Streuamplitude

Die Streuamplitude $$ f $$ ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition

Die Streuamplitude $f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )$ ist über den S-Operator $$ S $$ definiert:

\langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle =\delta ^{(3)}\!(\mathbf {p'} -\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\;\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })\cdot f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\;,

mit

$|\mathbf {p} \rangle$ und $\langle \mathbf {p'} |$ : Eigenzuständen des Impulsoperators
$E_{\mathbf {p} }$ : der Energie des eingehenden Zustands.

Die Streuamplitude ist nur definiert für $|\mathbf {p'} |=|\mathbf {p} |$ bzw. $E_{\mathbf {p'} }=E_{\mathbf {p} }\Leftrightarrow E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} }=0$ , weil ansonsten $\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })=0$ .

Alternativdefinition

Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels $\vartheta$ zwischen $\mathbf {p}$ und $\mathbf {p'}$ geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:

{\begin{aligned}\psi _{out}&=\int d^{3}\!p'\;\langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle \;\psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\int d^{3}\!p'\;\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })\;f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\;\psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\;f(E_{\mathbf {p} },\vartheta )\int d^{3}\!p'\;\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })\;\psi _{in}(\mathbf {p} )\end{aligned}}

Wenn für die eingehende Welle $\psi _{in}$ eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:

\psi _{out}=e^{ipz}+f(p,\vartheta )\;{\frac {e^{ipr}}{r}}

Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\vartheta )|^{2}\;.

Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem:

\sigma _{\mathrm {tot} }=\int _{4\pi }{\frac {d\sigma }{d\Omega }}\cdot d\Omega ={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0)

mit der Wellenzahl $$ k $$ und dem Imaginärteil $\mathrm {Im} \,f(0)$ der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.

Partialwellenentwicklung

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:

f(\vartheta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)\;f_{\ell }(k)\;P_{\ell }(\cos \vartheta )

wobei

$f_{\ell }(k)$ die partielle Streuamplitude
$P_{\ell }(\cos \vartheta )$ das Legendre-Polynom
$\ell$ der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element $S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}$ und die Streuphase $\delta _{\ell }$ ausgedrückt werden:

f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude $f_{\ell }$ , das S-matrix Element $S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}$ und die Streuphase $\delta _{\ell }$ implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses $$ k $$ sind.

Damit lässt sich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:

\sigma _{\text{total}}={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}\;.

Die Streulänge $a_{\ell }$ kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

f_{\ell }(p){\xrightarrow[{p\rightarrow 0}]{}}-a_{\ell }\cdot p^{2\ell }

Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge $a_{0}$ der s-Wellen $(\ell =0)$ als Streulänge bezeichnet.

Literatur

John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.