statt n·R kann man oben auch m·Rs einsetzen:
- $ n\cdot R=m\cdot R_{\mathrm {s} } $
wobei
- m die Masse des Stoffes und
- Rs seine spezifische Gaskonstante ist.
Wird die Kompression in einem offenen System mit dem Außendruck $ p_{0} $ durchgeführt, muss an tatsächlicher Arbeit
$ W_{\mathrm {1,2} }+p_{0}\cdot (V_{2}-V_{1}) $
aufgebracht werden, da der Außendruck mit der Fläche multipliziert ebenfalls eine Kraft ergibt. Ist der Außendruck höher als der Innendruck des zu komprimierenden Volumens wird dabei Energie gewonnen, ist er geringer muss dabei Arbeit geleistet werden.
