R-Matrix: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. Mai 2021, 17:09 Uhr

In der statistischen Physik werden Matrizen $R\in Mat(n)$ , welche der Yang-Baxter-Gleichung (nach C. N. Yang^[1] und Rodney Baxter^[2]):

R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}

genügen, als R-Matrizen bezeichnet.

In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.

Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten

Veranschaulichung der Yang-Baxter-Gleichung

Eine $n^{2}\times n^{2}$ -Matrix $$ R $$ mit Einträgen $r_{ij}^{kl}$ kann als Endomorphismus des $\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}$ mit Basis $e_{i}\otimes e_{j}$ aufgefasst werden, also

R(e_{i}\otimes e_{j})=\sum _{k,l}r_{ij}^{kl}e_{k}\otimes e_{l}

.

Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als

R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}

,

wobei $R^{ij}$ der Endomorphismus von $\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}$ ist, der auf den Faktoren $$ i,j $$ als $$ R $$ wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also

R^{12}=R\otimes id,R^{23}=id\otimes R

und

R^{13}(e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{k})=\sum _{a,b}r_{ik}^{ab}e_{a}\otimes e_{j}\otimes e_{b}

.

R-Matrizen in der Quantenmechanik

Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.

R-Matrizen in der Knotentheorie

Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.

Literatur

Yang-Baxter equation. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
J. Park, H. Au-Yang: Yang-Baxter equations. In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematical Physics. Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473.
M. Jimbo: Quantum R matrix for the generalized Toda system. In: Comm. Math. Phys. 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547, doi:10.1007/BF01221646.

Einzelnachweise

↑ Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1312
↑ Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, doi:10.1098/rsta.1978.0062, JSTOR 75051

[1] Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1312

[2] Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, doi:10.1098/rsta.1978.0062, JSTOR 75051

[1]

[2]

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-In der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] werden [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] <Math>R\in Mat(n)</Math>, welche der '''Yang-Baxter-Gleichung'''
+In der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] werden [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] <Math>R\in Mat(n)</Math>, welche der '''Yang-Baxter-Gleichung''' (nach [[C. N. Yang]]<ref>Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, {{DOI|10.1103/PhysRevLett.19.1312}}</ref> und [[Rodney Baxter]]<ref>Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, {{DOI|10.1098/rsta.1978.0062}}, {{JSTOR|75051}}</ref>):
 :<math>R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}</math>
 genügen, als '''R-Matrizen''' bezeichnet.
 In der [[Mathematik]] werden R-Matrizen zur Konstruktion von [[Quanteninvariante]]n in der [[Knotentheorie]] verwendet.
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 == Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten ==
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-Eine <math>n^2\times n^2</math>-Matrix <math>R</math> mit Einträgen <math>r_{ij}^{kl}</math> kann als [[Endomorphismus]] des <math>\C^n\otimes\C^n</math> mit Basis <math>e_i\otimes e_j</math> aufgefasst werden, also
+Eine <math>n^2\times n^2</math>-Matrix <math>R</math> mit Einträgen <math>r_{ij}^{kl}</math> kann als [[Endomorphismus]] des <math>\Complex^n\otimes\Complex^n</math> mit Basis <math>e_i\otimes e_j</math> aufgefasst werden, also
 :<math>R(e_i\otimes e_j)=\sum_{k,l}r_{ij}^{kl}e_k\otimes e_l</math>.
 Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als
 :<math>R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}</math>,
-wobei <math>R^{ij}</math> der Endomorphismus von <math>\C^n\otimes \C^n\otimes \C^n</math> ist, der auf den Faktoren <math>i,j</math> als <math>R</math> wirkt und auf dem dritten Faktor als [[Identitätsabbildung]]. Also
+wobei <math>R^{ij}</math> der Endomorphismus von <math>\Complex^n\otimes \Complex^n\otimes \Complex^n</math> ist, der auf den Faktoren <math>i,j</math> als <math>R</math> wirkt und auf dem dritten Faktor als [[Identitätsabbildung]]. Also
 :<math>R^{12}=R\otimes id, R^{23}=id\otimes R</math>
 und
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 == Literatur ==
 * [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Yang-Baxter_equation ''Yang-Baxter equation''.] In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): ''Encyclopedia of Mathematics.'' Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
-* J. Park, H. Au-Yang: [http://arxiv.org/pdf/math-ph/0606053v1.pdf ''Yang-Baxter equations.''] In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): ''Encyclopedia of Mathematical Physics.'' Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473.
+* J. Park, H. Au-Yang: [https://arxiv.org/pdf/math-ph/0606053v1.pdf ''Yang-Baxter equations.''] In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): ''Encyclopedia of Mathematical Physics.'' Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473.
-* M. Jimbo: [https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104114539 ''Quantum R matrix for the generalized Toda system.''] In: ''Comm. Math. Phys.'' 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547.
+* M. Jimbo: [https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104114539 ''Quantum R matrix for the generalized Toda system.''] In: ''Comm. Math. Phys.'' 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547, {{DOI|10.1007/BF01221646}}.
+== Einzelnachweise ==
+<references />
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