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| Als '''Satz von König''' (nach [[Johann Samuel König]]) bezeichnet man in der Mechanik zwei miteinander verwandte Aussagen über den [[Drehimpuls]] (''1. Satz von König'') bzw. die kinetische Energie (''2. Satz von König'') eines Systems von [[Massenpunkt]]en, die diese beiden Größen auf eine physikalisch leicht interpretierbare Art ausdrücken.
| | #WEITERLEITUNG [[Sätze von König (Mechanik)]] |
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| == Der Begriff des Schwerpunktsystems ==
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| In beiden Aussagen macht man sich ein spezielles Bezugssystem zunutze: das [[Schwerpunktsystem]], das wir mit ''(R<sup>*</sup>)'' bezeichnen. Dagegen sei mit (R) das Koordinatensystem unserer Wahl bezeichnet, von dem wir ausgehen. (R) kann ein [[Inertialsystem]] sein oder auch nicht.
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| === Definition ===
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| Nach Definition ist ''(R<sup>*</sup>)'' das Koordinatensystem, das aus (R) durch eine Translation hervorgeht, so dass der [[Impuls|Gesamtimpuls]] <math>\vec{P^{*}}</math> des betrachteten Systems von Massenpunkten in ''(R<sup>*</sup>)'' verschwindet. Dies ist die allgemeine Definition, die auch im relativistischen Fall gültig bleibt.
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| In der [[Newtonsche Mechanik|Newtonschen Mechanik]] lässt sich der Gesamtimpuls <math>\vec{P}=\sum_{i} m_{i}\vec{v_{M_{i}}}</math> bekanntlich leicht mit Hilfe der Bewegung des Schwerpunktes ''G'' ausdrücken: <math>\vec{P}=M\vec{v_{G}}</math> mit der Gesamtmasse <math>M\equiv \sum_{i} m_{i}</math>. Im Schwerpunktsystem ist also <math>\vec{v_{G}^{*}}=\vec{0}</math>, und hieraus ergibt sich die andere übliche Definition von ''(R<sup>*</sup>)'':
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| '' ''(R<sup>*</sup>)'' ist das Koordinatensystem, in dem der Schwerpunkt ''G'' ruht und das aus ''(R)'' durch eine Translationsbewegung hervorgeht.''
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| === Eigenschaften von ''(R<sup>*</sup>)'' ===
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| '''Bemerkung:''' ''(R<sup>*</sup>)'' ist ein Inertialsystem genau dann, wenn bereits ''(R)'' ein Inertialsystem ist.
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| Sei <math>\vec{L_{O}}</math> der [[Drehimpuls]] bezüglich des Punktes ''O'' und <math>\vec{L_{O'}}</math> der Drehimpuls bezüglich des Punktes ''O<nowiki>'</nowiki>''. Dann gilt ganz allgemein: <math>\vec{L_{O}}=\vec{L_{O'}}+\vec{OO'}\times \vec{P}</math>. Da aber nach Definition in ''(R<sup>*</sup>)'' <math>\vec{P^{*}}=\vec{0}</math>, ist der Drehimpuls des Systems in ''(R<sup>*</sup>)'' unabhängig vom Bezugspunkt: <math>\vec{L_{O}^{*}}=\vec{L_{O'}^{*}}=\vec{L^{*}}</math>.<br /><math>\vec{L^{*}}</math> wird auch '''Eigendrehimpuls''' oder '''innerer Drehimpuls''' des Systems genannt.
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| Andererseits gilt nach der allgemeinen Formel für den Gesamtdrehimpuls <math>\vec{L_{G}}=\sum_{i} \left (\vec{GM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}}\right )</math>, aber (Addition der Geschwindigkeiten) <math>\vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}</math>, weshalb:<br />
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| <math>\vec{L_{G}}=\left (\sum_{i} m_{i}\vec{GM_{i}}\right )\times \vec{v_{G}}+\sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )</math>.
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| Aber nach der Definition des Schwerpunktes: <math>\left (\sum_{i} m_{i}\vec{GM_{i}}\right )=\vec{0}</math>, und da <math>\sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )\equiv \vec{L^{*}}</math>, erhält man die folgende fundamentale Eigenschaft:
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| <div style="text-align:center"><math> \vec{L_{G}}=\vec{L^{*}}</math></div>.
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| Schließlich kann man in ''(R<sup>*</sup>)'' die '''innere kinetische Energie''' des Systems definieren: <math>E_{k}^{*}\equiv \frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}</math>.
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| == 1. Satz von König ==
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| '''Aussage:''' Mit den obigen Bezeichnungen gilt:
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| <div style="text-align:center"><math>\vec{L_{O}}=\vec{OG}\times M\vec{v_{G}}+\vec{L^{*}}</math>, '''(1)'''</div>
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| '''Physikalische Interpretation:''' Der Drehimpuls des Systems bezüglich eines Punktes ''O'' ist die Summe zweier Terme:
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| * des Drehimpulses des Schwerpunktes ''G'', versehen mit der Gesamtmasse ''M'' des Systems: <math>\vec{OG}\times M\vec{v_{G}}</math>;
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| * und des Eigendrehimpulses <math>\vec{L^{*}}</math> des Systems, der mit dem in ''(R)'' bezüglich des Punktes ''G'' berechneten Drehimpuls des Systems identisch ist.
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| '''Beweis:''' Aus dem allgemeinen Ausdruck für den Drehimpuls bezüglich des Punktes ''O'' im Bezugssystem ''(R)'': <math>\vec{L_{O}}=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}}\right )</math> und aus <math>\vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}</math> (Addition der Geschwindigkeiten) folgt:
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| <math>\vec{L_{O}}=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\times m_{i}\left (\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}\right )\right )=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )+\left (\sum_{i} m_{i}\vec{OM_{i}}\right )\times \vec{v_{G}}</math>.
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| Nun ist <math>\vec{L^{*}}\equiv \sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\times m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )</math> und nach Definition des Schwerpunktes <math>\left (\sum_{i} m_{i}\vec{OM_{i}}\right )=M\vec{OG}</math>, also folgt (1).
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| == 2. Satz von König ==
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| '''Aussage:''' Mit den obigen Bezeichnungen gilt:
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| <div style="text-align:center"><math>E_{k}=\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}+E_{k}^{*}</math>, '''(2)'''</div>
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| '''Physikalische Interpretation:''' Die kinetische Energie des Systems ist die Summe zweier Terme:
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| * der kinetischen Energie des Schwerpunktes ''G'', versehen mit der Gesamtmasse ''M'' des Systems: <math>\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}</math>;
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| * und der inneren kinetischen Energie <math>E_{k}^{*}</math> des Systems.
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| '''Beweis:''' Wie eben: <math>\vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}</math>. Wenn man das in den allgemeinen Ausdruck für die kinetische Energie <math>E_{k} = \sum_{i} \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}</math> eines Systems einsetzt, erhält man:
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| <math>E_{k}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}\left (\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}\right )^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}+\left (\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )\cdot\vec{v_{G}}+\frac{1}{2}\left (\sum_{i} m_{i}\right )v_{G}^{2}</math>,<br />
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| Der erste Term der rechten Seite ist nichts anderes als <math>E_{k}^{*}</math> und <math>M\equiv \sum_{i} m_{i}</math> ist die Gesamtmasse, und nach Definition von ''(R<sup>*</sup>)'' ist <math>\vec{P^{*}}=\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}=\vec{0}</math>, also folgt (2).
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| == Anwendungen ==
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| Die beiden Sätze von König gelten, egal ob das System deformierbar ist oder nicht. Sie werden häufig im besonders wichtigen Fall des starren Körpers angewendet.
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| {{SORTIERUNG:Satz von Konig}}
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| [[Kategorie:Theoretische Mechanik]]
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