Strömungswiderstandskoeffizient: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. November 2021, 14:54 Uhr

Widerstandsbeiwert ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel. Auch der Druckverlustbeiwert wird Widerstandsbeiwert genannt.

Physikalische Kennzahl

Name

Strömungswiderstandskoeffizient,
Widerstandsbeiwert

Formelzeichen

c_{\mathrm {w} }

Dimension

dimensionslos

Definition

c_{\mathrm {w} }={\frac {F_{\mathrm {w} }}{q\cdot A}}

$F_{\mathrm {w} }$	Widerstandskraft
$$ q $$	Staudruck der Anströmung
$$ A $$	Referenzflächeninhalt

Anwendungsbereich

Luftwiderstand von Körpern

Der Strömungswiderstandskoeffizient, Widerstandsbeiwert, Widerstandskoeffizient, Stirnwiderstand oder c_w-Wert (nach dem üblichen Formelzeichen $c_{\mathrm {w} }$ ) ist ein dimensionsloses Maß (Koeffizient) für den Strömungswiderstand eines von einem Fluid umströmten Körpers.

Umgangssprachlich ausgedrückt ist der $c_{\mathrm {w} }$ -Wert ein Maß für die „Windschlüpfigkeit“ eines Körpers. Aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten lässt sich bei zusätzlicher Kenntnis von Geschwindigkeit, Stirnfläche, Flügelfläche etc. und Dichte des Fluids (z. B. der Luft) die Kraft des Strömungswiderstands berechnen.

Definition

Der Strömungswiderstandskoeffizient ist definiert durch:

c_{\mathrm {w} }={\frac {F_{\mathrm {w} }}{q\,A}}={\frac {2F_{\mathrm {w} }}{\rho \,v^{2}A}}

Hierbei wird die Widerstandskraft $F_{\mathrm {w} }$ auf den Staudruck $q={\frac {\rho }{2}}v^{2}$ der Anströmung und eine Referenzfläche $$ A $$ normiert mit

der Dichte $\rho$
der Geschwindigkeit $$ v $$ der ungestörten Anströmung.

Die Referenzfläche bzw. Widerstandsfläche $$ A $$ ist definitionsabhängig:

bei Fahrzeugen ist die Widerstandsfläche gleich der Stirnfläche^[1]^[2]
in der Flugzeugaerodynamik wird jedoch die Auftriebsfläche, also die Flügelfläche, als Referenz herangezogen.

Das Formelzeichen $c_{\mathrm {w} }$ (mit w für Widerstand) ist nur im deutschen Sprachraum üblich; im Englischen wird der Drag-Coefficient als $c_{\mathrm {d} }$ oder $c_{\mathrm {x} }$ notiert.

Abhängigkeiten

Bei inkompressibler Strömung

Datei:Kugel-Reynolds.png

Strömungswiderstandskoeffizient einer Kugel in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl: c_w=f(Re). Die charakteristische Länge ist in diesem Fall der Kugeldurchmesser d; die Bezugsfläche A ist eine Kreisfläche mit dem Durchmesser d.

Allgemein gilt, dass bei inkompressibler Strömung^{[A 1]} der Strömungswiderstandskoeffizient von der Reynolds-Zahl ${\mathit {Re}}$ abhängt:

c_{\mathrm {w} }=f({\mathit {Re}})

mit

$ {\mathit {Re}}={\frac {vL\rho }{\eta }} $
- der charakteristische Länge $$ L $$ , deren Quadrat $L^{2}$ in einem festen Verhältnis zur Bezugsfläche $$ A $$ steht
- der Viskosität (Zähigkeit) $\eta$ des Fluids.

Diese Aussage ergibt sich, wenn man davon ausgeht, dass die Strömungswiderstandskraft eines Körpers in einer bestimmten Lage abhängt von der Anströmgeschwindigkeit, der Dichte, der Viskosität und einer charakteristischen Länge des Körpers:

F_{\mathrm {w} }=f(v,\,\rho ,\,\eta ,\,L)

Mittels einer Dimensionsanalyse nach dem Buckinghamschen Π-Theorem lässt sich ableiten, dass die zwei Ähnlichkeitskennzahlen Strömungswiderstandskoeffizient und Reynoldszahl ausreichen, um den Strömungswiderstand eines bestimmten Körpers zu beschreiben.^[3] Dies ermöglicht eine unkompliziertere allgemeingültige Darstellung des Widerstandes einer bestimmten Körperform.

Bei kompressibler Strömung

c_w in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit

Bei kompressiblen Strömungen, also bei Strömungen mit veränderlicher Dichte ( $\rho \neq \mathrm {konst.}$ ), ist der Strömungswiderstandskoeffizient auch von der Mach-Zahl abhängig (vgl. Abb.):

im transsonischen Bereich und im Überschallbereich ändert sich der Strömungswiderstandskoeffizient stark
in der Nähe der Schallgeschwindigkeit steigt er auf ein Mehrfaches an
bei sehr hohen Machzahlen sinkt er auf etwa den doppelten Unterschall-c_w-Wert.

Oberhalb der kritischen Machzahl überschreiten Teilumströmungen die Schallgeschwindigkeit. Oberhalb der Widerstandsdivergenzmachzahl steigt der Strömungswiderstand stark an. Das Verhalten im Überschallbereich wird bestimmt durch die Geometrie des Körpers; in der Zeichnung steht die grüne Kurve für einen stromlinienförmigen Körper.

Stumpfe, kantige Körper haben über einen großen Bereich der Reynolds-Zahl einen weitgehend konstanten Widerstandsbeiwert. Das ist z. B. beim Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen bei den relevanten Geschwindigkeiten der Fall.

Der Widerstandsbeiwert bestimmt für Satelliten ihre Lebensdauer im Orbit. Bei einer Flughöhe oberhalb von ca. 150 km ist die Atmosphäre so dünn, dass die Strömung nicht mehr als laminare Kontinuumsströmung, sondern als freie molekulare Strömung approximiert wird. In diesem Bereich liegt der c_w-Wert typischerweise zwischen 2 und 4, oft wird mit einem Wert von 2,2 gerechnet. Mit steigender Höhe verringert sich der Einfluss der Atmosphäre und ist oberhalb von ca. 1000 km vernachlässigbar.

Ermittlung

Der Strömungswiderstandskoeffizient wird üblicherweise im Windkanal ermittelt. Der Körper steht dabei auf einer Platte, die mit Kraftsensoren ausgestattet ist. Die Kraft in Richtung der Anströmung wird gemessen. Aus dieser Widerstandskraft $F_{\mathrm {w} }$ und den bekannten Größen wie Luftdichte und Stirnfläche wird der Strömungswiderstandskoeffizient bei gegebener Anströmgeschwindigkeit errechnet.

Daneben kann der Widerstand je nach Komplexität der Modellform und verfügbarer Rechnerkapazität auch numerisch ermittelt werden, indem die Verteilung von Reibungs- und Druckbeiwert über die Modelloberfläche integriert wird.

Anwendung

Bestimmung der Antriebsleistung:

Aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten wird die Widerstandskraft wie folgt berechnet:

F_{\mathrm {w} }={\frac {\rho \,c_{\mathrm {w} }\,A\,v^{2}}{2}}

Der Strömungswiderstand ist somit jeweils proportional

zur Dichte des strömenden Fluids (vergleiche Luftdichte)
zum Strömungswiderstandskoeffizienten
zur Referenzfläche (projizierten Frontfläche)
zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit.

Die erforderliche Antriebsleistung ist sogar proportional zur dritten Potenz der Geschwindigkeit:

{\begin{aligned}P&={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}\\&={\frac {\rho \,c_{\mathrm {w} }\,A\,v^{2}}{2}}\cdot v\\&={\frac {\rho \,c_{\mathrm {w} }\,A\,v^{3}}{2}}\end{aligned}}

Daher hat bei Kraftfahrzeugen neben dem Strömungswiderstandskoeffizient (d. h. der Körperform) und der Stirnfläche die Wahl der Geschwindigkeit besondere Auswirkung auf den Treibstoffverbrauch.

Der Luftwiderstand ist ausschlaggebend für die Abweichung der tatsächlichen ballistischen Kurve von der idealisierten Wurfparabel.

Anwendung des Strömungswiderstandskoeffizienten beim freien Fall eines Objekts:

Der Verlauf von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit wird folgendermaßen bestimmt:

Formel für den Strömungswiderstand:

F_{\text{Wid}}(t)=c_{W}\,\rho _{\text{Luft}}\,A\,v(t)^{2}/2

Formel für die Gewichtskraft des Objekts:

F_{\text{Gew}}(t)=m_{\text{Obj}}\,g

Formel für die Beschleunigung:

a(t)=[F_{\text{Gew}}-F_{\text{Wid}}(t)]/m_{\text{Obj}}

Differentialgleichung:

a(t)={\frac {d}{dt}}v(t)=g-{\frac {c_{W}\,\rho _{\text{Luft}}\,A}{2\,m_{\text{Obj}}}}\,v(t)^{2}

Lösung der Differentialgleichung:

v(t)={\sqrt {\frac {2\,m_{\text{Obj}}\,g}{c_{W}\,\rho _{\text{Luft}}\,A}}}\tanh \left({\sqrt {\frac {c_{W}\,\rho _{\text{Luft}}\,A\,g}{2\,m_{\text{Obj}}}}}\,t\right)

a(t)=g\,\operatorname {sech} \left({\sqrt {\frac {c_{W}\,\rho _{\text{Luft}}\,A\,g}{2\,m_{\text{Obj}}}}}\,t\right)^{2}

s(t)=\int _{0}^{t}v(t')dt'={\frac {2\,m_{\text{Obj}}}{c_{W}\,\rho _{\text{Luft}}\,A}}\ln \left[\cosh \left({\sqrt {\frac {c_{W}\,\rho _{\text{Luft}}\,A\,g}{2\,m_{\text{Obj}}}}}\,t\right)\right]

Beispiele

c_w-Werte von typischen Körperformen

Wert	Form
2,3	Halbrohr lang, konkave Seite
2,0	lange Rechteckplatte
1,33	Halbkugelschale, konkave Seite, Fallschirm
1,2	Halbrohr lang, konvexe Seite
1,2	langer Zylinder, Draht (Re < 1,9 · 10⁵)
1,11	runde Scheibe, quadratische Platte
0,78	Mensch, stehend^[4]
0,6	Gleitschirm (Bezugsfläche Strömungsquerschnittsfläche !)
0,53…0,69	Fahrrad (Mountainbike, gestreckt/aufrecht)^[5]
0,45	Kugel (Re < 1,7 · 10⁵)
0,4	Fahrrad (Rennrad)^[5]
0,35	langer Zylinder, Draht (Re > 6,7 · 10⁵)
0,34	Halbkugelschale, Konvexe Seite
0,09…0,18	Kugel (Re > 4,1 · 10⁵)
0,08	Flugzeug (Bezugsfläche Tragfläche)
0,04	Stromlinienkörper „Tropfenform“
0,03	Pinguin
0,02	optimierte Spindelform

$\mathrm {Re}$ bezeichnet hierbei die Reynolds-Zahl

Luftwiderstandsbeiwerte von Kraftfahrzeugen

Veröffentlichte c_w-Werte sind äußerst kritisch zu hinterfragen, da sie oftmals noch heute an kleinen Modellen unter Missachtung der Modellprinzipien ermittelt wurden und werden, früher beispielsweise durch die Deutsche Versuchsanstalt für Luftfahrt mit c_w=0,244 für den Tatra 87, der viel später als Original mit c_w=0,36 gemessen wurde.^[6]

Der c_w-Wert quantifiziert die aerodynamische Güte eines Körpers. Durch Multiplikation mit der Bezugsfläche $$ A $$ (bei Fahrzeugen üblicherweise die Stirnfläche) erhält man die Widerstandsfläche $f_{\mathrm {w} }$ eines Fahrzeugs, manchmal auch vereinfacht als 'Luftwiderstand'^[7] bezeichnet:

f_{\mathrm {w} }=c_{\mathrm {w} }A

.

Der Leistungsbedarf, der den Treibstoffverbrauch eines Kraftfahrzeugs bei hohen Fahrgeschwindigkeiten bestimmt, ist proportional zur Widerstandsfläche. Von Herstellern wird die Stirnfläche selten angegeben.

Eine umfassende Sammlung von Kraftfahrzeug-c_w-Werten, für die es Belege gibt, wurde auf die Seite „Wikipedia-Auto und Motorrad-Portal/Luftwiderstandsbeiwert“ ausgelagert.

Anmerkungen

↑ Auch kompressible Fluide wie Luft können als inkompressibel betrachtet werden, wenn die Dichte im Strömungsfeld weitestgehend konstant ist. Das ist bis zu einer Mach-Zahl von 0,3 im Allgemeinen der Fall.

Literatur

Sighard F. Hoerner: Fluid-Dynamic Drag. Eigenverlag, 1965.
Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch der Physik. 4. Auflage. Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
Hans-Hermann Braess, Ulrich Seiffert: Vieweg-Handbuch Kraftfahrzeugtechnik. 2. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2001, ISBN 3-528-13114-4.
Karl-Heinz Dietsche, Thomas Jäger, Robert Bosch GmbH: Kraftfahrtechnisches Taschenbuch. 25. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-23876-3.
Wolfgang Demtröder: Mechanik und Wärme. 4. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-26034-X (Experimentalphysik, Band 1).
Wolf-Heinrich Hucho: Aerodynamik des Automobils. Hrsg.: Thomas Schütz. 6. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-2316-8, Einführung (über 1000, books.google.de).

Weblinks

Sonderausstellung in Hamburg: „100 Jahre gegen den Wind“. In: Auto, Motor und Sport, 17. Dezember 2008.
Spritsparmodelle aus dem Windkanal. auto-motor-und-sport.de, 18. Oktober 2011 (Überblick-Artikel mit Entwickler-Interview); abgerufen 30. Mai 2018.
In der Geheimkammer der Luftikusse. FAZ/FAS, 8. September 2014; abgerufen 14. August 2017.

Einzelnachweise

↑ Ludwig Prandtl: Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Göttingen, Teil 1. Universitätsverlag Göttingen 2009 (Ersterscheinung 1921) ISBN 978-3-941875-35-7 eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
↑ Wolfgang-Heinrich Hucho: Aerodynamik des Automobils. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-62160-1, S. 111–113.
↑ Jürgen Zierep: Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre. Karlsruhe 1991, ISBN 3-7650-2041-9.
↑ Fall mit Luftwiderstand, dieter-heidorn.de, Material zu Kursen am Hansa-Kolleg, abrufbar 30. Mai 2018.
↑ ^5,0 ^5,1 http://www.ltam.lu/physique/projekte/reichling/zusammenfassung.pdf (Memento vom 6. Oktober 2014 im Internet Archive)
↑ Wolf-Heinrich Hucho: Aerodynamik des Automobils. Hrsg.: Thomas Schütz. 6. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-2316-8, Einführung, S. 11–53 (books.google.de).
↑ autobild.de: Die Tops und Flops im Windkanal

[3] Auch kompressible Fluide wie Luft können als inkompressibel betrachtet werden, wenn die Dichte im Strömungsfeld weitestgehend konstant ist. Das ist bis zu einer Mach-Zahl von 0,3 im Allgemeinen der Fall.

[1] Ludwig Prandtl: Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Göttingen, Teil 1. Universitätsverlag Göttingen 2009 (Ersterscheinung 1921) ISBN 978-3-941875-35-7 eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche

[2] Wolfgang-Heinrich Hucho: Aerodynamik des Automobils. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-62160-1, S. 111–113.

[4] Jürgen Zierep: Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre. Karlsruhe 1991, ISBN 3-7650-2041-9.

[5] Fall mit Luftwiderstand, dieter-heidorn.de, Material zu Kursen am Hansa-Kolleg, abrufbar 30. Mai 2018.

[ltam-zus-6] 5,0 ^5,1 http://www.ltam.lu/physique/projekte/reichling/zusammenfassung.pdf (Memento vom 6. Oktober 2014 im Internet Archive)

[Hucho_2013-7] Wolf-Heinrich Hucho: Aerodynamik des Automobils. Hrsg.: Thomas Schütz. 6. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-2316-8, Einführung, S. 11–53 (books.google.de).

[8] utobild.de: Die Tops und Flops im Windkanal

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-{{Infobox Kennzahl
+{{Weiterleitungshinweis|Widerstandsbeiwert|Auch der [[Druckverlustbeiwert]] wird Widerstandsbeiwert genannt.}}
+{{Infobox Physikalische Kennzahl
 | Name              = Strömungswiderstandskoeffizient,<br />Widerstandsbeiwert
 | Formelzeichen     = <math>c_\mathrm w</math>
@@ Zeile 5: / Zeile 6: @@
 | Definition        = <math>c_\mathrm w = \frac{F_\mathrm w}{q \cdot A}</math>
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-| Anwendungsbereich = Luftwiderstand von Fahrzeugen
+| Anwendungsbereich = Luftwiderstand von Körpern
 }}
-Der '''Strömungswiderstandskoeffizient''', '''Widerstandsbeiwert''' oder '''''c''<sub>w</sub>-Wert''' (nach dem üblichen Formelzeichen <math>c_{\mathrm w}</math>) ist ein [[Dimensionslose Kennzahl|dimensionsloses Maß]] ([[Koeffizient#Physik|Koeffizient]]) für den [[Strömungswiderstand]] eines von einem [[Fluid]] umströmten Körpers.
+Der '''Strömungswiderstandskoeffizient''', '''Widerstandsbeiwert''', '''Widerstandskoeffizient''', '''Stirnwiderstand''' oder '''''c''<sub>w</sub>-Wert''' (nach dem üblichen Formelzeichen <math>c_{\mathrm w}</math>) ist ein [[Dimensionslose Kennzahl|dimensionsloses Maß]] ([[Koeffizient#Physik|Koeffizient]]) für den [[Strömungswiderstand]] eines von einem [[Fluid]] umströmten Körpers.
-Umgangssprachlich ausgedrückt ist der <math>c_\mathrm w</math>-Wert ein Maß für die „Windschlüpfrigkeit“ eines Körpers. Es lässt sich aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten bei zusätzlicher Kenntnis von Geschwindigkeit, [[Stirnfläche]], [[Flügelfläche]] etc. und Dichte des Fluids (z.&nbsp;B. der [[Luft]]) die [[Strömungswiderstand|Kraft des Strömungswiderstands]] berechnen.
+Umgangssprachlich ausgedrückt ist der <math>c_\mathrm w</math>-Wert ein Maß für die „Windschlüpfigkeit“ eines Körpers. Aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten lässt sich bei zusätzlicher Kenntnis von Geschwindigkeit, [[Stirnfläche]], [[Flügelfläche]] etc. und [[Dichte]] des Fluids (z.&nbsp;B. der [[Luft]]) die Kraft des Strömungswiderstands berechnen.
 == Definition ==
-Der Strömungswiderstandskoeffizient ist durch:
+Der Strömungswiderstandskoeffizient ist definiert durch:
-: <math>c_\mathrm w \,=\, \frac{F_\mathrm w}{q \, A} \,=\, \frac{2  F_\mathrm w}{\rho\, v^{\,2} A}</math>
-definiert. Hierbei wird die Widerstandskraft <math>F_\mathrm w</math> auf den [[Staudruck]] <math>q</math> der Anströmung und eine Referenzfläche <math>A</math> normiert. Ferner bilden <math>\rho</math> die [[Dichte]] und <math>v</math> die Geschwindigkeit der ungestörten Anströmung. Die Referenzfläche ist definitionsabhängig. Bei Fahrzeugen ist die Widerstandsfläche<ref>Ludwig Prandtl: ''Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Göttingen, Teil 1.'' Universitätsverlag Göttingen 2009 (Ersterscheinung 1921) ISBN 978-3-941875-35-7 {{Google Buch|BuchID=8Z7r7OBmVAMC&pg|Seite=31}}</ref><ref>Wolfgang-Heinrich Hucho: ''Aerodynamik des Automobils.'' Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-62160-1, S. 111–113.</ref> gleich der [[Stirnfläche]]. In der Flugzeugaerodynamik wird jedoch die Auftriebsfläche, also die [[Flügelfläche]] als Referenz herangezogen.
+:<math>c_\mathrm w = \frac{F_\mathrm w}{q \, A} = \frac{2  F_\mathrm w}{\rho \, v^2 A}</math>
-Andere Bezeichnungen für den Strömungswiderstandskoeffizient lauten ''(Luft-)Widerstandsbeiwert'', ''-koeffizient'' oder ''Stirnwiderstand''. Das Formelzeichen <math>c_\mathrm w</math> (mit w für Widerstand) ist nur im deutschen Sprachraum üblich; im Englischen wird der ''Drag-Coefficient'' als <math>c_\mathrm d</math> oder <math>c_\mathrm x</math> notiert.
+Hierbei wird die [[Widerstandskraft]] <math>F_\mathrm w</math> auf den [[Staudruck]] <math>q = \frac{\rho} 2 v^2</math> der Anströmung und eine Referenzfläche <math>A</math> normiert mit
+* der Dichte <math>\rho</math>
+* der Geschwindigkeit <math>v</math> der ungestörten Anströmung.
+Die Referenzfläche bzw. Widerstandsfläche <math>A</math> ist definitionsabhängig:
+* bei Fahrzeugen ist die Widerstandsfläche gleich der Stirnfläche<ref>Ludwig Prandtl: ''Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Göttingen, Teil 1.'' Universitätsverlag Göttingen 2009 (Ersterscheinung 1921) ISBN 978-3-941875-35-7 {{Google Buch |BuchID=8Z7r7OBmVAMC&pg |Seite=31}}</ref><ref>Wolfgang-Heinrich Hucho: ''Aerodynamik des Automobils.'' Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-62160-1, S. 111–113.</ref>
+* in der [[Flugzeug]][[aerodynamik]] wird jedoch die Auftriebsfläche, also die Flügelfläche, als Referenz herangezogen.
-== Abhängigkeit des Strömungswiderstandskoeffizienten ==
+Das Formelzeichen <math>c_\mathrm w</math> (mit w für Widerstand) ist nur im deutschen Sprachraum üblich; im Englischen wird der ''Drag-Coefficient'' als <math>c_\mathrm d</math> oder <math>c_\mathrm x</math> notiert.
-[[Datei:Kugel-Reynolds.png|500px|mini|Strömungswiderstandskoeffizient einer Kugel in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl ''c''<sub>w</sub>=''f''(''Re''). Die charakteristische Länge ist in diesem Fall der Kugeldurchmesser ''d''; die Bezugsfläche ''A'' ist eine Kreisfläche mit dem Durchmesser ''d''.]]
-Allgemein gilt, dass bei inkompressibler Strömung<ref group="A">Auch kompressible Fluide wie Luft können als inkompressibel betrachtet werden, wenn die Dichte im Strömungsfeld weitestgehend konstant ist. Das ist bis zu einer [[Mach-Zahl]] von 0,3 im Allgemeinen der Fall.</ref> der Strömungswiderstandskoeffizient c<sub>W</sub> von der [[Reynolds-Zahl]] <math>\mathit{Re}</math> abhängt:
-:<math>c_\mathrm w = f(\mathit{Re}) \!\,</math> mit <math>\mathit{Re} = \frac{v L \rho}{\eta}</math>
-Diese Aussage ergibt sich, wenn man davon ausgeht, dass die Strömungswiderstandskraft <math>F_\mathrm w</math> eines Körpers in einer bestimmten Lage abhängig von der Anströmgeschwindigkeit <math>v</math>, der [[Dichte]] <math>\rho</math> und der [[Viskosität]] (Zähigkeit) <math>\eta</math> des Fluids sowie einer [[Charakteristische Länge|charakteristischen Länge]] <math>L</math> des Körpers ist. Die charakteristische Länge <math>L</math> ist eine bestimmte geometrische Abmessung, deren Quadrat <math>L^2</math> in einem festen Verhältnis zur Bezugsfläche <math>A</math> steht.
+== Abhängigkeiten ==
-:<math>F_\mathrm w = f(v,\,\rho,\,\eta,\,L)</math>
+=== Bei inkompressibler Strömung ===
+[[Datei:Kugel-Reynolds.png|500px|mini|Strömungswiderstandskoeffizient einer Kugel in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl: ''c''<sub>w</sub>=''f''(''Re''). Die charakteristische Länge ist in diesem Fall der Kugeldurchmesser&nbsp;''d''; die Bezugsfläche&nbsp;''A'' ist eine Kreisfläche mit dem Durchmesser&nbsp;''d''.]]
+Allgemein gilt, dass bei [[Inkompressibilität|inkompressibler]] Strömung<ref group="A">Auch kompressible Fluide wie Luft können als inkompressibel betrachtet werden, wenn die Dichte im Strömungsfeld weitestgehend konstant ist. Das ist bis zu einer [[Mach-Zahl]] von 0,3 im Allgemeinen der Fall.</ref> der Strömungswiderstandskoeffizient von der [[Reynolds-Zahl]] <math>\mathit{Re}</math> abhängt:
-Mittels einer [[Dimensionsanalyse#Strömungswiderstand einer Kugel|Dimensionsanalyse]] nach dem [[Buckinghamsches Π-Theorem|Buckinghamschen Π-Theorem]] lässt sich ableiten, dass die zwei Ähnlichkeitskennzahlen Strömungswiderstandskoeffizient <math>c_\mathrm w</math> und Reynoldszahl <math>\mathit{Re}</math> ausreichen, um den Strömungswiderstand eines bestimmten Körpers zu beschreiben,<ref>Jürgen Zierep: ''Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre.'' Karlsruhe 1991, ISBN 3-7650-2041-9.</ref> was eine unkompliziertere allgemeingültige Darstellung des Widerstandes einer bestimmten Körperform ermöglicht.
+:<math>c_\mathrm w = f(\mathit{Re})</math>
-Stumpfe, kantige Körper haben über einen großen Bereich der Reynolds-Zahl einen weitgehend konstanten Widerstandsbeiwert. Das ist z.&nbsp;B. beim Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen bei den relevanten Geschwindigkeiten der Fall.
+mit
+* <math>\mathit{Re} = \frac{v L \rho}{\eta}</math>
+** der [[charakteristische Länge]] <math>L</math>, deren Quadrat <math>L^2</math> in einem festen Verhältnis zur Bezugsfläche <math>A</math> steht
+** der [[Viskosität]] (Zähigkeit) <math>\eta</math> des Fluids.
+Diese Aussage ergibt sich, wenn man davon ausgeht, dass die Strömungswiderstandskraft eines Körpers in einer bestimmten Lage abhängt von der Anströmgeschwindigkeit, der Dichte, der Viskosität und einer charakteristischen Länge des Körpers:
+:<math>F_\mathrm w = f(v, \, \rho, \, \eta, \, L)</math>
+Mittels einer [[Dimensionsanalyse #Strömungswiderstand einer Kugel|Dimensionsanalyse]] nach dem [[Buckinghamsches Π-Theorem|Buckinghamschen Π-Theorem]] lässt sich ableiten, dass die zwei [[Ähnlichkeitskennzahl]]en Strömungswiderstandskoeffizient und Reynoldszahl ausreichen, um den Strömungswiderstand eines bestimmten Körpers zu beschreiben.<ref>Jürgen Zierep: ''Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre.'' Karlsruhe 1991, ISBN 3-7650-2041-9.</ref> Dies ermöglicht eine unkompliziertere allgemeingültige Darstellung des Widerstandes einer bestimmten Körperform.
+=== Bei kompressibler Strömung ===
 [[Datei:Dragmachschem.svg|440x440px|mini|''c''<sub>w</sub> in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit]]
+Bei [[Kompressibilität|kompressiblen]] Strömungen, also bei Strömungen mit veränderlicher Dichte (<math>\rho \neq \mathrm{konst.}</math>), ist der Strömungswiderstandskoeffizient auch von der [[Mach-Zahl]] abhängig (vgl. Abb.):
+* im [[Transsonische Strömung|transsonischen]] Bereich und im [[Überschallgeschwindigkeit|Überschallbereich]] ändert sich der Strömungswiderstandskoeffizient stark
+* in der Nähe der [[Schallgeschwindigkeit]] steigt er auf ein Mehrfaches an
+* bei sehr hohen Machzahlen sinkt er auf etwa den doppelten Unterschall-''c''<sub>w</sub>-Wert.
+Oberhalb der [[Kritische Machzahl|kritischen Machzahl]] überschreiten Teilumströmungen die Schallgeschwindigkeit. Oberhalb der [[Widerstandsdivergenzmachzahl]] steigt der Strömungswiderstand stark an. Das Verhalten im Überschallbereich wird bestimmt durch die Geometrie des Körpers; in der Zeichnung steht die grüne Kurve für einen [[Stromlinienform|stromlinienförmigen]] Körper.
-Bei kompressiblen Strömungen, also bei Strömungen mit veränderlicher Dichte, besteht auch eine Abhängigkeit des Strömungswiderstandskoeffizienten von der [[Mach-Zahl]]. Im [[Transsonische Strömung|transsonischen]] Bereich und im Überschallbereich ändert sich der Strömungswiderstandskoeffizient stark. In der Nähe der [[Schallgeschwindigkeit]] steigt er auf ein Mehrfaches an und sinkt bei sehr hohen Machzahlen auf etwa den doppelten Unterschall-''c''<sub>w</sub>-Wert. Die Grafik veranschaulicht den Zusammenhang schematisch. Oberhalb der [[Kritische Machzahl|kritischen Machzahl]] überschreiten Teilumströmungen die Schallgeschwindigkeit. Oberhalb der [[Widerstandsdivergenzmachzahl]]<ref>[[:en:Drag divergence Mach number|Drag divergence Mach number]] auf en.wikipedia.org.</ref> steigt der Strömungswiderstand stark an. Das Verhalten im Überschallbereich wird bestimmt durch die Geometrie des Körpers. In der Zeichnung steht die grüne Kurve für einen stromlinienförmigen Körper.
+Stumpfe, kantige Körper haben über einen großen Bereich der Reynolds-Zahl einen weitgehend konstanten Widerstandsbeiwert. Das ist z.&nbsp;B. beim Luftwiderstand von Kraftfahrzeugen bei den relevanten Geschwindigkeiten der Fall.
-Der Widerstandsbeiwert bestimmt für [[Ballistischer Koeffizient#Widerstandskoeffizient|Satelliten]] ihre Lebensdauer im Orbit. Bei einer Flughöhe oberhalb von ca. 150&nbsp;km ist die Atmosphäre so dünn, dass die Strömung nicht mehr als laminare Kontinuumsströmung, sondern als freie [[molekulare Strömung]] approximiert wird. In diesem Bereich liegt der c<sub>w</sub>-Wert typischerweise zwischen 2 und 4, oft wird mit einem Wert von 2,2 gerechnet. Mit steigender Höhe verringert sich der Einfluss der Atmosphäre und ist oberhalb von ca. 1000&nbsp;km vernachlässigbar.
+Der Widerstandsbeiwert bestimmt für [[Ballistischer Koeffizient #Widerstandskoeffizient|Satelliten]] ihre [[Lebensdauer (Technik)|Lebensdauer]] im [[Satellitenorbit|Orbit]]. Bei einer [[Flughöhe]] oberhalb von ca. 150&nbsp;km ist die Atmosphäre so dünn, dass die Strömung nicht mehr als [[laminar]]e [[Kontinuumsströmung]], sondern als freie [[molekulare Strömung]] approximiert wird. In diesem Bereich liegt der c<sub>w</sub>-Wert typischerweise zwischen&nbsp;2 und&nbsp;4, oft wird mit einem Wert von&nbsp;2,2 gerechnet. Mit steigender Höhe verringert sich der Einfluss der Atmosphäre und ist oberhalb von ca. 1000&nbsp;km vernachlässigbar.
 == Ermittlung ==
-Der Strömungswiderstandskoeffizient wird üblicherweise im [[Windkanal]] ermittelt. Der Körper steht dabei auf einer Platte, die mit Kraftsensoren ausgestattet ist. Die Kraft in Richtung der Anströmung wird gemessen. Aus dieser Widerstandskraft <math>F_\mathrm w</math> und den bekannten Größen wie Luftdichte und [[Stirnfläche]] wird der Strömungswiderstandskoeffizient bei gegebener Anströmgeschwindigkeit errechnet. Neben der experimentellen Ermittlung kann der Widerstand je nach Komplexität der Modellform und verfügbarer Rechnerkapazität auch numerisch über die Integration der Verteilung von Reibungs- und Druckbeiwert über die Modelloberfläche berechnet werden.
+Der Strömungswiderstandskoeffizient wird üblicherweise im [[Windkanal]] ermittelt. Der Körper steht dabei auf einer Platte, die mit [[Kraftsensor]]en ausgestattet ist. Die Kraft in Richtung der Anströmung wird gemessen. Aus dieser Widerstandskraft <math>F_\mathrm w</math> und den bekannten Größen wie Luftdichte und Stirnfläche wird der Strömungswiderstandskoeffizient bei gegebener Anströmgeschwindigkeit errechnet.
+Daneben kann der Widerstand je nach Komplexität der Modellform und verfügbarer Rechnerkapazität auch [[Numerische Mathematik|numerisch]] ermittelt werden, indem die Verteilung von Reibungs- und Druckbeiwert über die Modelloberfläche integriert wird.
 == Anwendung ==
-Aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten wird die Widerstandskraft <math> F_\mathrm w</math> wie folgt berechnet:
+'''Bestimmung der Antriebsleistung:'''
+Aus dem Strömungswiderstandskoeffizienten wird die Widerstandskraft wie folgt berechnet:
+: <math>F_\mathrm w = \frac{\rho \, c_\mathrm w \, A \, v^2}2</math>
+Der Strömungswiderstand ist somit jeweils proportional
+* zur Dichte des strömenden Fluids (vergleiche [[Luftdichte]])
+* zum Strömungswiderstandskoeffizienten
+* zur Referenzfläche (projizierten Frontfläche)
+* zum Quadrat der [[Strömungsgeschwindigkeit]].
+Die erforderliche [[Fahrwiderstand#Erforderliche Antriebsleistung|Antriebsleistung]] ist sogar proportional zur dritten Potenz der Geschwindigkeit:
+:<math>\begin{align}
+P &= \vec F \cdot \vec v\\
+  &= \frac{\rho \, c_\mathrm w \, A \, v^2}2 \cdot v\\
+  &= \frac{\rho \, c_\mathrm w \, A \, v^3}2
+\end{align}</math>
+Daher hat bei Kraftfahrzeugen neben dem Strömungswiderstandskoeffizient (d.&nbsp;h. der Körperform) und der Stirnfläche die Wahl der Geschwindigkeit besondere Auswirkung auf den [[Treibstoffverbrauch]].
+Der Luftwiderstand ist ausschlaggebend für die Abweichung der tatsächlichen [[Wurfparabel #Wurfparabel mit Luftwiderstand|ballistischen Kurve]] von der idealisierten [[Wurfparabel]].
-: <math>F_\mathrm w = \frac{\rho\,c_\mathrm w\, A\,v^{\,2}}{2}</math>
+'''Anwendung des Strömungswiderstandskoeffizienten beim freien Fall eines Objekts:'''
-Der Strömungswiderstand hängt somit ab von
+Der Verlauf von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit wird folgendermaßen bestimmt:
-* der [[Dichte]] des strömenden Fluids <math>\rho</math> (vergleiche [[Luftdichte]]!),
-* der Referenzfläche <math>A</math>,
-* der Strömungsgeschwindigkeit <math>v</math> und
-* dem Strömungswiderstandskoeffizienten <math>c_\mathrm w</math>.
-Der Luftwiderstand ist somit jeweils proportional zum Strömungswiderstandskoeffizient, zur projizierten Frontfläche und zum Quadrat der Geschwindigkeit. Die erforderliche [[Fahrwiderstand#Erforderliche Antriebsleistung|Antriebsleistung]] ist wegen <math>P = \vec F \cdot \vec v</math> sogar proportional zur dritten Potenz der Geschwindigkeit. Daher hat die Wahl der Geschwindigkeit bei Kraftfahrzeugen neben den anderen beiden Faktoren besondere Auswirkung auf den Treibstoffverbrauch.
+Formel für den Strömungswiderstand:
-Der Luftwiderstand ist ausschlaggebend für die Abweichung der tatsächlichen [[Wurfparabel#Wurfparabel mit Luftwiderstand|ballistischen Kurve]] von der idealisierten [[Wurfparabel]].
+: <math>F_\text{Wid}(t) = c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A\,v(t)^2/2</math>
+Formel für die Gewichtskraft des Objekts:
+:<math>F_\text{Gew}(t) = m_\text{Obj}\,g</math>
+Formel für die Beschleunigung:
+:<math>a(t) = [F_\text{Gew} - F_\text{Wid}(t)]/m_\text{Obj}</math>
+Differentialgleichung:
+:<math>a(t) = \frac{d}{dt}v(t) = g - \frac{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A}{2\,m_\text{Obj}}\,v(t)^2 </math>
+Lösung der Differentialgleichung:
+:<math>v(t) = \sqrt{\frac{2\,m_\text{Obj}\,g}{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A}}\tanh\left(\sqrt{\frac{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A\,g}{2\,m_\text{Obj}}}\,t\right) </math>
+:<math>a(t) = g\,\operatorname{sech}\left(\sqrt{\frac{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A\,g}{2\,m_\text{Obj}}}\,t\right)^2 </math>
+:<math>s(t) = \int_0^t v(t') dt' = {\frac{2\,m_\text{Obj}}{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A}}\ln\left[\cosh\left(\sqrt{\frac{c_{W}\,\rho_\text{Luft}\,A\,g}{2\,m_\text{Obj}}}\,t\right)\right] </math>
 == Beispiele ==
 === ''c''<sub>w</sub>-Werte von typischen Körperformen ===
-{| class="wikitable"
+{| class="wikitable sortable"
 |- class="hintergrundfarbe5"
-! width="15%"| Wert
+!width="15%"| Wert
-! width="65%"| Form
+!width="65%"| Form
 |-
-|2,3||Halbrohr lang, [[konkav]]e Seite
+|2,3||Halbrohr lang, [[konkave Fläche|konkave]] Seite
 |-
 |2,0||lange Rechteckplatte
 |-
-|1,33|| Halbkugelschale, [[konkav]]e Seite, Fallschirm
+|1,33|| Halbkugelschale, konkave Seite, Fallschirm
 |-
-|1,2||Halbrohr lang, [[konvex]]e Seite
+|1,2||Halbrohr lang, [[Konvexe und konkave Fläche|konvexe]] Seite
 |-
 |1,2||langer Zylinder, Draht (Re < 1,9 · 10<sup>5</sup>)
 |-
-| 1,11…1,17 || runde Scheibe, quadratische Platte
+| 1,11 || runde Scheibe, quadratische Platte
 |-
-| 0,78 || Mensch, stehend<ref>[http://www.dieter-heidorn.de/Physik/VS/Mechanik/K05_FallMitFL/K05_FallMitFL.html Fall mit Luftwiderstand], dieter-heidorn.de</ref>
+| 0,78 || Mensch, stehend<ref>[http://www.dieter-heidorn.de/Physik/VS/Mechanik/K05_FallMitFL/K05_FallMitFL.html ''Fall mit Luftwiderstand'', dieter-heidorn.de], Material zu Kursen am Hansa-Kolleg, abrufbar 30. Mai 2018.</ref>
 |-
-| 0,6 || Gleitschirm (Bezugsfläche Strömungsquerschnittsfläche!)
+| 0,6 || Gleitschirm (Bezugsfläche Strömungsquerschnittsfläche !)
 |-
-| 0,53…0,69 || Fahrrad (Mountainbike, gestreckt/aufrecht)<ref name="ltam-zus">http://www.ltam.lu/physique/projekte/reichling/zusammenfassung.pdf</ref>
+| 0,53…0,69 || Fahrrad (Mountainbike, gestreckt/aufrecht)<ref name="ltam-zus">{{Webarchiv|url=http://www.ltam.lu/physique/projekte/reichling/zusammenfassung.pdf | wayback=20141006172412}}</ref>
 |-
 | 0,45 || Kugel (Re < 1,7 · 10<sup>5</sup>)
@@ Zeile 86: / Zeile 133: @@
 | 0,35||langer Zylinder, Draht (Re > 6,7 · 10<sup>5</sup>)
 |-
-| 0,34 || Halbkugelschale, [[konvex]]e Seite
+| 0,34 || Halbkugelschale, Konvexe Seite
 |-
 | 0,09…0,18 || Kugel (Re > 4,1 · 10<sup>5</sup>)
 |-
 | 0,08 || Flugzeug (Bezugsfläche Tragfläche)
+|-
+| 0,04 || Stromlinienkörper „Tropfenform“
 |-
 | 0,03 || Pinguin
 |-
-| 0,02 || Tropfen stromlinienförmig
+| 0,02 || optimierte Spindelform
 |}
 <math>\mathrm{Re}</math> bezeichnet hierbei die [[Reynolds-Zahl]]
 === Luftwiderstandsbeiwerte von Kraftfahrzeugen ===
-Veröffentlichte ''c''<sub>w</sub>-Werte sind äußerst kritisch zu hinterfragen, oftmals noch heute an kleinen Modellen unter Missachtung der Modellprinzipien ermittelt, früher beispielsweise durch die [[Deutsche Versuchsanstalt für Luftfahrt]] mit ''c''<sub>w</sub>=0,244 für den [[Tatra 87]], der viel später als Original mit ''c''<sub>w</sub>=0,36 gemessen wurde.<ref name="Hucho 2013">{{Literatur|Titel=Aerodynamik des Automobils|Herausgeber=Thomas Schütz|Kapitel=Einführung|Autor=Wolf-Heinrich Hucho|Verlag=[[Springer Vieweg]]|Ort=Wiesbaden|ISBN=978-3-8348-2316-8|Auflage=6|Jahr=2013|Seiten=11–53|Online=[http://books.google.de/books?id=EefBAAAAQBAJ&pg=PA10#v=onepage&q&f=true Auszug online] unter [[Google Books]]}}</ref>
+Veröffentlichte ''c''<sub>w</sub>-Werte sind äußerst kritisch zu hinterfragen, da sie oftmals noch heute an kleinen Modellen unter Missachtung der Modellprinzipien ermittelt wurden und werden, früher beispielsweise durch die [[Deutsche Versuchsanstalt für Luftfahrt]] mit ''c''<sub>w</sub>=0,244 für den [[Tatra 87]], der viel später als Original mit ''c''<sub>w</sub>=0,36 gemessen wurde.<ref name="Hucho 2013">{{Literatur |Autor=Wolf-Heinrich Hucho |Hrsg=Thomas Schütz |Titel=Aerodynamik des Automobils |Auflage=6 |Verlag=[[Springer Vieweg]] |Ort=Wiesbaden |Datum=2013 |ISBN=978-3-8348-2316-8 |Kapitel=Einführung |Seiten=11–53 |Online=[http://books.google.de/books?id=EefBAAAAQBAJ&pg=PA10#v=onepage&q&f=true books.google.de]}}</ref>
+Der ''c''<sub>w</sub>-Wert quantifiziert die aerodynamische Güte eines Körpers. Durch Multiplikation mit der Bezugsfläche <math>A</math> (bei Fahrzeugen üblicherweise die Stirnfläche) erhält man die ''Widerstandsfläche'' <math>f_\mathrm w</math> eines Fahrzeugs, manchmal auch vereinfacht als 'Luftwiderstand'<ref>[https://www.autobild.de/bilder/die-tops-und-flops-im-windkanal-668619.html#bild11 autobild.de: Die Tops und Flops im Windkanal]</ref> bezeichnet:
+:<math>f_\mathrm w = c_\mathrm w A</math>.
+Der Leistungsbedarf, der den Treibstoffverbrauch eines Kraftfahrzeugs bei hohen Fahrgeschwindigkeiten bestimmt, ist proportional zur Widerstandsfläche. Von Herstellern wird die Stirnfläche selten angegeben.
-{| class="wikitable"
+Eine umfassende Sammlung von Kraftfahrzeug-''c''<sub>w</sub>-Werten, für die es Belege gibt, wurde auf die Seite [[Portal:Auto und Motorrad/Luftwiderstandsbeiwert#Luftwiderstandsbeiwerte von Kraftfahrzeugen|„Wikipedia-Auto und Motorrad-Portal/Luftwiderstandsbeiwert“]] ausgelagert.
-!c<sub>W</sub>-Wert
-!Experimentalfahrzeuge
-!Serienfahrzeuge
-|-
-|0,9||||[[Ford Model T]]
-|-
-|0,78|||| [[Mercedes-Benz G-Klasse|Mercedes G-Klasse]] (W 463, langer Radstand)
-|-
-|0,7|||| Motorrad, unverkleidet
-|-
-|0,66|||| [[Mercedes-Benz Typ Stuttgart 200|Mercedes-Benz Typ Stuttgart]] Limousine (1928)<ref name="Hucho 2013" />
-|-
-| 0,51|||| moderner Lkw (Sattelzug, 2012)
-|-
-| 0,50|||| [[Citroën 2CV]]
-|-
-| 0,49|||| [[VW Käfer]]
-|-
-| 0,44|||| [[VW-Bus]]
-|-
-| 0,41|||| [[Opel GT]] (1968),<ref name="Hucho 2013" /> [[Mercedes-Benz W 116]] (1972), [[VW Golf I]] (1974),<ref name="Hucho 2013" /> [[VW Scirocco]] (1974),<ref name="Hucho 2013" /> [[Smart Roadster]] (nicht Coupé)
-|-
-| 0,40
-| VW Öko-Polo (Kleinserie von 52 Stück, 1,7 l / 100&nbsp;km, 1987)<ref name="Oeko-Polo 1987">[http://magazin.volkswagen.de/Polo-Fans-im-Ruhrgebiet.html Polo holt den Pott], Volkswagen: Das Auto. Magazin</ref><ref name="Oeko-Polo">[http://www.g-lader.info/fahrzeuge_studien_oekopolo.htm Studie VW Öko-Polo (1989)], g-lader.info</ref><ref name="Oeko-Polo Vau-Max">[http://www.vau-max.de/magazin/klassik/oeko-polo-mit-2-zylinder-dieselmotor-und-g40-aufladung-sensation-im-jahr-1990-1-7-liter-diesel-auf-100km.1494 Öko-Polo mit 2-Zylinder Dieselmotor und G40-Aufladung Sensation im Jahr 1990 – 1,7 Liter Diesel auf 100 km], VAU-MAX</ref>
-| [[Citroën CX]] (1974)<ref name="Hucho 2013" />
-|-
-| 0,39|||| [[VW Karmann-Ghia Typ 14|VW Karmann-Ghia]] (1967/68), [[BMW E28|BMW 518/520i E28]] (1981)<ref>Hans J. Schneider: BMW 5er - Technik + Typen: Die Limousinen- und Touring-Modelle der BMW 5er-Baureihen. Delius Klasing, Bielefeld 2007, ISBN 978-3-7688-5789-5, Seite 71 .</ref>, [[Porsche Carrera GT]] (2003)
-|-
-| 0,385||||[[BMW E28|BMW 525i/528i E28]] (großflächige Radkappen, 1981)<ref>Hans J. Schneider: BMW 5er - Technik + Typen: Die Limousinen- und Touring-Modelle der BMW 5er-Baureihen. Delius Klasing, Bielefeld 2007, ISBN 978-3-7688-5789-5, Seite 71 .</ref>
-|-
-| 0,38|||| [[Citroën DS]] (1956),<ref name="Hucho 2013" /> [[NSU Ro 80]] (1967),<ref name="Hucho 2013" /> [[VW New Beetle]] (1998), [[Lada Kalina]] 1118 (Basisausstattung 2008), [[Smart Roadster]] (Coupé)
-|-
-| 0,37|||| [[Citroën GS]] (1970), [[BMW E28|BMW 5er E28]] (1984)<ref>Hans J. Schneider: BMW 5er - Technik + Typen: Die Limousinen- und Touring-Modelle der BMW 5er-Baureihen. Delius Klasing, Bielefeld 2007, ISBN 978-3-7688-5789-5, Seiten 85, 86</ref>, <ref name="Hucho 2013" /> Renault [[Renault Twingo|Twingo]] I (1995), [[Smart Fortwo]] (1998), [[Dodge Journey]] (2008)
-|-
-| 0,36|||| [[Tatra 87]] (1937), [[Mercedes-Benz Baureihe 126]] (1979)
-|-
-| 0,35|||| [[Lada Kalina]] 1118 (gehobene Ausstattung 2008)
-|-
-| 0,34|||| [[Ford Sierra]], [[VW Golf II]], [[VW Scirocco]] (2008), [[Citroën Saxo]], [[GAZ-M20 Pobeda]] (1946)
-|-
-| 0,33|||| [[Tatra 77]]A (1935), [[Porsche 924]] ab Modelljahr 1980, [[Citroën BX]] (1982),<ref name="Hucho 2013" /> [[Peugeot 206]] (1998), [[Mercedes-Benz W 201|Mercedes-Benz 190 E]] (1983), [[Smart Forfour]], [[Seat Ibiza]] 6K (1993), [[Kia Soul#Kia Soul EV|Kia Soul ev]] (2014)
-|-
-| 0,31|||| [[VW Polo 5]] (2009)<ref>[https://www.welt.de/motor/article3653613/Der-neue-VW-Polo-ist-der-bessere-Golf.html ''Der neue VW Polo ist der bessere Golf''], [[Welt]], 30. April 2009, abgerufen am 24. Juni 2016</ref>
-|-
-| 0,30|||| [[Saab 92]] (1947), [[Citroën SM]] (1970), [[Audi 100 C3]] (1982), [[BMW E34|BMW 520i E34]] (1988)<ref>Hans J. Schneider: BMW 5er - Technik + Typen: Die Limousinen- und Touring-Modelle der BMW 5er-Baureihen. Delius Klasing, Bielefeld 2007, ISBN 978-3-7688-5789-5</ref>, <ref name="Hucho 2013" /> VW Golf III & Vento (1991), [[Volvo V90 (2016)]]<ref>{{Literatur|Autor=Juergen Wolff|Titel=Volvo V90 D5 AWD - 2016 {{!}} Autokatalog - Maße & Gewichte {{!}} alle-autos-in.de|Sammelwerk=alle-autos-in.de|Online=http://www.alle-autos-in.de/volvo/volvo_v90_d5_awd_ktc6504.shtml|Abruf=2017-09-11}}</ref>
-|-
-| 0,29|||| [[Lotus Europa]] (1966), [[Audi 80 B3]] (1986), [[Opel Vectra A]] (1988), [[Lexus UCF10|Lexus LS 400]] (1989), [[BMW E87|BMW 1er]] (2004), [[Mercedes-Benz X 156|Mercedes-Benz GLA]] (X156, 2014), [[VW Passat B7]] (2010), Opel Astra K (2015)<ref>{{Internetquelle|url=http://www.opel-blog.com/2015/08/04/kanaleffekt-astra-windschluepfiger-denn-je/|titel=Kanaleffekt: Astra windschlüpfiger denn je|autor=Philipp Quanz|werk=Opel-Blog|datum=2015-08-04|zugriff=2017-06-16}}</ref>
-|-
-| 0,28|||| [[Rumpler-Tropfenwagen]] (1921),<ref name="Hucho 2013" /> [[Opel Omega A]] (1986)<ref name="Hucho 2013" />, [[Audi A2]] (1999)<ref>{{Internetquelle|url=http://www.audi.de/etc/medialib/ngw/product/used_cars/a2/pdf.Par.0008.File.pdf/a2_a0_14_55kw_0303.pdf|titel=Technische Daten Audi A2|zugriff=2016-03-08|format=PDF}}</ref>, [[Porsche 997|Porsche 911 (2004)]]<ref name="Hucho 2013" />, [[VW Golf VII#e-Golf|VW e-Golf]] (2014), [[Mini F56]] (2014)<ref name="Der neue MINI von 30.01.2014">[https://www.press.bmwgroup.com/deutschland/pressDetail.html?title=der-neue-mini&outputChannelId=7&id=T0164833DE&left_menu_item=node__5129 Der neue MINI (https://www.press.bmwgroup.com/deutschland/pressDetail.html?title=der-neue-mini&outputChannelId=7&id=T0164833DE&left_menu_item=node__5129)], abgerufen am 10. August 2017.</ref>.
-|-
-|0,27
-|
-| [[BMW E39|BMW 520i (E39) Limousine]] (1995)<ref name="Presseinformation 36/95">{{Internetquelle|url=https://bmw-grouparchiv.de/research/detail/index.xhtml?id=3406434|titel= Datenblätter zur neuen 5er-Reihe |hrsg=Bayerische Motoren Werke Aktiengesellschaft|datum=1996-05-02|zugriff=2017-08-12|format=PDF|kommentar=Presseinformation 36/96}}</ref><ref name="Umweltbericht 1997/98">{{Internetquelle|url=https://bmw-grouparchiv.de/research/detail/index.xhtml?id=3199005|titel=BMW Umweltbericht 1997/98|hrsg=Bayerische Motoren Werke Aktiengesellschaft|seiten=10, 45, 91|zugriff=2016-02-14|format=PDF}}</ref>, [[VW Passat B5|Passat 3B B5 Limo (1997)]] <ref>http://www.samworld.de/wissen/cw/index.php</ref>
-|-
-|0,26
-|
-|[[Opel Calibra|Calibra 2,0 8V (1989)]], [[BMW E60|BMW 520i E60]] (2003), [[Audi A4 B9]] Avant (2015)<ref>http://www.audi.de/content/dam/ngw/ch/news2015/Pressemappe%20A4_29062015_de.pdf</ref>
-|-
-| 0,25
-|
-| [[Toyota Prius]] (2009),<ref>[http://www.auto-motor-und-sport.de/fahrberichte/toyota-prius-im-fahrbericht-so-faehrt-die-neuauflage-des-hybrid-pioniers-1201221.html So fährt die Neuauflage des Hybrid-Pioniers], [[Auto Motor und Sport]], 20. April 2009, abgerufen am 4. November 2014</ref>
-|-
-|0,246
-|[[Twingo Smile]]
-|
-|-
-|0,245
-| [[Paul Jaray|Jaray/Ley T6]]<ref>Jerry Sloniger: ''The slippery shapes of Paul Jaray in Automobile Quarterly 3/1975.''</ref>
-|
-|-
-|0,24
-|
-|[[Toyota_Prius#Prius_IV_.28seit_2016.29| Toyota Prius (2015)]], [[Tesla Model S]]<ref>{{Internetquelle|url=https://www.teslamotors.com/sites/default/files/blog_attachments/the-slipperiest-car-on-the-road.pdf|titel=the-slipperiest-car-on-the-road|autor=|hrsg=teslamotors.com|werk=|datum=|sprache=|zugriff=2016-03-30}}</ref><ref name="ogan">{{Internetquelle|autor=Alex Oagana  am 10. Juni 2014 bei www.autoevolution.com|url=https://www.autoevolution.com/news/mercedes-benz-cla-drag-coefficient-allegedly-bested-by-tesla-model-s-video-82362.html|titel=Mercedes-Benz CLA Drag Coefficient Allegedly Bested by Tesla Model S|zugriff=2017-04-11}}</ref>, [[Tesla Model X]]<ref>{{Internetquelle|url=https://www.tesla.com/de_DE/modelx|titel=Model X {{!}} Tesla Deutschland|zugriff=2017-06-16}}</ref>
-|-
-|0,23
-|
-|[[Mercedes-Benz Baureihe 213|Mercedes-Benz E-Klasse (2016)]]<ref>{{Internetquelle|url=http://media.daimler.com/dcmedia/0-921-1873313-49-1885450-1-0-0-0-0-1-0-614216-0-1-0-0-0-0-0.html?TS=1460929318902|titel=Herstellerinformation|autor=|hrsg=mercedes-benz.de|werk=|datum=|sprache=|zugriff=2016-04-16}}</ref>, [[Audi A4 B9]] Limousine (2015)<ref>http://www.audi.de/content/dam/ngw/ch/news2015/Pressemappe%20A4_29062015_de.pdf</ref>
-|-
-|0,22
-|
-|[[Mercedes-Benz Baureihe 117|Mercedes-Benz CLA 180 BlueEFFICIENCY]] (2013)<ref name="ogan" />, [[BMW G30|BMW 5er G30]] (2016)<ref>[http://www.bmw.de/de/neufahrzeuge/5er/limousine/2016/driving-dynamics.html BMW 5er G30-Herstellerwebseite, Fahrdynamik und Effizienz]: ". . . Luftklappe innerhalb der Active Air Stream Niere geschlossen, was zu cW-[Best]werten von bis zu 0,22 führt . . .", abgerufen 15. August 2017; also technisch vergleichbar dem Mercedes CLA gemäß dem Einzelnachweis von Alex Oagana, s. oben.</ref>.
-|-
-| 0,2
-| [[Mitsubishi HSR-II]] (Studie, 1989), [[Loremo]]
-|
-|-
-| 0,195
-|
-| [[General Motors EV1|GM EV1]] (Elektroauto mit 225&nbsp;km Reichweite, 1996)
-|-
-| 0,189
-| [[VW XL1]] (Kleinserie, 1,94 l / 100&nbsp;km, 2014)
-|
-|-
-| 0,18
-| [[Zerotracer]] (Gewinner Zero Emission Race 2010)
-|
-|-
-| 0,168
-| [[Daihatsu UFE-III]] (Studie, 2006)
-|
-|-
-| 0,159
-| [[VW 1-Liter-Auto#Konzeptstudie Studie 1L (2002)|VW 1L (1-Liter-Auto, 2002)]]
-|
-|-
-| 0,15
-| [[Schlörwagen]] (7-sitzige Limousine, 20 % bis 40 % weniger Verbrauch im Vgl. zum Serienfzg., 1938)
-|
-|-
-| 0,11
-| [[Fortis Saxonia]] (Sax2&nbsp;– Ecocar der TU Chemnitz, 2007)
-|
-|-
-| 0,075
-| [[PAC-Car II]] (Weltrekordfahrzeug der ETH Zürich, 2005)
-|
-|-
-| 0,07
-| [[TERA TU Graz#Fennek 2013|TERA Fennek]] (Fahrzeug des TERA TU Graz, 2013)
-|
-|}
-Der ''c''<sub>w</sub>-Wert quantifiziert die aerodynamische Güte eines Körpers. Durch Multiplikation mit der Bezugsfläche <math>A</math> (bei Fahrzeugen üblicherweise die Stirnfläche) erhält man die Widerstandsfläche eines Fahrzeugs: Widerstandsfläche <math>f_\mathrm w = c_\mathrm w A</math>. Der Luftwiderstand, der den Verbrauch eines Kraftfahrzeugs bei hohen Fahrgeschwindigkeiten bestimmt, ist proportional zur Widerstandsfläche. Von Herstellern wird die Stirnfläche selten angegeben.
+== Anmerkungen ==
+<references group="A" />
 == Literatur ==
@@ Zeile 232: / Zeile 166: @@
 * Hans-Hermann Braess, Ulrich Seiffert: ''Vieweg-Handbuch Kraftfahrzeugtechnik''. 2. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2001, ISBN 3-528-13114-4.
 * Karl-Heinz Dietsche, Thomas Jäger, Robert Bosch GmbH: ''Kraftfahrtechnisches Taschenbuch''. 25. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-23876-3.
-* Wolfgang Demtröder: ''Mechanik und Wärme''. 4. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-26034-X (''Experimentalphysik''. Band 1).
+* Wolfgang Demtröder: ''Mechanik und Wärme''. 4. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-26034-X (''Experimentalphysik'', Band 1).
+* {{Literatur
+   |Autor=Wolf-Heinrich Hucho
+   |Hrsg=Thomas Schütz
+   |Titel=Aerodynamik des Automobils
+   |Auflage=6
+   |Verlag=Springer Vieweg
+   |Ort=Wiesbaden
+   |Datum=2013
+   |ISBN=978-3-8348-2316-8
+   |Kapitel=Einführung
+   |Umfang=über 1000
+   |Online=[http://books.google.de/books?id=EefBAAAAQBAJ&pg=PA10#v=onepage&q&f=true books.google.de]}}
 == Weblinks ==
-* [http://rc.opelgt.org/indexcw.php <math>c_\mathrm w</math>-Werte von 1362 Fahrzeugen], abgerufen 12. August 2017.
+* [http://www.auto-motor-und-sport.de/service/prototyp-museum-sonderausstellung-in-hamburg-geschichte-der-aerodynamik-930877.html Sonderausstellung in Hamburg: „100 Jahre gegen den Wind“.] In: ''Auto, Motor und Sport'', 17. Dezember 2008.
-* [http://www.doenni.net/downloads/facharbeit.pdf Facharbeit zum Thema <math>c_\mathrm w</math>-Werte von KFZ, Formel 1 und allgemeine Heranführung an das Thema] (PDF-Datei; 835&nbsp;kB)
+* [https://www.auto-motor-und-sport.de/news/aerodynamik-report-spritsparmodelle-aus-dem-windkanal/ ''Spritsparmodelle aus dem Windkanal''.]  auto-motor-und-sport.de, 18. Oktober 2011 (Überblick-Artikel mit Entwickler-Interview);  abgerufen 30. Mai 2018.
-* [http://www.auto-motor-und-sport.de/service/prototyp-museum-sonderausstellung-in-hamburg-geschichte-der-aerodynamik-930877.html Sonderausstellung in Hamburg: „100 Jahre gegen den Wind“] in Auto, Motor und Sport
+* [https://www.faz.net/aktuell/technik-motor/arbeiten-im-windkanal-in-der-geheimkammer-der-luftikusse-13139131.html  ''In der Geheimkammer der Luftikusse''.] FAZ/FAS, 8. September 2014; abgerufen 14. August 2017.
-* [http://www.faz.net/-gy9-7tm7v In der Geheimkammer der Luftikusse], FAZ/FAS 8. September 2014, abgerufen 14. August 2017.
 == Einzelnachweise ==
 <references />
-== Anmerkungen ==
-<references group="A" />
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