Spezielle Lorentztransformation: Unterschied zwischen den Versionen

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-Die '''spezielle [[Lorentztransformation]]''' <math>L(\;)</math> (auch '''Boost''' genannt) dient dazu, entsprechend der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] von einem [[Koordinatensystem]] in ein anderes umzurechnen, wenn sich die beiden relativ zueinander mit einer konstanten [[Geschwindigkeit]] bewegen (das Koordinatensystem, in dem das zu beschreibende Objekt ruht, wird [[Ruhesystem]] genannt):
+#WEITERLEITUNG [[Spezielle Lorentz-Transformation]]
-* die Operation <math>L(\vec v)</math> wechselt in das Koordinatensystem, das sich relativ zum Ruhesystem mit der Geschwindigkeit <math>\vec v</math> bewegt
-* mit <math>L(-\vec v)</math> kann vom bewegten in das Ruhesystem zurückgerechnet werden.
-Die Notationen sind nicht ganz einheitlich, es kann also durchaus vorkommen, dass bei <math>\vec v</math> ein anderes [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] auftritt.
-== Definition ==
-Für einen Boost in Richtung <math>\vec{e_1} </math> ([[Einheitsvektor]]) lautet die Transformation in [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]<nowiki/>darstellung:
-:<math>x' = L(v \vec e_1) \cdot x</math>
-mit
-:<math>L(v \vec e_1) =
-\begin{pmatrix}
- \cosh \lambda & -\sinh \lambda & 0 & 0\\
--\sinh \lambda &  \cosh \lambda & 0 & 0\\
-& 0 & 1 & 0\\
-& 0 & 0 & 1
-\end{pmatrix}</math> und <math>x = \begin{pmatrix} c \, t \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix},</math>
-wobei
-* <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]] ist,
-* <math>t</math> die Zeit und
-* <math>\lambda</math> die [[Rapidität (Physik)|Rapidität]], die definiert ist durch
-::<math>\tanh \lambda = \beta = \frac{v}{c},</math>
-also
-::<math>\cosh \lambda = \gamma</math>
-und
-::<math>\sinh \lambda = \gamma \beta</math>
-mit dem [[Lorentzfaktor]]
-:::<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}};</math>
-<math>\tanh</math>, <math>\cosh</math> und <math>\sinh</math> stehen für die [[Hyperbelfunktionen]] [[Tangens Hyperbolicus]], [[Kosinus Hyperbolicus]] und [[Sinus Hyperbolicus]].
-Allgemein ist der Boost eines sich mit der Geschwindigkeit <math>\vec v</math> bewegenden Teilchens ins Ruhesystem gegeben durch
-:<math>L(\vec v) =
-\begin{pmatrix}
-\gamma                   & -\frac{\vec{v}^T}{c}\gamma\\
--\frac{\vec{v}}{c}\gamma & I + \frac{\vec{v} \cdot \vec{v}^T}{v^2}(\gamma - 1)
-\end{pmatrix},</math>
-wobei <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]] ist.
-Diese Darstellung erhält man, wenn der Vektor <math>\vec{x}</math> in eine senkrechte und eine parallele Komponente bezüglich des Geschwindigkeitsvektors <math>\vec{v}</math> zerlegt wird:
-::<math>\vec{x} = \vec{x}_\perp + \vec{x}_\|.</math>
-Dann bleibt die senkrechte Komponente <math>\vec{x}_\perp</math> unverändert, während die parallele Komponente <math>\vec{x}_\|</math> entsprechend der obigen Formel für die 1-Richtung transformiert wird:
-::<math>\begin{alignat}{2}
-ct'          & =                 && \gamma \left( ct        - \frac{\vec{v}}{c} \cdot \vec{x} \right)\\
-\vec{x} \, ' & = \vec{x}_\perp + && \gamma \left(\vec{x}_\| -       \vec{v} t                 \right).
-\end{alignat}</math>
-''Beachte:'' Die spezielle Lorentztransformation wechselt nur zwischen Koordinatensystemen, sie ist ''keine'' [[Beschleunigung]] oder Ähnliches. So gesehen ist die Bezeichnung Boost irreführend.
-== Eigenschaften ==
-* Die Lorentztransformationen bezüglich einer festen Richtung für <math>\vec v</math> bilden eine [[Untergruppe]] der [[Lorentz-Gruppe]] in  Analogie zu den [[Drehung]]en um eine feste Achse, welche eine Untergruppe der [[Drehgruppe]] bilden.
-* Die Gesamtheit der speziellen Lorentztransformationen bildet - anders als die Drehungen - ''keine'' Untergruppe der Lorentz-Gruppe. Dies wird durch den [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] der [[Erzeuger (Algebra)|Erzeugenden]] ersichtlich:
-::<math> [K_i,K_j] = - \epsilon_{ijk} \, L_k,</math>
-:wobei <math>K_i</math> die Erzeugenden der speziellen Lorentztransformation sind, <math>L_k</math> die Erzeugenden der Drehgruppe und <math>\epsilon_{ijk}</math> das [[Levi-Civita-Symbol]].
-* Um die Untergruppe [[vollständig]] zu machen, müssen die Drehungen dazugenommen werden. Zusammen ergeben sie dann die eigentliche orthochrone Lorentzgruppe.
-[[Kategorie:Spezielle Relativitätstheorie]]
-[[Kategorie:Transformation]]