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'''Virtuelle Arbeit''' ist ein Konzept der [[Analytische Mechanik|Analytischen Mechanik]] bzw. der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] und bezeichnet die [[Arbeit (Physik)|Arbeit]], die eine [[Kraft]] an einem [[System]] bei einer | '''Virtuelle Arbeit''' ist ein Konzept der [[Analytische Mechanik|Analytischen Mechanik]] bzw. der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] und bezeichnet | ||
* sowohl die [[Arbeit (Physik)|Arbeit]], die eine [[Kraft]] an einem [[System]] bei einer [[virtuell]]en Verschiebung verrichtet,<ref name="Mahnken" /> | |||
* als auch die Arbeit, die eine virtuelle Kraft an einer realen Verschiebung leistet. | |||
Unter einer virtuellen Verschiebung versteht man eine Gestalt- oder Lageänderung des Systems, die mit den Bindungen (z. B. [[Lager (Statik)|Lager]]) verträglich und „[[instantan]]“, sonst aber willkürlich und außerdem [[Differentialrechnung|infinitesimal]] klein ist. | |||
Das Prinzip der virtuellen Arbeit resultiert aus dem [[Prinzip der virtuellen Leistung]] und wird ebenso zur Berechnung des [[Mechanisches Gleichgewicht|Gleichgewicht]]s in der [[Statik (Mechanik)|Statik]] und zum Aufstellen von [[Bewegungsgleichung]]en ([[d’Alembertsches Prinzip]]) verwendet. | |||
== Beschreibung == | == Beschreibung == | ||
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Eine ''virtuelle'' Verschiebung <math>\delta\mathbf{x}_{i}</math> ist eine fiktive infinitesimale Verschiebung des <math>i</math>-ten Teilchens, die mit den Zwangsbedingungen verträglich ist. Die Abhängigkeit von der Zeit wird nicht betrachtet.<ref group="Anm">Aus dem totalen Differential einer Funktion <math>g(q_1,\dots ,q_n, t)</math>, also einem Ausdruck der Form <math> \mathrm dg=\sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial q_i} \, \mathrm dq_i + \frac{\partial g}{\partial t} \, \mathrm dt</math> , entsteht die gesuchte ''virtuelle Änderung'' <math>\delta g=\sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial q_i} \, \delta q_i</math>. Der Begriff „instantan“ ist dadurch mathematisiert.</ref> | Eine ''virtuelle'' Verschiebung <math>\delta\mathbf{x}_{i}</math> ist eine fiktive infinitesimale Verschiebung des <math>i</math>-ten Teilchens, die mit den Zwangsbedingungen verträglich ist. Die Abhängigkeit von der Zeit wird nicht betrachtet.<ref group="Anm">Aus dem totalen Differential einer Funktion <math>g(q_1,\dots ,q_n, t)</math>, also einem Ausdruck der Form <math> \mathrm dg=\sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial q_i} \, \mathrm dq_i + \frac{\partial g}{\partial t} \, \mathrm dt</math> , entsteht die gesuchte ''virtuelle Änderung'' <math>\delta g=\sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial q_i} \, \delta q_i</math>. Der Begriff „instantan“ ist dadurch mathematisiert.</ref> | ||
Die <math>s</math> holonomen Zwangsbedingungen | Die <math>s</math> [[Zwangsbedingung #Holonome_Zwangsbedingungen|holonomen Zwangsbedingungen]] <math>f_l\,(\mathbf x_1,\dots ,\mathbf x_N,\,t) = 0 \,\,, \quad l = 1,\dots ,s</math> werden erfüllt durch Verwendung von <math>n = 3N - s</math> [[Generalisierte Koordinate|generalisierter Koordinaten]] <math>\,q_k</math>: | ||
: <math>\delta\mathbf{x}_{i}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial\mathbf{x}_{i}}{\partial q_{k}}\delta q_{k}</math> | :<math>\delta\mathbf{x}_{i}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial\mathbf{x}_{i}}{\partial q_{k}}\delta q_{k}</math> | ||
(Die | (Die holonomen Zwangsbedingungen werden also durch Auswahl und entsprechende Reduzierung der generalisierten Koordinaten explizit eliminiert.) | ||
Zur Erfüllung auch der | Zur Erfüllung auch der [[Zwangsbedingung #Anholonome_Zwangsbedingungen|anholonomen Zwangsbedingungen]] unterliegen die <math>\delta q_{k}</math> <ref group="Anm">Die verallgemeinerten Koordinaten können von der Zeit abhängen, obwohl das erneut nicht eingeht, da nur der momentane Wert benötigt wird.</ref> weiteren Bedingungen, z. B. <math>r</math> differentiellen nicht-integrablen Gleichungen: | ||
: <math>\,\sum_{k}a^{(l)}_{k}\delta q_{k}=0\ ,\quad l=1,\ldots,r</math> | :<math>\,\sum_{k}a^{(l)}_{k}\delta q_{k}=0\ ,\quad l = 1,\ldots,r</math> | ||
Die ''virtuelle Arbeit'', | Die ''virtuelle Arbeit'', welche die Kraft <math>\mathbf{F}_{i}</math> bei virtueller Verschiebung <math>\delta\mathbf{x}_{i}</math> am <math>i</math>-ten Teilchen verrichten würde, ist: | ||
: <math>\delta W_{i}=\mathbf{F}_{i}\cdot\delta\mathbf{x}_{i}</math> | :<math>\delta W_{i} = \mathbf{F}_{i}\cdot\delta\mathbf{x}_{i}</math> | ||
=== System im Gleichgewicht === | === System im Gleichgewicht === | ||
Ist das <math>N</math>-Teilchensystem im Gleichgewicht, so ist für jedes Teilchen die Beschleunigung gleich Null: | Ist das <math>N</math>-Teilchensystem im Gleichgewicht, so ist für jedes Teilchen die Beschleunigung gleich Null: | ||
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=== Prinzip der virtuellen Arbeit === | === Prinzip der virtuellen Arbeit === | ||
Meist steht die Zwangskraft <math>\mathbf{F}_{i}^{z}</math> senkrecht zur virtuellen Verschiebung <math>\delta\mathbf{x}_{i}</math>, so dass <math>\mathbf{F}_{i}^{z}\cdot\delta\mathbf{x}_{i}=0</math> gilt. Dies ist z. B. der Fall, wenn die Bewegung auf Kurven oder Flächen begrenzt ist. | Meist steht die Zwangskraft <math>\mathbf{F}_{i}^{z}</math> senkrecht zur virtuellen Verschiebung <math>\delta\mathbf{x}_{i}</math>, so dass <math>\mathbf{F}_{i}^{z}\cdot\delta\mathbf{x}_{i}=0</math> gilt. Dies ist z. B. der Fall, wenn die Bewegung auf Kurven oder Flächen begrenzt ist. | ||
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Das ''Prinzip der virtuellen Arbeit'' fordert nun, dass die Summe aller von den Zwangskräften verrichteten virtuellen Arbeiten bei einem System im Gleichgewicht verschwindet: | Das ''Prinzip der virtuellen Arbeit'' fordert nun, dass die Summe aller von den Zwangskräften verrichteten virtuellen Arbeiten bei einem System im Gleichgewicht verschwindet: | ||
: <math>\sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_{i}^{z}\cdot\delta\mathbf{x}_{i}=0</math> | :<math>\sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_{i}^{z}\cdot\delta\mathbf{x}_{i} = 0</math> | ||
Für die eingeprägten Kräfte bedeutet das Prinzip der virtuellen Arbeit: | Für die eingeprägten Kräfte bedeutet das Prinzip der virtuellen Arbeit: | ||
: <math>\sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_{i}^{e}\cdot\delta\mathbf{x}_{i}=0</math> | :<math>\Rightarrow \sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_{i}^{e}\cdot\delta\mathbf{x}_{i} = 0</math> | ||
Man beachte, dass das Prinzip der virtuellen Arbeit nur ein Gleichgewichtsprinzip der Statik ist. Die Erweiterung auf die Dynamik liefert das [[D’Alembertsches Prinzip|D’Alembertsche Prinzip]]. | Man beachte, dass das Prinzip der virtuellen Arbeit nur ein Gleichgewichtsprinzip der Statik ist. Die Erweiterung auf die Dynamik liefert das [[D’Alembertsches Prinzip|D’Alembertsche Prinzip]]. | ||
=== Prinzip der virtuellen Arbeit in konservativen Systemen === | === Prinzip der virtuellen Arbeit in konservativen Systemen === | ||
In [[konservatives System|konservativen Systemen]] sind alle eingeprägten Kräfte von einem [[Potential (Physik)|Potential]] <math>V</math> ableitbar: | |||
:<math>\mathbf{F}_{i}^{e} = -\nabla_{\mathbf{x}_{i}}V = -\frac{\partial V}{\partial\mathbf{x}_{i}}</math> | |||
: <math>\mathbf{F}_{i}^{e}=-\nabla_{\mathbf{x}_{i}}V=-\frac{\partial V}{\partial\mathbf{x}_{i}}</math> | |||
In diesem Fall lässt sich das Prinzip der virtuellen Arbeit | In diesem Fall lässt sich das Prinzip der virtuellen Arbeit | ||
: <math>\sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_{i}^{e}\cdot\delta\mathbf{x}_{i}=-\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial V}{\partial\mathbf{x}_{i}}\cdot\delta\mathbf{x}_{i}=0</math> | :<math>\sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_{i}^{e}\cdot\delta\mathbf{x}_{i} = -\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial V}{\partial\mathbf{x}_{i}}\cdot\delta\mathbf{x}_{i} = 0</math> | ||
in der Form | darstellen in der Form | ||
: <math>\delta | :<math>\delta V = 0</math>. | ||
Hierbei ist das Symbol <math>\delta</math> als Variationszeichen im Sinne der [[Variationsrechnung]] aufzufassen. <math>\delta V=0</math> bedeutet damit die erste Variation der [[Potentielle Energie|Potentiellen Energie]]. | |||
== Beispiel == | == Beispiel == | ||
[[Datei:Winkelhebel.png|mini|252px|Gelenkig gelagerter Winkelhebel, die virtuelle Verschiebung ist durch den Drehwinkel δΦ charakterisiert.]] | [[Datei:Winkelhebel.png|mini|252px|Gelenkig gelagerter Winkelhebel, die virtuelle Verschiebung ist durch den Drehwinkel δΦ charakterisiert.]] | ||
An einem | An einem Winkel[[Hebel (Physik)|hebel]], der frei drehbar auf einer [[Achse (Maschinenelement)|Achse]] gelagert ist, greifen 2 [[Eingeprägte Kraft|eingeprägte Kräfte]] <math>\mathbf{F}_1</math> und <math>\mathbf{F}_2</math> an. Die virtuellen Verschiebungen der Kraftangriffspunkte sind <math>\delta \mathbf{x}_1</math> und <math>\delta \mathbf{x}_2</math>. | ||
<math>\delta \mathbf{x}_1</math> und <math>\delta \mathbf{x}_2</math>. | |||
Die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte ist damit | |||
: <math>\delta \mathbf{x}_1 = a_1\delta \Phi \quad \text{und} \ | :<math>\mathbf{F}_1 \delta \mathbf{x}_1 - \mathbf{F}_2 \delta \mathbf{x}_2 = 0 </math> | ||
Weil der Winkelhebel als [[Starrer Körper|starr]] angesehen wird, sind die Größen <math>\delta \mathbf{x}_1</math> und <math>\delta \mathbf{x}_2</math> nicht unabhängig voneinander. Ihre Abhängigkeit kann man durch die Variation <math>\delta\Phi</math> der generalisierten Koordinate <math>\Phi</math> ausdrücken ([[Kleinwinkelnäherung]]): | |||
::<math>\delta \mathbf{x}_1 = a_1\delta \Phi \quad \text{und}</math> | |||
::<math>\delta \mathbf{x}_2 = a_2 \delta \Phi</math> | |||
(Betrachtung in 2 Dimensionen: | |||
* N = 1 Teil: Winkelhebel | |||
* s = 1 holonome Zwangsbedingung: <math>\frac{\delta \mathbf{x}_1}{a_1} = \frac{\delta \mathbf{x}_2}{a_2} = \tan \delta \Phi \approx \delta \Phi</math> | |||
* r = 0 nicht-holonome Zwangsbedingungen | |||
* n = 2N - s = 1 generalisierte Koordinate: <math>\Phi</math>) | |||
Damit wird die virtuelle Arbeit: | Damit wird die virtuelle Arbeit: | ||
: <math>(\mathbf{F}_1 a_1 - \mathbf{F}_2 a_2) \delta \Phi = 0</math> | :<math>(\mathbf{F}_1 a_1 - \mathbf{F}_2 a_2) \delta \Phi = 0</math> | ||
Da die Gleichung für beliebige <math>\delta\Phi</math> gilt, muss der Klammerausdruck identisch 0 sein: | Da die Gleichung für beliebige <math>\delta\Phi</math> gilt, muss der Klammerausdruck identisch 0 sein: | ||
Also bleibt das System im Gleichgewicht, d. h. es kippt weder nach rechts noch nach links, wenn die Kräfte multipliziert mit ihrer Achsdistanz gleich groß sind. | :<math>\Rightarrow \mathbf{F}_1 a_1 = \mathbf{F}_2 a_2</math> | ||
Also bleibt das System im Gleichgewicht, d. h., es kippt weder nach rechts noch nach links, wenn die Kräfte multipliziert mit ihrer Achsdistanz gleich groß sind. | |||
== Prinzip der virtuellen Arbeit für dynamische Systeme == | == Prinzip der virtuellen Arbeit für dynamische Systeme == | ||
{{Hauptartikel|D’Alembertsches Prinzip}} | {{Hauptartikel|D’Alembertsches Prinzip}} | ||
Die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte bzw. -momente ist bei dynamischen Systemen gleich Null. Drückt man die virtuellen Verschiebungen in den | Die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte bzw. -momente ist bei [[dynamisches System|dynamischen Systemen]] gleich Null. Drückt man die virtuellen Verschiebungen in den generalisierten Koordinaten aus, so können mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit Bewegungsgleichungen für große [[Mehrkörpersystem]]e aufgestellt werden. | ||
== Alternativen == | == Alternativen == | ||
Neben dem Prinzip der virtuellen Arbeit wird auch das Prinzip der virtuellen Leistung verwendet. | Neben dem Prinzip der virtuellen Arbeit wird auch das Prinzip der [[Virtuelle Leistung|virtuellen Leistung]] verwendet. Sein wesentlicher Unterschied liegt darin, dass statt virtuellen Verschiebungen hier virtuelle [[Geschwindigkeit]]s<nowiki/>variationen benutzt werden. | ||
In der Statik wird dieses Prinzip selten angewendet, jedoch erweist sich seine Erweiterung auf dynamische Systeme, das ''Prinzip von Jourdain'', als vorteilhaft, da dort nichtholonome Bedingungen elegant berücksichtigt werden können. | |||
== Anmerkungen == | == Anmerkungen == | ||
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|Jahr=2006 | |Jahr=2006 | ||
|ISBN=978-3-527-40589-3}} | |ISBN=978-3-527-40589-3}} | ||
* Danilo Capecchi: ''History of Virtual Work Laws. A History of Mechanics Prospective''. Birkhäuser, 2012 Mailand, ISBN 978-88-470-2055-9. | |||
* [[Karl-Eugen Kurrer]]: ''The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium'', Ernst und Sohn, Berlin 2018, S. 27–31, S. 476–481, S. 811–814, S. 821–824 und S. 929–931, ISBN 978-3-433-03229-9. | |||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
Virtuelle Arbeit ist ein Konzept der Analytischen Mechanik bzw. der Technischen Mechanik und bezeichnet
Unter einer virtuellen Verschiebung versteht man eine Gestalt- oder Lageänderung des Systems, die mit den Bindungen (z. B. Lager) verträglich und „instantan“, sonst aber willkürlich und außerdem infinitesimal klein ist.
Das Prinzip der virtuellen Arbeit resultiert aus dem Prinzip der virtuellen Leistung und wird ebenso zur Berechnung des Gleichgewichts in der Statik und zum Aufstellen von Bewegungsgleichungen (d’Alembertsches Prinzip) verwendet.
Im Folgenden wird ein N-Teilchensystem betrachtet, das durch Zwangsbedingungen eingeschränkt ist.
Eine virtuelle Verschiebung $ \delta \mathbf {x} _{i} $ ist eine fiktive infinitesimale Verschiebung des $ i $-ten Teilchens, die mit den Zwangsbedingungen verträglich ist. Die Abhängigkeit von der Zeit wird nicht betrachtet.[Anm 1]
Die $ s $ holonomen Zwangsbedingungen $ f_{l}\,(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{N},\,t)=0\,\,,\quad l=1,\dots ,s $ werden erfüllt durch Verwendung von $ n=3N-s $ generalisierter Koordinaten $ \,q_{k} $:
(Die holonomen Zwangsbedingungen werden also durch Auswahl und entsprechende Reduzierung der generalisierten Koordinaten explizit eliminiert.)
Zur Erfüllung auch der anholonomen Zwangsbedingungen unterliegen die $ \delta q_{k} $ [Anm 2] weiteren Bedingungen, z. B. $ r $ differentiellen nicht-integrablen Gleichungen:
Die virtuelle Arbeit, welche die Kraft $ \mathbf {F} _{i} $ bei virtueller Verschiebung $ \delta \mathbf {x} _{i} $ am $ i $-ten Teilchen verrichten würde, ist:
Ist das $ N $-Teilchensystem im Gleichgewicht, so ist für jedes Teilchen die Beschleunigung gleich Null:
Daher muss die resultierende Kraft auf jedes Teilchen gleich Null sein:
Ist das System im Gleichgewicht, ist die virtuelle Arbeit der Kraft $ \mathbf {F} _{i} $ bei Verschiebung $ \delta \mathbf {x} _{i} $ gleich Null, da die Kraft selbst verschwindet:
Somit ist auch die Summe über die von allen Kräften bei virtuellen Verschiebungen geleistete Arbeit gleich Null:
Die resultierenden Kräfte $ \mathbf {F} _{i} $ kann man zusammensetzen aus eingeprägten Kräften $ \mathbf {F} _{i}^{e} $ und Zwangskräften $ \mathbf {F} _{i}^{z} $:
Eingesetzt in obige Beziehung:
Meist steht die Zwangskraft $ \mathbf {F} _{i}^{z} $ senkrecht zur virtuellen Verschiebung $ \delta \mathbf {x} _{i} $, so dass $ \mathbf {F} _{i}^{z}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}=0 $ gilt. Dies ist z. B. der Fall, wenn die Bewegung auf Kurven oder Flächen begrenzt ist.
Es gibt allerdings Systeme, bei denen einzelne Zwangskräfte Arbeit verrichten $ \mathbf {F} _{i}^{z}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}\neq 0 $.
Das Prinzip der virtuellen Arbeit fordert nun, dass die Summe aller von den Zwangskräften verrichteten virtuellen Arbeiten bei einem System im Gleichgewicht verschwindet:
Für die eingeprägten Kräfte bedeutet das Prinzip der virtuellen Arbeit:
Man beachte, dass das Prinzip der virtuellen Arbeit nur ein Gleichgewichtsprinzip der Statik ist. Die Erweiterung auf die Dynamik liefert das D’Alembertsche Prinzip.
In konservativen Systemen sind alle eingeprägten Kräfte von einem Potential $ V $ ableitbar:
In diesem Fall lässt sich das Prinzip der virtuellen Arbeit
darstellen in der Form
Hierbei ist das Symbol $ \delta $ als Variationszeichen im Sinne der Variationsrechnung aufzufassen. $ \delta V=0 $ bedeutet damit die erste Variation der Potentiellen Energie.
An einem Winkelhebel, der frei drehbar auf einer Achse gelagert ist, greifen 2 eingeprägte Kräfte $ \mathbf {F} _{1} $ und $ \mathbf {F} _{2} $ an. Die virtuellen Verschiebungen der Kraftangriffspunkte sind $ \delta \mathbf {x} _{1} $ und $ \delta \mathbf {x} _{2} $.
Die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte ist damit
Weil der Winkelhebel als starr angesehen wird, sind die Größen $ \delta \mathbf {x} _{1} $ und $ \delta \mathbf {x} _{2} $ nicht unabhängig voneinander. Ihre Abhängigkeit kann man durch die Variation $ \delta \Phi $ der generalisierten Koordinate $ \Phi $ ausdrücken (Kleinwinkelnäherung):
(Betrachtung in 2 Dimensionen:
Damit wird die virtuelle Arbeit:
Da die Gleichung für beliebige $ \delta \Phi $ gilt, muss der Klammerausdruck identisch 0 sein:
Also bleibt das System im Gleichgewicht, d. h., es kippt weder nach rechts noch nach links, wenn die Kräfte multipliziert mit ihrer Achsdistanz gleich groß sind.
Die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte bzw. -momente ist bei dynamischen Systemen gleich Null. Drückt man die virtuellen Verschiebungen in den generalisierten Koordinaten aus, so können mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit Bewegungsgleichungen für große Mehrkörpersysteme aufgestellt werden.
Neben dem Prinzip der virtuellen Arbeit wird auch das Prinzip der virtuellen Leistung verwendet. Sein wesentlicher Unterschied liegt darin, dass statt virtuellen Verschiebungen hier virtuelle Geschwindigkeitsvariationen benutzt werden.
In der Statik wird dieses Prinzip selten angewendet, jedoch erweist sich seine Erweiterung auf dynamische Systeme, das Prinzip von Jourdain, als vorteilhaft, da dort nichtholonome Bedingungen elegant berücksichtigt werden können.
