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* <math>\gamma_5</math> und <math>\gamma_\nu</math> [[Dirac-Matrizen]] | * <math>\gamma_5</math> und <math>\gamma_\nu</math> [[Dirac-Matrizen]] | ||
* <math>m</math> die [[ | * <math>m</math> die [[Masse (Physik)|Masse]] des Fermions | ||
* <math>\sigma^{\mu \nu} \equiv i/2\left [ \gamma^\mu , \gamma^\nu \right ]</math> | * <math>\sigma^{\mu \nu} \equiv i/2\left [ \gamma^\mu , \gamma^\nu \right ]</math> | ||
* <math>\psi_\nu</math> eine Wellenfunktion mit dem Lorentzindex <math>\nu</math>. Die Wellenfunktion transformiert bezüglich dieses Index wie ein gewöhnlicher [[Vierervektor]]. Jede der vier einzelnen Komponenten der Wellenfunktion transformiert zusätzlich aber auch wie ein [[Dirac-Spinor]]. Die Darstellung entspricht damit der <math>\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)\otimes \left(\left(\tfrac{1}{2},0\right)\oplus \left(0,\tfrac{1}{2}\right)\right)</math>, bzw. <math>\left(1,\tfrac{1}{2}\right) \oplus \left(\tfrac{1}{2},1 \right)</math> [[Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe#Beispiele | Darstellung der Lorentz-Gruppe]]<ref>S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Band 1, Cambridge S. 232</ref>. | * <math>\psi_\nu</math> eine Wellenfunktion mit dem Lorentzindex <math>\nu</math>. Die Wellenfunktion transformiert bezüglich dieses Index wie ein gewöhnlicher [[Vierervektor]]. Jede der vier einzelnen Komponenten der Wellenfunktion transformiert zusätzlich aber auch wie ein [[Dirac-Spinor]]. Die Darstellung entspricht damit der <math>\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)\otimes \left(\left(\tfrac{1}{2},0\right)\oplus \left(0,\tfrac{1}{2}\right)\right)</math>, bzw. <math>\left(1,\tfrac{1}{2}\right) \oplus \left(\tfrac{1}{2},1 \right)</math> [[Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe#Beispiele | Darstellung der Lorentz-Gruppe]]<ref>S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Band 1, Cambridge S. 232</ref>. | ||
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::<math>\mathcal{L} = -\tfrac{i}{2} \; \bar{\psi}_\mu \left( \epsilon^{\mu \kappa \rho \nu} \gamma_5 \gamma_\kappa \partial_\rho + m \sigma^{\mu \nu} \right) \psi_\nu</math> | ::<math>\mathcal{L} = -\tfrac{i}{2} \; \bar{\psi}_\mu \left( \epsilon^{\mu \kappa \rho \nu} \gamma_5 \gamma_\kappa \partial_\rho + m \sigma^{\mu \nu} \right) \psi_\nu</math> | ||
Dabei bezeichnet <math>\bar{\psi}_\mu</math> den [[adjungiert]]en Spinor zu <math>\psi_\mu</math>. | Dabei bezeichnet <math>\bar{\psi}_\mu = \psi^\dagger_\mu \gamma^0</math> den [[Dirac-Adjungierte|adjungiert]]en Spinor zu <math>\psi_\mu</math>. | ||
Die Rarita-Schwinger-Gleichung hat für Teilchen mit Masse 0 eine [[Eichsymmetrie]] bezüglich der [[Eichtransformation]] <math>\psi_\mu \rightarrow \psi_\mu + \partial_\mu \epsilon</math>. Dabei ist <math>\mathcal{\epsilon}</math> ein frei wählbares, fermionisches Majorana-Feld, | |||
das zu einer geeichten Supersymmetrietransformation gehört. | |||
Von der Rarita-Schwinger-Gleichung existieren auch Weyl- und Majorana-Darstellungen, die sich bezüglich der physikalischen Ergebnisse nicht von der Originalgleichung unterscheiden. | Von der Rarita-Schwinger-Gleichung existieren auch Weyl- und Majorana-Darstellungen, die sich bezüglich der physikalischen Ergebnisse nicht von der Originalgleichung unterscheiden. | ||
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* [[Walter Greiner]]: ''Theoretische Physik.'' Band 6: ''Relativistische Quantenmechanik. Wellengleichungen.'' 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Deutsch, Thun u. a. 1987, ISBN 3-8171-1022-7. | * [[Walter Greiner]]: ''Theoretische Physik.'' Band 6: ''Relativistische Quantenmechanik. Wellengleichungen.'' 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Deutsch, Thun u. a. 1987, ISBN 3-8171-1022-7. | ||
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In der theoretischen Physik ist die Rarita-Schwinger Gleichung (nach William Rarita und Julian Schwinger, die sie 1941 formulierten) eine relativistische Feldgleichung für Spin-3/2-Fermionen. Sie wird gewöhnlich dazu benutzt, zusammengesetzte Teilchen wie das Delta-Baryon zu beschreiben und zu untersuchen, manchmal wird sie auch für hypothetische Teilchenfelder wie das Gravitino verwendet. Bisher konnte allerdings noch kein stabiles Elementarteilchen mit Spin 3/2 experimentell nachgewiesen werden.
Die Rarita-Schwinger-Gleichung ist ähnlich aufgebaut wie die Dirac-Gleichung für Spin-1/2-Fermionen und kann aus dieser hergeleitet werden. In einer modernen Notation wird sie wie folgt angeschrieben:[1]
mit
Die Rarita-Schwinger Gleichung kann aus folgender Lagrange-Dichte hergeleitet werden:[3]
Dabei bezeichnet $ {\bar {\psi }}_{\mu }=\psi _{\mu }^{\dagger }\gamma ^{0} $ den adjungierten Spinor zu $ \psi _{\mu } $.
Die Rarita-Schwinger-Gleichung hat für Teilchen mit Masse 0 eine Eichsymmetrie bezüglich der Eichtransformation $ \psi _{\mu }\rightarrow \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon $. Dabei ist $ {\mathcal {\epsilon }} $ ein frei wählbares, fermionisches Majorana-Feld, das zu einer geeichten Supersymmetrietransformation gehört.
Von der Rarita-Schwinger-Gleichung existieren auch Weyl- und Majorana-Darstellungen, die sich bezüglich der physikalischen Ergebnisse nicht von der Originalgleichung unterscheiden.
