Steradiant: Unterschied zwischen den Versionen
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Auf einer [[Kugel]] mit 1 [[Meter|m]] [[Radius]] umschließt ein Steradiant eine [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] von 1 m² auf der [[Kugeloberfläche]]. Der Raumwinkel der gesamten Kugeloberfläche beträgt | Auf einer [[Kugel]] mit 1 [[Meter|m]] [[Radius]] umschließt ein Steradiant eine [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] von 1 m² auf der [[Kugeloberfläche]]. Der Raumwinkel der gesamten Kugeloberfläche beträgt 4[[Kreiszahl|π]] sr. | ||
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Der Raumwinkel eines Kegels, der aus einer Kugel mit Radius 3 m eine Teilfläche (<math>A_t</math>) von 13,5 m<sup>2</sup> herausschneidet, beträgt <math>\frac{13{,}5\,\text{m}^2}{(3\,\text{m})^2} = \frac{13{,}5 \,\text{m}^2}{9\,\text{m}^2} = 1{,}5\,\text{sr}</math>. | |||
Bezieht sich der Raumwinkel auf einen [[Kegel (Geometrie)|Kreiskegel]] vom Kugelmittelpunkt aus, wie in der Abbildung rechts ([[Raumwinkel#Raumwinkel eines Kegels|kanonischer Raumwinkel]]), so kann man ihn im Schnitt durch die Kugelmitte als [[Winkel|ebenen Winkel]] <math>\alpha</math> betrachten. Aus der Beziehung für die Fläche der Kugelkappe des Kegels und dem Winkel <math>\alpha</math> lässt sich folgender Zusammenhang ableiten: | |||
Bezieht sich der Raumwinkel auf einen [[Kegel (Geometrie)|Kreiskegel]] vom Kugelmittelpunkt aus, wie in der Abbildung rechts ([[Raumwinkel# | |||
:<math>\Omega = 2 \pi \left( 1-\cos\left( \frac{\alpha}{2} \right) \right)\quad\Leftrightarrow\quad\alpha=2\arccos\left(1-\frac{\Omega}{2\pi}\right) \,</math>. | :<math>\Omega = 2 \pi \left( 1-\cos\left( \frac{\alpha}{2} \right) \right)\quad\Leftrightarrow\quad\alpha=2\arccos\left(1-\frac{\Omega}{2\pi}\right) \,</math>. | ||
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Das Einheitenzeichen „sr“ | Das Einheitenzeichen „sr“ wurde 1950 vom CIPM festgelegt. Früher wurden auch die Zeichen „str“ und „sterad“ benutzt. | ||
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|titel=Resolution 8 of the 20st CGPM (1995). Elimination of the class of supplementary units in the SI | |||
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Aktuelle Version vom 12. April 2021, 18:27 Uhr
| Physikalische Einheit | |
|---|---|
| Einheitenname | Steradiant
|
| Einheitenzeichen | $ \mathrm {sr} $ |
| Physikalische Größe(n) | Raumwinkel |
| Formelzeichen | $ {\mathit {\Omega }} $ |
| Dimension | $ {\mathsf {{\frac {L^{2}}{L^{2}}}=1}} $ |
| System | Internationales Einheitensystem |
| In SI-Einheiten | $ \mathrm {1\,sr=1\;{\frac {m^{2}}{m^{2}}}=1} \, $ |
| Benannt nach | {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:ISO15924:97: attempt to index field 'wikibase' (a nil value), „räumlich“ und lateinisch radius, „Strahl“ |
| Abgeleitet von | Radiant |
| Siehe auch: Quadratgrad | |
Der Steradiant, auch Sterad, Einheitenzeichen sr, ist eine Maßeinheit für den Raumwinkel. Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist er als abgeleitete Maßeinheit enthalten.
Auf einer Kugel mit 1 m Radius umschließt ein Steradiant eine Fläche von 1 m² auf der Kugeloberfläche. Der Raumwinkel der gesamten Kugeloberfläche beträgt 4π sr.
Definition
Gegeben sei eine Kugel mit dem Radius $ r $. Dann ist ein Steradiant der Raumwinkel, den von der Mitte der Kugel aus gesehen eine Kugelkalotte mit der Fläche $ r^{2} $ auf der Kugeloberfläche einnimmt. Dieser Raumwinkel lässt sich berechnen als die Fläche $ A_{t} $ der Kugelkalotte dividiert durch das Quadrat des Radius $ r $:
- $ \Omega ={\frac {A_{t}}{r^{2}}} $
Die Division bewirkt, dass der Raumwinkel nicht vom Radius der betrachteten Kugel abhängt.
- Beispiel
Der Raumwinkel eines Kegels, der aus einer Kugel mit Radius 3 m eine Teilfläche ($ A_{t} $) von 13,5 m2 herausschneidet, beträgt $ {\frac {13{,}5\,{\text{m}}^{2}}{(3\,{\text{m}})^{2}}}={\frac {13{,}5\,{\text{m}}^{2}}{9\,{\text{m}}^{2}}}=1{,}5\,{\text{sr}} $.
Bezieht sich der Raumwinkel auf einen Kreiskegel vom Kugelmittelpunkt aus, wie in der Abbildung rechts (kanonischer Raumwinkel), so kann man ihn im Schnitt durch die Kugelmitte als ebenen Winkel $ \alpha $ betrachten. Aus der Beziehung für die Fläche der Kugelkappe des Kegels und dem Winkel $ \alpha $ lässt sich folgender Zusammenhang ableiten:
- $ \Omega =2\pi \left(1-\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right)\quad \Leftrightarrow \quad \alpha =2\arccos \left(1-{\frac {\Omega }{2\pi }}\right)\, $.
Der Öffnungswinkel $ \alpha $ eines Kegels, der den Raumwinkel 1 sr abdeckt, beträgt ca. 65,54°.
Geschichte
Im SI war zunächst offengelassen worden, ob Steradiant und Radiant abgeleitete Einheiten oder Basiseinheiten sind; für beide wurde die Klasse der „ergänzenden Einheiten“ geschaffen. 1980 empfahl das CIPM, diese ergänzenden Einheiten als abgeleitete zu interpretieren. Dem folgte 1995 die 20. Generalkonferenz für Maße und Gewichte (CGPM) und beschloss in Resolution 8 die Aufhebung der Klasse der ergänzenden Einheiten.[1]
Das Einheitenzeichen „sr“ wurde 1950 vom CIPM festgelegt. Früher wurden auch die Zeichen „str“ und „sterad“ benutzt.
Siehe auch
Weblinks
Einzelnachweise
- ↑ Resolution 8 of the 20st CGPM (1995). Elimination of the class of supplementary units in the SI. Bureau International des Poids et Mesures, abgerufen am 12. April 2021 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).
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