Signalgeschwindigkeit: Unterschied zwischen den Versionen
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Die '''Signalgeschwindigkeit''' ist diejenige [[Geschwindigkeit]], mit der sich ein [[Signal]] ausbreitet | Die '''Signalgeschwindigkeit''' ist diejenige [[Geschwindigkeit]], mit der sich ein [[Signal]] ausbreitet. Die Geschwindigkeit, mit der sich die erste [[Auslenkung]] einer [[Wellenfront]] bewegt, ist die '''Frontgeschwindigkeit'''. Diese Geschwindigkeit, und damit auch die Signalgeschwindigkeit, ist immer kleiner als die [[Lichtgeschwindigkeit]]. In Kabeln wird sie durch den [[Verkürzungsfaktor]] angegeben. | ||
Ein Signal, also eine Änderung eines Zustandes, lässt sich als [[Wellenpaket]] beschreiben. Die Geschwindigkeit, mit der sich die [[Einhüllende]] eines solchen Wellenpaketes bewegt, ist die [[Gruppengeschwindigkeit]]. Sie ist im Allgemeinen, insbesondere wenn die [[Phasengeschwindigkeit]] stark von der [[Frequenz]] abhängig oder die [[Absorption (Physik)|Absorption]] nicht vernachlässigt werden kann, von der Signalgeschwindigkeit zu unterscheiden. | |||
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Im 19. Jhdt. nahm [[John Strutt, 3. Baron Rayleigh|Lord Rayleigh]] an, dass eine Welle Information und Energie mit Gruppengeschwindigkeit überträgt.<ref name=milonni>{{Literatur|Titel=Fast Light, Slow Light and Left-Handed Light|Autor=P.W. Milonni|Jahr=2004|Verlag=CRC Press|Seiten=26|ISBN=1420034332|Online={{Google Buch|BuchID=kE8OUCvt7ecC|Seite=26}}}}</ref> In [[Ausbreitungsmedium|Ausbreitungsmedien]] mit [[Dispersion (Physik)|anomaler Dispersion]] ist die Gruppengeschwindigkeit [[proportional]] zum Betrag der Dispersion. Dabei gibt es keine prinzipielle physikalische Grenze; so ist möglich, dass sich das Zentrum eines Wellenpakets mit [[Überlichtgeschwindigkeit]] bewegt. | |||
Gemäß der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] ist jedoch die Lichtgeschwindigkeit die höchste Geschwindigkeit, mit der Information übertragen werden kann. [[Woldemar Voigt (Physiker)|Woldemar Voigt]] zeigte daher anhand der [[Telegraphengleichung]], dass die Geschwindigkeit einer Wellenfront im Fall dieser Telegraphengleichung kleiner als die Gruppengeschwindigkeit ist, und damit die Signalgeschwindigkeit von der Gruppengeschwindigkeit unterschieden werden muss.<ref>{{Literatur|Titel=Wave Propagation and Group Velocity|Autor=Léon Brillouin|Verlag=Academic Press|Jahr= 2013|ISBN=1483276015|Seiten=10|Online={{Google Buch|BuchID=gdQ3BQAAQBAJ|Seite=10}}}}</ref> | |||
Die Front einer Welle ist durch eine Oberfläche definiert, hinter der zu einem gewissen Zeitpunkt die [[Amplitude]] einer Welle identisch Null ist. | |||
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lässt sich dies mithilfe des [[Residuensatz]]es zeigen. | |||
Da für große Frequenzen <math>\omega \to \infty</math> der [[Brechungsindex]] <math>n = 1</math> ist, bleibt dort <math>e^{\mathrm i \left(\frac{x}{c} - t\right)}</math> als Integrand über. Für <math>x > ct \Leftrightarrow \tfrac{x}{c} - t > 0</math> lässt sich dies als [[Kurvenintegral]] über die obere Hälfte der [[komplexe Ebene|komplexen Ebene]] schreiben. Da der Brechungsindex dort aber [[Analytische Funktion|analytisch]] ist (also keine [[Definitionslücke|Singularität]]en besitzt), ist das Integral Null. | |||
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Aktuelle Version vom 14. November 2021, 21:46 Uhr
Die Signalgeschwindigkeit ist diejenige Geschwindigkeit, mit der sich ein Signal ausbreitet. Die Geschwindigkeit, mit der sich die erste Auslenkung einer Wellenfront bewegt, ist die Frontgeschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit, und damit auch die Signalgeschwindigkeit, ist immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. In Kabeln wird sie durch den Verkürzungsfaktor angegeben.
Ein Signal, also eine Änderung eines Zustandes, lässt sich als Wellenpaket beschreiben. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Einhüllende eines solchen Wellenpaketes bewegt, ist die Gruppengeschwindigkeit. Sie ist im Allgemeinen, insbesondere wenn die Phasengeschwindigkeit stark von der Frequenz abhängig oder die Absorption nicht vernachlässigt werden kann, von der Signalgeschwindigkeit zu unterscheiden.
Frontgeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit
Im 19. Jhdt. nahm Lord Rayleigh an, dass eine Welle Information und Energie mit Gruppengeschwindigkeit überträgt.[1] In Ausbreitungsmedien mit anomaler Dispersion ist die Gruppengeschwindigkeit proportional zum Betrag der Dispersion. Dabei gibt es keine prinzipielle physikalische Grenze; so ist möglich, dass sich das Zentrum eines Wellenpakets mit Überlichtgeschwindigkeit bewegt.
Gemäß der speziellen Relativitätstheorie ist jedoch die Lichtgeschwindigkeit die höchste Geschwindigkeit, mit der Information übertragen werden kann. Woldemar Voigt zeigte daher anhand der Telegraphengleichung, dass die Geschwindigkeit einer Wellenfront im Fall dieser Telegraphengleichung kleiner als die Gruppengeschwindigkeit ist, und damit die Signalgeschwindigkeit von der Gruppengeschwindigkeit unterschieden werden muss.[2]
Die Front einer Welle ist durch eine Oberfläche definiert, hinter der zu einem gewissen Zeitpunkt die Amplitude einer Welle identisch Null ist.
Frontgeschwindigkeit und Lichtgeschwindigkeit
Dass die Frontgeschwindigkeit immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist, lässt sich zeigen anhand eines allgemeinen Signals der Form[1]
- $ \Psi (x=0,t)=\Theta (t)e^{\mathrm {i} \omega t} $
mit der Heaviside-Funktion $ \Theta (t) $.
Wenn sich die Wellenfront $ t=0 $ dieser Welle nicht mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen kann, so muss für eine Distanz $ x>ct $ die Wellenfunktion $ \Psi (x,t) $ Null sein. Für die Wellenfunktion
- $ \Psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} t'\,G(x,t-t')\Psi (0,t') $
mit der Greensfunktion
- $ G(x,\tau )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,e^{\mathrm {i} \omega \left(n(\omega ){\frac {x}{c}}-\tau \right)} $
lässt sich dies mithilfe des Residuensatzes zeigen.
Da für große Frequenzen $ \omega \to \infty $ der Brechungsindex $ n=1 $ ist, bleibt dort $ e^{\mathrm {i} \left({\frac {x}{c}}-t\right)} $ als Integrand über. Für $ x>ct\Leftrightarrow {\tfrac {x}{c}}-t>0 $ lässt sich dies als Kurvenintegral über die obere Hälfte der komplexen Ebene schreiben. Da der Brechungsindex dort aber analytisch ist (also keine Singularitäten besitzt), ist das Integral Null.
Literatur
- Léon Brillouin: „Wave propagation and group velocity“, Academic Press Inc., New York, 1960
Weblinks
- gregegan.customer.netspace.net.au – Applet, das Gruppen-, Phasen- und Signalgeschwindigkeit einer Welle verdeutlicht.
- Zur Geschichte der Begriffe bei Sommerfeld, Brillouin, Duke University
Einzelnachweise
- ↑ 1,0 1,1 P.W. Milonni: Fast Light, Slow Light and Left-Handed Light. CRC Press, 2004, ISBN 1-4200-3433-2, S. 26 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Léon Brillouin: Wave Propagation and Group Velocity. Academic Press, 2013, ISBN 1-4832-7601-5, S. 10 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
